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1、【考纲下载】,掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形.,第4讲 解斜三角形及应用举例,1正弦定理 (1)定理： 其中R为三角形外接圆的半径 (2)变式：a ，b ，c ； sin A ，sin B ，sin C ； abc .,2RsinA,2RsinB,2RsinC,sinAsinBsinC, 2R，,提示：已知三角形的两边和其中一边的对角，利用正弦定理求其他的角 和边时，要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解，两解，无 解三种情况,2余弦定理 (1)定理：a2 ； b2 ； c2 ； (2)变式：cos A ； cos B ； cos C,b2c22bccosA,a2c2
2、2accosB,a2b22abcosC,提示：在ABC中，已知a，b，A，求c时，利用余弦定理a2b2c2 2bccos A得到关于c的二次方程，但也应注意三角形解的个数的判断,3三角形面积公式,(1)S (ha表示a边上的高)； (2)S absin C ； (3)S r(abc)(r为内切圆半径),(1)仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视 线在水平视线 叫仰角；目标视线在水平视线 叫俯角(如图),上方,下方,4 实际问题中的常用角,(2)方位角 指从 方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图),(3)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数
3、 提示：在解决与三角形有关的实际问题时，首先要明确题意，正确画出平 面图形或空间图形，然后根据条件和图形特点将问题归结到三角形中解决,正北,1ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c ，b ，B 120，则a等于( ),解析：由正弦定理得 又C为锐角，则C30，A30，ABC为等腰三角形， ac . 答案：D,2(2009广东卷)已知ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若 ac ，且A75，则b( ),解析：ac，A75，B30， b2a2c22accos 30,b2. 答案：A,3 已知锐角ABC的面积为3 ，BC4，CA3，则角C的大小为( ) A75 B60 C45 D
4、30,答案：B,4在200m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别是30、 60，则塔高为_m.,解析：如图，由已知可得BAC=30，CAD=30， BCA=60，ACD=30，ADC=120，,在ACD中，由余弦定理得，,判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两条途径：,(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得 出边的相应关系，从而判断三角形的形状； (2)利用正、余弦
5、定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函 数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A BC这个结论,【例1】在ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，判断三角形的形状 思维点拨：利用正弦定理、余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系 解：解法一：已知等式可化为a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB) 2a2cos Asin B2b2cos Bsin A,由正弦定理可知上式可化为： sin2Acos Asin Bsin2Bcos Bsin A sin As
6、in B(sin Acos Asin Bcos B)0 sin 2Asin 2B，由02A,2B2， 得2A2B或2A2B，即AB或A B， ABC为等腰或直角三角形,解法二：同解法一可得2a2cos Asin B2b2sin Acos B， 由正、余弦定理，可得 a2(b2c2a2)b2(a2c2b2) 即(a2b2)(a2b2c2)0 ab或a2b2c2，ABC为等腰或直角三角形.,三角形一般由三个条件确定，比如已知三边a，b，c，或两边a，b及夹角C，可以将a，b，c或a，b，C作为解三角形的基本要素，根据已知条件，通过正弦定理、余弦定理、面积公式等利用解方程组等手段进行求解，必要时可考
7、虑作辅助线，将所给条件置于同一三角形中,【例2】在ABC中，A、B、C所对的边的长分别为a，b，c，设a，b，c满足条件b2c2bca2和 ，求A和tan B的值 思维点拨：利用余弦定理求cos A；利用正弦定理将 化为 ， 而CAB.(因为A已求),解：b2c2bca2，b2c2a2bc. 由余弦定理得cos A . 又A为三角形一内角，A . 在ABC中，C(AB) ， 由已知条件及正弦定理得 tan B .,变式2：已知ABC顶点的坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c,0) (1)若c5，求sin A的值； (2)若A为钝角，求c的取值范围 解：(1)解法一：A(3,4)，B(0
8、,0)，|AB|5. 又C(c,0)，sin B . 当c5时，|BC|5， 由正弦定理得,解法二：A(3,4)，B(0,0)，|AB|5. 当c5时，|BC|5.,由余弦定理得,(2)A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)，|AC|2(c3)242，|BC|2c2.,A为钝角，cos A .,1. 根据所给条件确定三角形的形状：可通过正弦定理、余弦定理施行边角转 化，其具体途径是都转化为角，利用三角函数变换确定三角形形状，可统一 转化为边，利用代数式的变形，判断三角形的形状 2三角形中的三角函数恒等变换,【例3】在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos A . (1)求s
9、in2 cos 2A的值；(2)若a ，求bc的最大值 解： (1)sin2 cos 2A 1cos(BC)(2cos2A1) (1cos A)(2cos2A1) . (2) ， bcb2c2a22bca2，bc a2， 又a ，bc .当且仅当bc 时，bc ，故bc的最大值是 .,变式3：在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且8sin2 2cos 2A7. (1)求角A的大小；(2)若a ，bc3，求b和c的值 解：(1)ABC180， . 由8sin2 2cos 2A7，得8cos2 2cos 2A7. 4(1cos A)2(2cos2A1)7.即(2cos A1)20.co
10、s A . 0A180，A60.,(2)a ，bc3，A60，由余弦定理知a2b2c22bccos A， 3b2c2bc(bc)23bc93bc.bc2. 又bc3，b1，c2或b2，c1.,解斜三角形有着广泛的应用，如测量、航海、几何、物理诸方面都要用到解斜三角形的知识，解此类问题一般步骤是：(1)阅读理解，画出示意图，分清已知和所求，尤其要理解应用题中有关名词和术语，如坡度、仰角、俯角、象限角、方位角等；(2)分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形；(3)解这些三角形，求出答案,【例4】(2009辽宁卷)如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内， B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶
11、测量船于水面A处测得B点和D点的仰 角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC 0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的 距离(计算结果精确到0.01 km， 1.414， 2.449),解：在ACD中，DAC30，ADC60DAC30，所以 CDAC0.1. 又BCD180606060， 故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BDBA. 在ABC中，,故B，D的距离约为0.33 km.,【方法规律】,1正、余弦定理和三角形面积公式是本讲课的重点，能利用三角形内角和、 边、角之间的关系，三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求解三角 形，以
12、及利用它们解决一些实际问题 2应熟练掌握和运用内角和定理：ABC， 中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数,3正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin2A sin2Bsin2C2sin Bsin Ccos A，可以进行化简或证明 4根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.,【高考真题】,(12分)(2009湖北卷)在锐角ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且 a2csin A. (1)确定角C的大小； (2)若c ，且ABC的面积为 ，求ab的值,【规范解答】,解：(1)由
13、 a2csin A及正弦定理得， .2分 sin A0，sin C 4分 ABC是锐角三角形，C .6分 (2)解法一：c ，C . 由面积公式得 ，即ab6. 8分,由余弦定理得a2b22abcos 7，即a2b2ab7. 由变形得(ab)23ab7. 10分 将代入得(ab)225.故ab5. 12分 解法二：前同解法一，联立、得 8分 消去b并整理得a413a2360，解得 a24或a29.10分 所以 或 故ab5. 12分,【探究与研究】,本题的新颖之处是考查方程思想和整体思想第(1)问实际上是为第(2)问服务的，在解决了第(1)问后，第(2)问中给出的两个条件其目的是让考生列出关于a，b的方程组，而结论求ab的值，既可以求出a、b后解决，也可以整体解决,(1)看到sin C ，得C 或C ，忽视锐角三角形的限制条件导致错误 (2)本题利用解方程整体消元的技巧可简化运算，注意避免弄巧成拙导致错解,在第(2)问中不仅可以求出三角形的面积，还可以求三角形面积的最大值或是 求另外两边长之和的最大值根据a2b2ab7和基本不等式， 得72ababab， 即ab7，故 ；根据a2b2ab7 即(ab)273ab和ab 得(ab)27 (ab)2， 即(ab)247，即ab2 .,
