《2011年高考一轮数学复习 6-3不等式的证明 理 同步练习(名师解析)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2011年高考一轮数学复习 6-3不等式的证明 理 同步练习(名师解析)(7页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第6章 第3节 知能训练提升考点一:比较法证明不等式1设ab0,求证:.证明:证法一:ab0,左边右边0,故原不等式成立证法二:11,且由ab0,知0,.2设mn,m、nN*,a(lgx)m(lgx)m,b(lgx)n(lgx)n,x1,求证:ab.证明:ab(lgx)m(lgx)m(lgx)n(lgx)n(lgmxlgnx)()(lgmxlgnx)(lgmxlgnx)(1)mn,m,nN*,x1,lgmxlgnx,lgmxlgnx1.10.ab.考点二:分析法证明不等式3已知a0,求证: a2.证明:要证 a2只要证 2aa0故只要证( 2)2(a)2即a24 4a222(a)2,从而只要证
2、:2 (a),只要证4(a2)2(a22),即a22,而上述不等式显然成立故原不等式成立考点三:综合法证明不等式4已知a、b、c是不全相等的正数,求证:lglglglgalgblgc.证明:a,b,cR,lg(lgalgb),lg(lgblgc),lg(lgclga)以上三式相加,且注意到a、b、c不全相等,故得lglglglgalgblgc.5已知a,b,c都是实数,求证:a2b2c2(abc)2abbcca.证明:a,bR,a2b22ab,b,cR,b2c22bc,c,aR,c2a22ca,将以上三个不等式相加得2(a2b2c2)2(abbcca)即a2b2c2abbcca在不等式的两边同
3、时加“a2b2c2”,得3(a2b2c2)(abc)2,即a2b2c2(abc)2在不等式的两边同时加“2(abbcca)”,得(abc)23(abbcca),即(abc)2abbcca由得a2b2c2(abc)2abbcca.考点四:反证法证明不等式6设a,b,c(0,1),求证:(1a)b,(1b)c,(1c)a中至少有一个不小于.证明:假设,则,.而.二者矛盾,假设不成立,故原不等式成立考点五:放缩法证明不等式7已知n,k均为大于1的整数,求证:12.证明:n1,k1,n,k均为整数,1111(1)()()22.即12(n,kN,n2,k2)考点六:构造函数法证明不等式8已知ABC的三边
4、长分别是a,b,c,且m为正数求证:.证明:构造函数f(x),x(0,),f(x)0,f(x)在(0,)上为增函数,cab,f(c)f(ab),即,故成立.1.(2006重庆)若a,b,c0且a(abc)bc42,则2abc的最小值为()A.1B.1C22 D22解析:由a(abc)bc42得(ac)(ab)42.a、b、c0,(ac)(ab)()2(当且仅当acba即bc时取“”号)2abc22(1)22.故选D.答案:D2(2007上海春)设a、b是正实数,以下不等式;a|ab|b;a2b24ab3b2;ab2恒成立的序号为()ABC D解析:对于:0,不合题意,则应排除A、B;对于:(a
5、2b2)(4ab3b2)a24ab4b2(a2b)20,即a2b24ab3b2.不合题意,排除C,故选D.答案:D3(2008陕西)已知数列an的首项a1,an1,n1,2,.(1)求an的通项公式;(2)证明:对任意的x0,an(x),n1,2,;(3)证明:a1a2an.解:(1)an1,1(1)又1,1是以为首项,为公比的等比数列1.an.(2)证明:由(1)知an0,(x)(11x)(1x)(an)2anan.原不等式成立(3)证明:由(2)知,对任意的x0,有a1a2an(x)(x)(x)(nx)取x()(1),则a1a2an.原不等式成立4(2009山东)等比数列an的前n项和为S
6、n,已知对任意的nN*,点(n,Sn)均在函数ybxr(b0且b1,b,r均为常数)的图象上(1)求r的值;(2)当b2时,记bn2(log2an1)(nN*)证明:对任意的nN*,不等式成立(1)解:由题意,Snbnr,当n2时,Sn1bn1r,所以anSnSn1bn1(b1)由于b0且b1,所以n2时,an是以b为公比的等比数列又a1br,a2b(b1),b,即b,解得r1.(2)证法一:由(1)知an2n1,因此bn2n(nN*),所证不等式为.当n1时,左式,右式,左式右式,所以结论成立假设nk时结论成立,即,则当nk1时,要证当nk1时结论成立,只需证,即证.由均值不等式成立,故成立
7、所以,当nk1时,结论成立由可知,nN*时,不等式成立证法二:由(1)知:an2n1,因此bn2n(nN*),所证不等式为.事实上,.故对一切nN*,不等式成立.设f(x)3ax22bxc,若abc0,f(0)f(1)0,求证:(1)方程f(x)0有实根;(2)21;(3)设x1,x2是方程f(x)0的两个实根,则|x1x2|.证明:(1)若a0,则bc.f(0)f(1)c(3a2bc)c20,与已知矛盾,所以a0.方程3ax22bxc0的判别式4(b23ac)由条件abc0,消去b,得4(a2c2ac)4(a)2c20,故方程f(x)0有实根(2)由f(0)f(1)0,得c(3a2bc)0,由条件abc0,消去c,得(ab)(2ab)0.因为a20,所以(1)(2)0.故21.(3)由条件,知x1x2,x1x2,所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2()2.因为21,所以(x1x2)2.故|x1x2|.