《2011年高考一轮数学复习 8-3抛物线 理 同步练习(名师解析)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2011年高考一轮数学复习 8-3抛物线 理 同步练习(名师解析)(8页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第8章 第3节 知能训练提升考点一:抛物线定义的应用1已知点P是抛物线yx2上的动点,点P在直线y1上的射影是M,定点A(4,),则|PA|PM|的最小值是()A. B5C. D6解析:如图,据抛物线定义可知点P到准线y的距离等于PF的长,故|PC|PA|PF|PA|AF|5(即点P移至点B时取得最小值),从而|PM|PA|PC|PA|AF|.答案:C2过抛物线y22px(p0)的焦点F任作一条直线m,交此抛物线于P1、P2两点,求证:以P1、P2为直径的圆和这条抛物线的准线相切证明:如图所示,设P1、P2的中点为P0,过P1、P2、P0分别向准线l引垂线,垂足分别为Q1、Q2、Q0,根据抛物
2、线的定义得:|P1F|P1Q1|,|P2F|P2Q2|,|P1P2|P1F|P2F|P1Q1|P2Q2|.P1Q1P0Q0P2Q2,|P1P0|P0P2|,|P0Q0|(|P1Q1|P2Q2|)|P1P2|.由此可知,|P0Q0|是以P1P2为直径的圆P0的半径,且P0Q0l,因此,圆P0与准线相切考点二:抛物线的方程3边长为1的等边三角形AOB,O为原点,ABx轴,以O为顶点,且过A、B的抛物线方程是()Ay2x By2xCy2x Dy2x解析:根据题意可知抛物线以x轴为对称轴,当开口向右时(如图所示),A(,),设抛物线方程为y22px, 则有2p,所以p,抛物线方程为y2x,同理可得,当
3、开口向左时,抛物线方程为y2x.答案:C4抛物线的焦点在直线xy20上,则抛物线的标准方程为()Ay24x和x24y By24x和x24yCy28x和x28y Dy28x和x28y解析:直线xy20与两坐标轴的交点为(2,0),(0,2),若抛物线的焦点为(2,0),设其方程为y22px,由2,得2p8,所求方程为y28x.若抛物线的焦点为(0,2),设其方程为x22py,由2得2p8,所求方程为x28y.答案:C考点三:抛物线的性质5如图,过抛物线y24x焦点的直线依次交抛物线和圆(x1)2y21于A、B、C、D四点,则|AB|CD|()A4 B2C1 D.解析:|AB|CD|定值,分析直线
4、与x轴垂直的情况,即可得到答案,圆(x1)2y21的圆心为y24x的焦点,半径为1,此时|AB|CD|1,|AB|CD|1,故选C.答案:C6(2010河南洛阳模拟)过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点,抛物线准线与x轴交于C点,若CBF90,则|AF|BF|的值为()A. BpC. D2p解析:如图,在直角三角形CBF中利用射影定理得y(x1)(x1)x2px1,x1p,|BF|p,又直角三角形CBF与直角三角形ADF相似,|AF|p,则|AF|BF|的值为2p,故选D.答案:D7设F为抛物线y24x的焦点,A、B、C为该抛物线上三点,若0,则|()A9 B6C4
5、D3解析:焦点F坐标为(1,0),设A、B、C坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)(x11,y2),(x21,y2),(x31,y3)0, x11x21x310,x1x2x33|x11x21x316.答案:B8已知抛物线y22px(p0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B,且|AB|2p.(1)求a的取值范围;(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求NAB面积的最大值解:(1)设直线l的方程为yxa,代入抛物线方程得(xa)22px,即x22(ap)xa20,|AB|2p,4ap2p2p2,即4app2.又p0,a.(2)设A(x
6、1,y1)、B(x2,y2),AB的中点C(x,y),由(1)知,y1x1a,y2x2a,x1x22a2p,则有xap,yp.线段AB的垂直平分线的方程为yp(xap),从而N点坐标为(a2p,0),点N到AB的距离为p.从而SNABp2p.1.(2009全国)已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C:y28x相交于A、B两点,F为C的焦点若|FA|2|FB|,则k()A. B.C. D.解析:过A、B作抛物线准线l的垂线,垂足分别为A1、B1,由抛物线定义可知,|AA1|AF|,|BB1|BF|,2|BF|AF|,|AA1|2|BB1|,即B为AC的中点从而yA2yB,联立方程组消去x得:y2
7、y160,消去得kyB答案:D2(2009四川)已知直线l1:4x3y60和直线l2:x1,抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A2 B3C. D.解析:直线l2:x1恰为抛物线y24x准线,P到l2的距离d2|PF|(F(1,0)为抛物线焦点),所以P到l1、l2距离之和最小值为F到l1距离2,故选A.答案:A3(2009宁夏、海南)已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),直线l与抛物线C相交于A、B两点若AB的中点为(2,2),则直线l的方程为_解析:抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),1,抛物线方程为y24x.设A(x1,y1),B(x
8、2,y2),则y1y24,y4x1,y4x2,得yy4(x1x2),(y1y2)(y1y2)4(x1x2),1,直线l的斜率为1,且过点(2,2),直线方程为y2x2,yx.答案:yx4(2009湖北)过抛物线y22px(p0)的对称轴上一点A(a,0)(a0)的直线与抛物线相交于M、N两点,自M、N向直线l:xa作垂线,垂足分别为M1、N1.(1)当a时,求证:AM1AN1;(2)记AMM1、AM1N1、ANN1的面积分别为S1、S2、S3.是否存在,使得对任意的a0,都有SS1S3成立若存在,求出的值;若不存在,说明理由解析:依题意,可设直线MN的方程为mya,M(x1,y1),N(x2,
9、y2),则有M1(a,y1),N1(a,y2)由消去x可得y22mpy2ap0.从而有于是x1x2m(y1y2)2a2(m2pa)又由y2px1,y2px2,可得x1x2a2. (1) 如下图,当a时,点A(,0)即为抛物线的焦点,l为其准线x.此时M1(,y1),N1(,y2),并由可得y1y2p2.证法一:(p,y1),(p,y2),p2y1y2p2p20,即AM1AN1.证法二:kAM1,kAM1,KAM1KAM11,即AM1AN1.(2)存在4,使得对任意的a0,都有S4S1S3成立证明如下:证法一:记直线l与x轴的交点为A1,则|OA|OA1|a.于是有S1|MM1|A1M1|(x1
10、a)|y1|,S2|M1N1|AA1|a|y1y2|,S3|NN1|A1N1|(x2a)|y2|.S4S1S3(a|y1y2|)2(x1a)|y1|(x2a)|y2|a2(y1y2)24y1y2x1x2a(x1x2)a2|y1y2|.将、代入上式化简可得a2(4m2p28ap)2ap(2am2p4a2)4a2p(m2p2a)4a2p(m2p2a)上式恒成立,即对任意a0,S4S1S3成立证法二:如下图,连结MN1、NM1,则由y1y22ap,y2px1可得kOMkON1,所以直线MN1经过原点O.同理可证直线NM1也经过原点O.又|OA|OA1|a,设|M1A1|h1,|N1A1|h2,|MM
11、1|d1,|NN1|d2,则S1d1h1,S22a(h1h2)a(h1h2),S3d2h2.MM1NN1AA1OA1M1NN1M1,OA1N1MM1N1,即a(h1h2)h1d2h2d1.而4.将代入,即得4,故对任意a0,S4S1S3成立.1.已知抛物线y2ax(a0),直线l过焦点F且与x轴不重合,则抛物线被l垂直平分的弦共有()A不存在 B有且只有1条C2条 D3条解析:据题意设直线方程为ykxb,联立抛物线方程消元得:k2x2(2kba)xb20,设弦AB的中点坐标为(x0,y0),则x0,y0,若垂直平分,则有,整理得4kb2aak2,由于直线AB与抛物线相交,但a24abka(a4bk)a2(1k2)0,即直线与抛物线不相交,这样的直线不存在答案:A2已知抛物线C:y24x,点M(m,0)在x轴的正半轴上,过M的直线l与C相交于A、B两点,O为坐标原点(1)若m1,l的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程;(2)若存在直线l使得|AM|,|OM|,|MB|成等比数列,求实数m的取值范围解:(1)由题意,得M(1,0),直线l的方程为yx1.由,得x26x10.设A,B两点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点P的坐标为P(x0,y0),则x132,x232,y1x