《2011年高考一轮数学复习 8-3抛物线 理 同步练习（名师解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011年高考一轮数学复习 8-3抛物线 理 同步练习（名师解析）（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第8章 第3节 知能训练提升考点一：抛物线定义的应用1已知点P是抛物线yx2上的动点，点P在直线y1上的射影是M，定点A(4，)，则|PA|PM|的最小值是()A. B5C. D6解析：如图，据抛物线定义可知点P到准线y的距离等于PF的长，故|PC|PA|PF|PA|AF|5(即点P移至点B时取得最小值)，从而|PM|PA|PC|PA|AF|.答案：C2过抛物线y22px(p0)的焦点F任作一条直线m，交此抛物线于P1、P2两点，求证：以P1、P2为直径的圆和这条抛物线的准线相切证明：如图所示，设P1、P2的中点为P0，过P1、P2、P0分别向准线l引垂线，垂足分别为Q1、Q2、Q0，根据抛物
2、线的定义得：|P1F|P1Q1|，|P2F|P2Q2|，|P1P2|P1F|P2F|P1Q1|P2Q2|.P1Q1P0Q0P2Q2，|P1P0|P0P2|，|P0Q0|(|P1Q1|P2Q2|)|P1P2|.由此可知，|P0Q0|是以P1P2为直径的圆P0的半径，且P0Q0l，因此，圆P0与准线相切考点二：抛物线的方程3边长为1的等边三角形AOB，O为原点，ABx轴，以O为顶点，且过A、B的抛物线方程是()Ay2x By2xCy2x Dy2x解析：根据题意可知抛物线以x轴为对称轴，当开口向右时(如图所示)，A(，)，设抛物线方程为y22px， 则有2p，所以p，抛物线方程为y2x，同理可得，当
3、开口向左时，抛物线方程为y2x.答案：C4抛物线的焦点在直线xy20上，则抛物线的标准方程为()Ay24x和x24y By24x和x24yCy28x和x28y Dy28x和x28y解析：直线xy20与两坐标轴的交点为(2,0)，(0,2)，若抛物线的焦点为(2,0)，设其方程为y22px，由2，得2p8，所求方程为y28x.若抛物线的焦点为(0,2)，设其方程为x22py，由2得2p8，所求方程为x28y.答案：C考点三：抛物线的性质5如图，过抛物线y24x焦点的直线依次交抛物线和圆(x1)2y21于A、B、C、D四点，则|AB|CD|()A4 B2C1 D.解析：|AB|CD|定值，分析直线
4、与x轴垂直的情况，即可得到答案，圆(x1)2y21的圆心为y24x的焦点，半径为1，此时|AB|CD|1，|AB|CD|1，故选C.答案：C6(2010河南洛阳模拟)过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，抛物线准线与x轴交于C点，若CBF90，则|AF|BF|的值为()A. BpC. D2p解析：如图，在直角三角形CBF中利用射影定理得y(x1)(x1)x2px1，x1p，|BF|p，又直角三角形CBF与直角三角形ADF相似，|AF|p，则|AF|BF|的值为2p，故选D.答案：D7设F为抛物线y24x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若0，则|()A9 B6C4
5、D3解析：焦点F坐标为(1,0)，设A、B、C坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)(x11，y2)，(x21，y2)，(x31，y3)0， x11x21x310，x1x2x33|x11x21x316.答案：B8已知抛物线y22px(p0)，过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|2p.(1)求a的取值范围；(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求NAB面积的最大值解：(1)设直线l的方程为yxa，代入抛物线方程得(xa)22px，即x22(ap)xa20，|AB|2p，4ap2p2p2，即4app2.又p0，a.(2)设A(x
6、1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点C(x，y)，由(1)知，y1x1a，y2x2a，x1x22a2p，则有xap，yp.线段AB的垂直平分线的方程为yp(xap)，从而N点坐标为(a2p,0)，点N到AB的距离为p.从而SNABp2p.1.(2009全国)已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A、B两点，F为C的焦点若|FA|2|FB|，则k()A. B.C. D.解析：过A、B作抛物线准线l的垂线，垂足分别为A1、B1，由抛物线定义可知，|AA1|AF|，|BB1|BF|，2|BF|AF|，|AA1|2|BB1|，即B为AC的中点从而yA2yB，联立方程组消去x得：y2
7、y160，消去得kyB答案：D2(2009四川)已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A2 B3C. D.解析：直线l2：x1恰为抛物线y24x准线，P到l2的距离d2|PF|(F(1,0)为抛物线焦点)，所以P到l1、l2距离之和最小值为F到l1距离2，故选A.答案：A3(2009宁夏、海南)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A、B两点若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为_解析：抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，1，抛物线方程为y24x.设A(x1，y1)，B(x
8、2，y2)，则y1y24，y4x1，y4x2，得yy4(x1x2)，(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，1，直线l的斜率为1，且过点(2,2)，直线方程为y2x2，yx.答案：yx4(2009湖北)过抛物线y22px(p0)的对称轴上一点A(a,0)(a0)的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线l：xa作垂线，垂足分别为M1、N1.(1)当a时，求证：AM1AN1；(2)记AMM1、AM1N1、ANN1的面积分别为S1、S2、S3.是否存在，使得对任意的a0，都有SS1S3成立若存在，求出的值；若不存在，说明理由解析：依题意，可设直线MN的方程为mya，M(x1，y1)，N(x2，
9、y2)，则有M1(a，y1)，N1(a，y2)由消去x可得y22mpy2ap0.从而有于是x1x2m(y1y2)2a2(m2pa)又由y2px1，y2px2，可得x1x2a2. (1) 如下图，当a时，点A(，0)即为抛物线的焦点，l为其准线x.此时M1(，y1)，N1(，y2)，并由可得y1y2p2.证法一：(p，y1)，(p，y2)，p2y1y2p2p20，即AM1AN1.证法二：kAM1，kAM1，KAM1KAM11，即AM1AN1.(2)存在4，使得对任意的a0，都有S4S1S3成立证明如下：证法一：记直线l与x轴的交点为A1，则|OA|OA1|a.于是有S1|MM1|A1M1|(x1
10、a)|y1|，S2|M1N1|AA1|a|y1y2|，S3|NN1|A1N1|(x2a)|y2|.S4S1S3(a|y1y2|)2(x1a)|y1|(x2a)|y2|a2(y1y2)24y1y2x1x2a(x1x2)a2|y1y2|.将、代入上式化简可得a2(4m2p28ap)2ap(2am2p4a2)4a2p(m2p2a)4a2p(m2p2a)上式恒成立，即对任意a0，S4S1S3成立证法二：如下图，连结MN1、NM1，则由y1y22ap，y2px1可得kOMkON1，所以直线MN1经过原点O.同理可证直线NM1也经过原点O.又|OA|OA1|a，设|M1A1|h1，|N1A1|h2，|MM
11、1|d1，|NN1|d2，则S1d1h1，S22a(h1h2)a(h1h2)，S3d2h2.MM1NN1AA1OA1M1NN1M1，OA1N1MM1N1，即a(h1h2)h1d2h2d1.而4.将代入，即得4，故对任意a0，S4S1S3成立.1.已知抛物线y2ax(a0)，直线l过焦点F且与x轴不重合，则抛物线被l垂直平分的弦共有()A不存在 B有且只有1条C2条 D3条解析：据题意设直线方程为ykxb，联立抛物线方程消元得：k2x2(2kba)xb20，设弦AB的中点坐标为(x0，y0)，则x0，y0，若垂直平分，则有，整理得4kb2aak2，由于直线AB与抛物线相交，但a24abka(a4bk)a2(1k2)0，即直线与抛物线不相交，这样的直线不存在答案：A2已知抛物线C：y24x，点M(m,0)在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点(1)若m1，l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；(2)若存在直线l使得|AM|，|OM|，|MB|成等比数列，求实数m的取值范围解：(1)由题意，得M(1,0)，直线l的方程为yx1.由，得x26x10.设A，B两点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点P的坐标为P(x0，y0)，则x132，x232，y1x
