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1、第36练概率的两类模型内容精要概率是高中数学的重要内容，也是高考的必考题在高考中，概率部分的命题主要有三个方面的特点：一是以古典概型的概率公式为考查对象，二是以几何概型的概率公式为考查对象，三是古典概型与其他知识相交汇，题目多以选择题和填空题的形式出现题型一古典概型问题例1某班级的某一小组有6位学生，其中4位男生，2位女生，现从中选取2位学生参加班级志愿者小组，求下列事件的概率：(1)选取的2位学生都是男生；(2)选取的2位学生一位是男生，另一位是女生破题切入点先求出任取2位学生的基本事件的总数，然后分别求出所求的两个事件含有的基本事件数，再利用古典概型概率公式求解解(1)设4位男生的编号分别
2、为1,2,3,4,2位女生的编号分别为5,6.从6位学生中任取2位学生的所有可能结果为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种从6位学生中任取2位学生，所取的2位全是男生的方法数，即从4位男生中任取2个的方法数，共有6种，即(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)所以选取的2位学生全是男生的概率为P1.(2)从6位学生中任取2位，其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，
3、(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种所以选取的2位学生一位是男生，另一位是女生的概率为P2.题型二几何概型问题例2(2013四川)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A. B.C. D.破题切入点由几何概型的特点，利用数形结合即可求解答案C解析设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x、y，x、y相互独立，由题意可知，如图所示两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|xy|2
4、).题型三古典概型与几何概型的综合问题例3已知关于x的一元二次方程9x26axb240，a，bR.(1)若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求已知方程有两个不相等实根的概率；(2)若a是从区间0,3内任取的一个数，b是从区间0,2内任取的一个数，求已知方程有实数根的概率破题切入点本题中含有两个参数，显然要将问题转化为含参数的一元二次方程有解的条件问题第(1)问利用列举法将基本事件罗列出来，再结合题意求解第(2)问将a，b满足的不等式转化为可行域平面区域问题，从而利用几何概型的概率公式求解解设事件A为“方程9x26axb240有两个不相等的实数根”；事件
5、B为“方程9x26axb240有实数根”(1)由题意，知基本事件共9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值由36a236(b24)36a236b23640，得a2b24.事件A要求a，b满足条件a2b24，可知包含6个基本事件：(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，所以方程有两个不相同实根的概率P(A).(2)由题意，方程有实根的区域为图中阴影部分，故所求概率为：P(B)1.总结提高(1)求解古典概型问题的三个步骤判断本次试验的结果是否是等可能的，设出
6、所求事件A.分别计算基本事件的总数n和所求事件A所包含的基本事件的个数m.利用古典概型的概率公式P(A)求出事件A的概率若直接求解比较困难，则可以利用间接的方法，如逆向思维，先求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率(2)几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决(3)几何概型的概率求解，一般要将问题转化为长度、面积或体积等几何问题在转化中，面积问题的求解常常用到线性规划知识，也就是用二元一次不等式(或其他简单不等
7、式)组表示区域几何概型的试验中事件A的概率P(A)只与其所表示的区域的几何度量(长度、面积或体积)有关，而与区域的位置和形状无关1从标有1,2,3，7的7个小球中取出一球，记下它上面的数字，放回后再取出一球，记下它上面的数字，然后把两数相加得和，则取得的两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率是()A. B. C. D.答案A2已知实数a，b满足x1，x2是关于x的方程x22xba30的两个实根，则不等式0x110，f(1)0，即建立平面直角坐标系如图满足题意的区域为图中阴影部分，故所求概率P.3(2014陕西)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形
8、边长的概率为()A. B. C. D.答案C解析取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为.故选C.4有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A. B. C. D.答案B解析设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1，由几何概型，则P1，故点P到点O的距离大于1的概率P1.5在面积为S的矩形ABCD内随机取一点P，则PBC的面积小于的概率是()A. B. C. D.答案D解析如图，M，N分别为AB，CD中点，当点P位于阴影部分时，PBC的面积小于，根据几何概型，其概率为P.6已知点A在
9、坐标原点，点B在直线y1上，点C(3,4)，若AB，则ABC的面积大于5的概率是()A. B.C. D.答案C解析设B(x,1)，根据题意知点D(，1)，若ABC的面积小于或等于5，则DB45，即DB，所以点B的横坐标x，而AB，所以点B的横坐标x3,3，所以ABC的面积小于或等于5的概率为P，所以ABC的面积大于5的概率是1P.7(2013湖北)在区间2,4上随机地取一个数x，若x满足|x|m的概率为，则m_.答案3解析由|x|m，得mxm.当m2时，由题意得，解得m2.5，矛盾，舍去当2mn.如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q(m，n)，点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直
10、线mn恰好将矩形平分，所求的概率为P.9(2013江苏)现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m7，n9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为_答案解析P.10平面内有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3 cm，把一枚半径为1 cm的硬币任意投掷在这个平面内，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是_答案解析如图所示，当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰，故所求概率为.11已知向量a(2,1)，b(x，y)(1)若x、y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足ab1的概率；(2)若x，y在
11、连续区间1,6上取值，求满足ab0的概率解(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6636(个)；由ab1有2xy1，所以满足ab1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个；故满足ab1的概率为.(2)若x，y在连续区间1,6上取值，则全部基本事件的结果为(x，y)|1x6,1y6；满足ab0的基本事件的结果为A(x，y)|1x6,1y6且2xy0；画出图形如图，矩形的面积为S矩形25，阴影部分的面积为S阴影252421，故满足ab85%.方法二该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩至少一个为A的事件概率大于85%.理由如下：该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩全不为A的事件有1种情况，即(，)，其概率为，则物理、化学、生物成绩至少一个为A的概率为P2185%.- 7 -
