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1、数学试题填空题：1.已知集合，则 .2.命题,命题, 是 条件 （填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中的一个）3.函数的最小正周期为 4.已知函数的单调递增区间为 5.直线在两坐标轴上的截距之和为2，则实数的值是 .6.若Sn为等差数列an的前n项和，S13=104，则a7的值为 7.已知实数满足线性约束条件则目标函数的最大值是 8.曲线C：在点M（1，e）处的切线方程为 FADECB9.如图，已知正方形的边长为3，为的中点，与交于点，则 10.已知为正实数，且则的最小值为 11.已知函数,，的值域为 12.若椭圆上存在一点与椭圆的两个焦点构成顶角为120的等腰
2、三角形，则椭圆的离心率为_13.设为非零实数，偶函数在区间上存在唯一的零点，则实数的取值范围是 .14.已知等比数列的首项为，公比为，其前项和记为，又设，的所有非空子集中的最小元素的和为，则的最小正整数为 二、解答题：15.在ABC中，角A、B、C的对边分别为、已知向量，且（1）求的值；（2）若，求ABC的面积S16.平面直角坐标系中，直线截以原点O为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆相切，求直线的方程17.如图，ABCD是边长为10海里的正方形海域.现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在处同时出发，沿直线、向前联合搜索，且（其中点、分别在边、上），搜索区域为平面四
3、边形围成的海平面.设，搜索区域的面积为.BDCAQP（1）试建立与的关系式，并指出的取值范围；（2）求的最大值.18.如图，在直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，右准线方程是,左、右顶点分别为A、B（1）求椭圆的标准方程；（2）若动点M满足MBAB，直线AM交椭圆于点P，求证：为定值；（3）在（2）的条件下，设以线段MP为直径的圆与直线BP交于点Q，试问：直线MQ是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由CByOxAF2F1DPM19.设各项均为非负数的数列的前项和为，（，）（1）求实数的值；（2）求数列的通项公式（用表示）；（3）证明：当时，20.已知函数，（1）求函数的单
4、调区间；（2）记函数，当时，在上有且只有一个极值点，求实数的取值范围；（3）记函数，证明：存在，此时有一条过原点的直线与的图象有两个切点高三数学随堂练习答案（2014.10.25）一、 填空题：1已知集合，则 .解析：，.2. 函数的最小正周期为 解析：，所以最小正周期.3命题,命题, 是 条件 （填“充分不必要”， “必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中的一个）解析：充分不必要 4已知函数的单调递增区间为 解析：5. 直线在两坐标轴上的截距之和为2，则实数的值是_.6若Sn为等差数列an的前n项和，S9=36，S13=104，则a5a7的值为 327.若椭圆上存在一点与
5、椭圆的两个焦点构成顶角为120的等腰三角形，则椭圆的离心率为_8. 如图，已知正方形的边长为3，为的中点，与交于点，则_9. 已知函数f(x) , x,，求f(x)的值域 10.已知椭圆是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线的斜率分别为，若椭圆的离心率为，则的最小值为 111. 设为非零实数，偶函数在区间上存在唯一的零点，则实数的取值范围是 .解析：为偶函数，结合图形可知.12. 已知为正实数，且则的最小值为 2 13已知圆C：，点P在直线l：上，若圆C上存在两点A、B使得，则点P的横坐标的取值范围是 OPCAB14.已知等比数列的首项为，公比为，其前项和记为，又设，的所有非空子
6、集中的最小元素的和为，则的最小正整数为 解析:45解：由题意有，对于和，我们首先把中的元素按从小到大顺序排列，当时，对于中的任一元素，比它大的有个，这个元素组成的集合的所有子集有个，把加进这些子集形成新的集合，每个都是以为最小元素的的子集，而最小元素为的的子集也只有这些，故在中出现次，所以，时，适合上式，时，当，不成立，当时，由于，所以，最小的为二、解答题：15在ABC中，角A、B、C的对边分别为、.已知向量，且（1）求的值；（2）若，求ABC的面积S16.已知圆C经过P（4， 2），Q（ 1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为，半径小于5（1）求圆C的方程（2）若直线lPQ，且l与圆C交于点
7、A、B，求直线l的方程解：(1) PQ为2分C在PQ的中垂线即y = x 1上3分设C（n，n 1），则4分由题意，有5分 n = 1或5，r 2 = 13或37（舍）7分圆C为8分解法二：设所求圆的方程为由已知得解得当时，；当时，（舍） 所求圆的方程为 (2) 设l为9分由，得10分设A（x1，y1），B（x2，y2），则11分 ， 12分 m = 3或 4（均满足） l为14分ABCDPO17.某市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域是半径为R的圆面该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界AB = AD = 4千米，BC = 6千米，C
8、D = 2千米，（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值；（2）因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P，使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值解：(1) ，由余弦定理得： 2分 ，S四边形ABCD =（平方千米）5分 由正弦定理得：（千米） （千米） 8分 (2) S四边形APCD = ，又9分设AP = x，CP = y，则10分由余弦定理得： ，当且仅当x = y时取“”12分S四边形APCD =（平方千米） 作AC的垂直平分线与圆弧ABC的交点即为点P，最大面
9、积为平方千米 14分18.如图，在直角坐标系xOy中，椭圆1(ab0)的离心率为，左、右顶点分别为A，BCByOxAF2F1DPM(1)若椭圆的右准线方程是x4，求a，b的值；(2)若动点M满足MBAB，直线AM交椭圆于点P，求证：为定值；(3)在(2)的条件下，设以线段MP为直径的圆与直线BP交于点Q，试问：直线MQ是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由解：19. 在数列中, 且对任意的,成等比数列, 其公比为.（1）若, 求；（2）若对任意的,成等差数列, 其公差为, 设. 求证:成等差数列, 并指出其公差； 若, 试求数列的前项和.（1）因为,所以,故是首项为1,公
10、比为4的等比数列,所以 4分（注: 讲评时可说明, 此时数列也是等比数列, 且公比为2）（2）因为成等差数列,所以,而,所以,则 7分得,所以,即,所以是等差数列,且公差为19分因为,所以,则由,解得或10分（）当时, ,所以,则,即,得,所以,则12分所以,则,故14分（）当时, ,所以,则,即,得,所以,则,所以,从而.综上所述,或16分20.已知函数， 求函数的单调区间； 记函数，当时，在上有且只有一个极值点，求实数的取值范围； 记函数，证明：存在一条过原点的直线与的图象有两个切点（1）因为， 若，则，在上为增函数，2分若，令，得，当时，；当时，所以为单调减区间，为单调增区间 综上可得，
11、当时，为单调增区间，当时，为单调减区间， 为单调增区间 4分（2）时， 5分在上有且只有一个极值点，即在上有且只有一个根且不为重根，由得， 6分（i），满足题意；7分（ii）时，即；8分（iii）时，得，故； 综上得：在上有且只有一个极值点时， 9分注：本题也可分离变量求得（3）证明：由（1）可知：（i）若，则，在上为单调增函数，所以直线与 的图象不可能有两个切点，不合题意10分（）若，在处取得极值若，时，由图象知不可能有两个切点11分故，设图象与轴的两个交点的横坐标为（不妨设），则直线与的图象有两个切点即为直线与和的切点，设切点分别为，则，且， 即， ， ，-得：， 由中的代入上式可得：，即， 14分令，则，令，因为，故存在，使得，即存在一条过原点的直线与的图象有两个切点16分
