《2011年高考一轮数学复习 6-3不等式的证明 理 同步练习（名师解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011年高考一轮数学复习 6-3不等式的证明 理 同步练习（名师解析）（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第6章 第3节 知能训练提升考点一：比较法证明不等式1设ab0，求证：.证明：证法一：ab0，左边右边0，故原不等式成立证法二：11，且由ab0，知0，.2设mn，m、nN*，a(lgx)m(lgx)m，b(lgx)n(lgx)n，x1，求证：ab.证明：ab(lgx)m(lgx)m(lgx)n(lgx)n(lgmxlgnx)()(lgmxlgnx)(lgmxlgnx)(1)mn，m，nN*，x1，lgmxlgnx，lgmxlgnx1.10.ab.考点二：分析法证明不等式3已知a0，求证： a2.证明：要证 a2只要证 2aa0故只要证( 2)2(a)2即a24 4a222(a)2，从而只要证
2、：2 (a)，只要证4(a2)2(a22)，即a22，而上述不等式显然成立故原不等式成立考点三：综合法证明不等式4已知a、b、c是不全相等的正数，求证：lglglglgalgblgc.证明：a，b，cR，lg(lgalgb)，lg(lgblgc)，lg(lgclga)以上三式相加，且注意到a、b、c不全相等，故得lglglglgalgblgc.5已知a，b，c都是实数，求证：a2b2c2(abc)2abbcca.证明：a，bR，a2b22ab，b，cR，b2c22bc，c，aR，c2a22ca，将以上三个不等式相加得2(a2b2c2)2(abbcca)即a2b2c2abbcca在不等式的两边同
3、时加“a2b2c2”，得3(a2b2c2)(abc)2，即a2b2c2(abc)2在不等式的两边同时加“2(abbcca)”，得(abc)23(abbcca)，即(abc)2abbcca由得a2b2c2(abc)2abbcca.考点四：反证法证明不等式6设a，b，c(0,1)，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a中至少有一个不小于.证明：假设，则，.而.二者矛盾，假设不成立，故原不等式成立考点五：放缩法证明不等式7已知n，k均为大于1的整数，求证：12.证明：n1，k1，n，k均为整数，1111(1)()()22.即12(n，kN，n2，k2)考点六：构造函数法证明不等式8已知ABC的三边
4、长分别是a，b，c，且m为正数求证：.证明：构造函数f(x)，x(0，)，f(x)0，f(x)在(0，)上为增函数，cab，f(c)f(ab)，即，故成立.1.(2006重庆)若a，b，c0且a(abc)bc42，则2abc的最小值为()A.1B.1C22 D22解析：由a(abc)bc42得(ac)(ab)42.a、b、c0，(ac)(ab)()2(当且仅当acba即bc时取“”号)2abc22(1)22.故选D.答案：D2(2007上海春)设a、b是正实数，以下不等式；a|ab|b；a2b24ab3b2；ab2恒成立的序号为()ABC D解析：对于：0，不合题意，则应排除A、B；对于：(a
5、2b2)(4ab3b2)a24ab4b2(a2b)20，即a2b24ab3b2.不合题意，排除C，故选D.答案：D3(2008陕西)已知数列an的首项a1，an1，n1,2，.(1)求an的通项公式；(2)证明：对任意的x0，an(x)，n1,2，；(3)证明：a1a2an.解：(1)an1，1(1)又1，1是以为首项，为公比的等比数列1.an.(2)证明：由(1)知an0，(x)(11x)(1x)(an)2anan.原不等式成立(3)证明：由(2)知，对任意的x0，有a1a2an(x)(x)(x)(nx)取x()(1)，则a1a2an.原不等式成立4(2009山东)等比数列an的前n项和为S
6、n，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值；(2)当b2时，记bn2(log2an1)(nN*)证明：对任意的nN*，不等式成立(1)解：由题意，Snbnr，当n2时，Sn1bn1r，所以anSnSn1bn1(b1)由于b0且b1，所以n2时，an是以b为公比的等比数列又a1br，a2b(b1)，b，即b，解得r1.(2)证法一：由(1)知an2n1，因此bn2n(nN*)，所证不等式为.当n1时，左式，右式，左式右式，所以结论成立假设nk时结论成立，即，则当nk1时，要证当nk1时结论成立，只需证，即证.由均值不等式成立，故成立
7、所以，当nk1时，结论成立由可知，nN*时，不等式成立证法二：由(1)知：an2n1，因此bn2n(nN*)，所证不等式为.事实上，.故对一切nN*，不等式成立.设f(x)3ax22bxc，若abc0，f(0)f(1)0，求证：(1)方程f(x)0有实根；(2)21；(3)设x1，x2是方程f(x)0的两个实根，则|x1x2|.证明：(1)若a0，则bc.f(0)f(1)c(3a2bc)c20，与已知矛盾，所以a0.方程3ax22bxc0的判别式4(b23ac)由条件abc0，消去b，得4(a2c2ac)4(a)2c20，故方程f(x)0有实根(2)由f(0)f(1)0，得c(3a2bc)0，由条件abc0，消去c，得(ab)(2ab)0.因为a20，所以(1)(2)0.故21.(3)由条件，知x1x2，x1x2，所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2()2.因为21，所以(x1x2)2.故|x1x2|.
