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1、第三十六讲 一般数列求通项,走进高考第一关 考点关,回 归 教 材,数列的表示 数列的表示方法有如下几种:列举法;图象法;通项公式法;递推公式法,在给出数列的方法中,递推关系包含两种:一种是项与项之间的关系;另一种是前n项和Sn与n之间的关系,在利用递推关系求通项转化是数学中最基本、最常用的解题策略.在运用转化的方法时,一定要围绕转化目标选准转化切入点,掌握“模型分析”“层次解决”等解题策略,需要说明的是并不是每个数列都有通项公式,即使有通项公式,也不一定是唯一的.,已知Sn求an中应注意的事项 由于 故已知Sn求an时,注意 分n=1,n2两种情况讨论,由an=Sn-Sn-1求出an后,应检
2、验当n=1时,是否符合“an”的表达式,若符合,an写一个,否则an写成分段函数的形式.,考 点 训 练,1.(2009浙江杭州)已知数列an满足a1=3,an+1= 2an-1,那么数列an-1( ) A.是等差数列 B.是等比数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列又不是等比数列,解析:由an+1=2an-1得an+1-1=2(an-1) =2,数列an-1为等比数列.,答案:B,2.设an=-n2+10n+11,则数列an从首项到第几项的和最大 ( ) A.10 B.11 C.10或11 D.12,解析:an=-n2+10n+11是关于n的二次函数,它是抛物线f(x)= -
3、x2+10x+11上的一些离散的点,从图象上可以看出前10项都是正数,第11项是0,所以前10项或前11项的和最大.,答案:C,3.(2009浙江温州模拟)如果数列an满足:首项a1=1, ,那么下列说法正确的是( ) A.该数列的奇数项a1,a3,a5,成等比数列,偶数项a2,a4,a6,成等差数列 B.该数列的奇数项a1,a3,a5,成等差数列,偶数项a2,a4,a6,成等比数列 C.该数列的奇数项a1,a3,a5,分别加4后构成一个公比为2的等比数列,D.该数列的偶数项a2,a4,a6,分别加4后构成一个公比为2的等比数列,解析:由通项公式可知答案为A.,答案:A,4.(2009陕西)设
4、曲线y=xn+1(nN+)在点(1,1)处的切线,与x轴的交点的横坐标为xn,则x1x2x3xn等于( ),答案:B,5.(2009北京)若数列an满足:a1=1,an+1=2an, (nN+),则a5=_,前8项的和S8=_.,解析:由题可知an是首项为1,且公比为2的等比数列,a5= 24=16,S8=28-1=255.,答案:16 255,解读高考第二关 热点关,题型一 根据数列的前n项,写出数列的通项公式 例1根据数列的前n项,写出下列数列的一个通项公式.,点评:利用观察法求数列的通项公式时一定要注意观察数列中的各项有哪些变化的,哪些不变的,变化的部分与n之间的关系.,题型二 已知Sn
5、求an 例2已知数列an的前n项和为Sn,求满足下列条件的数列an的通项公式. (1)Sn=n2+n; (2)Sn= an-3; (3)(b-1)Sn=ban-2n(bR),解:(1)当n=1时,a1=S1=2 当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n 又当n=1时,a1=21=2 an=2n (2)当n=1时,a1= a1-3,a1=6 当n2时,由Sn= an-3,得Sn-1 = an-1-3 an= an- an-1 an= an-1 anan-1=3,数列an为等比数列. an=63n-1,(3)当n=1时,(b-1)a1=ba1-2,a1=2 当n2时
6、,由(b-1)Sn=ban-2n 得(b-1)Sn-1=ban-1-2n-1 (b-1)an=ban-ban-1-2n-1 an=ban-1+2n-1 当b=2时,由an=2an-1+2n-1,点评:已知Sn求an常见的题型有三种:已知Sn=f(n),这时利用 已知Sn=f(an); 已知Sn=f(an,n),(2)(3)种运用公式,an=Sn-Sn-1(n2),然后利用递推关系,求an,但要注意n的取值范围.,变式2:(1)(2009安徽合肥)设数列an的前n项和为Sn,若Sn= (an+3)2,(nN+),则an( ) A.是等差数列,但不是等比数列 B.是等比数列,但不是等差数列 C.是
7、等差数列,或是等比数列 D.既不是等比数列,也不是等差数列,解析:Sn-Sn-1= 12an=a2n+6an+9-a2n-1-6an-1-9 (an+an-1)(an-an-1-6)=0,得an=-an-1或an-an-1=6,an是等差数列,或是等比数列.,答案:C,(2)已知an的前n项和为Sn,且满足an=SnSn-1(n2), a1= ,求an.,题型三 利用递推关系求通项 例3(1)已知数列an中,a1=2,an+1=an+n+1,则通项an=_. (2)在数列an中,a1=1,an+1=an ,nN+,求an.,点评:在递推公式中,形如an+1=an+f(n)的类型,求an时用累加
8、法(迭代法).对于形如 =f(n)类型的题用累积或迭乘,在解题时要注意n的取值范围.,变式3:已知an是首项为1的正项数列,且 (n+1)- na +an+1an=0,nN+,求an.,例4(1)已知数列an中,a1=1,当n2时,an=3an-1+2, 求an; (2)已知数列an中,a1=1,当n2时,an=3an-1+2n,求an; (3)已知an中,a1=1,a2=2,an+2= an+1+ an,求an.,点评:对于形如an+1=pan+q(p1)的类型,解题时,只需等式的两边同时加上 ,即可凑出等比数列,对于形如an=pan-1+qn(p1且pq)的类型解题时, 可等式的两边同时除
9、以qn,便可转化为形如an+1=pan+q的类型,但解题时要注意数列的项的形式上的一致性,当然,对于形如an=pan-1+qn的类型的题也可以利用待定系数法去求解.,对于形如an+2=pan+1+qan形式的题,常利用 待定系数法求解,设an+2+an+1=(an+1+an)整理得 an+2=(-)an+1+an,由待定系数法可得 解方程,求出、,进而可化简.,变式4:已知数列an中,a1=1,an+1=a ,a0,求an.,解:由an+1=a , 两边取对数得lgan+1=lga+2lgan 设bn=lgan,bn+1=2bn+lga bn+1+lga=2(bn+lga) bn+lga是以b
10、1+lga为首项,以2为公比的等比数列,、謆1= lga1+lga=lga. bn+lga=lga2n-1,bn=lga(2n-1-1) 即:lgan=(2n-1-1)lga an=a(2n-1-1).,笑对高考第三关 技巧关,数列是一种特殊的函数,数列问题中蕴含着丰富的数学思想方法,是高考考查学生综合数学素养的良好素材,多以两种基本数列为主,也可以利用递推关系求解数列的通项公式, 在数列问题的求解中,往往会出现忽略公式成立的条件,对数列的奇偶性判断不清,片面理解an与Sn的关系而出现的各种错误.,典例已知数列an满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1(n2),则an=_
11、.,点评:已知数列的递推关系求通项时,一定要注意n的取值范围,切不可忽略了n的取值范围而导致错误.,考 向 精 测,1.在数列an中,a1=2,an+1=an+ln(1+ ),则an=( ) A.2+lnn B.2+(n-1)lnn C.2+nlnn D.1+n+lnn,答案：A,答案:B,课时作业(三十六) 一般数列求通项,一、选择题,1.已知数列an的前4项为1,3,7,15,则an=( ) A.2n-1 B.2n-1+1 C.2n+1-1 D.2n-1-1,解析:1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1,故an=2n-1.,答案:A,2.已知数列an的前n项和Sn满足Sn
12、=n2-9n,第k项满足5ak8,则k=( ) A.9 B.8 C.7 D.6,解析:Sn=n2-9n,当n2时, an=Sn-Sn-1=2n-10,令52k-108 得7.5k9,kN+,k=8.,答案:B,3.在数列1,1,2,3,5,8,13,x,34,55,中,x应取( ) A.19 B.20 C.21 D.22,解析:a1=1,a2=1,a3=a1+a2=2 a4=a2+a3=3,a5=a4+a3=5,x=8+13=21.,答案:C,4.数列an的前n项和为Sn与通项an满足关系式 Sn=nan+2n2-2n(nN+),则a100-a10=( ) A.-90 B.-180 C.-36
13、0 D.-400,解析:Sn=nan+2n2-2n 当n2时,Sn-1=(n-1)an-1+2(n-1)2-2(n-1) an=nan-(n-1)an-1+4(n-1) (n-1)an-(n-1)an-1=-4(n-1) 即:an-an-1=-4,a100-a10=90d=-360.,答案:C,5.(2010广东模拟)在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,中,第25项为( ) A.25 B.7 C.6 D.8,解析:由数列的特点可知,前21项有:1个1,2个2,3个3,6个6组成,故a22=7,a23=7,a24=7,a25=7.,答案:B,答案:D,7.已知数列an满足a0=1,an
14、=a0+a1+an-1,(n1),则当n1时,an=( ) A.2n B. n(n+1) C.2n-1 D.2n-1,解析:由an=a0+a1+an-1,当n2时,an-1=a0+a1+an-2 an-an-1=an-1即an=2an-1 又当n=1时,a1=a0=1,an=a12n-1=2n-1.,答案:C,二、填空题,8.(2009江苏徐州)设正数数列an的前n项和为Sn, 且Sn= (an+ ),推测出an的表达式为_ .,9.(2009福建福州)数列an中,an= ,nN+,则数列an中的项的最小值为_.,答案:4,10.已知函数 ,数列an满足an=f(n),(nN+),且数列an是单调递增数列,则实数a的取值范围是_.,答案:4,8,三、解答题,11.(2009临沂模拟)已知数列an的前n项和为Sn,且满足 Sn-Sn-1+2SnSn-1=0(n2),a1= . (1)求证:数列 是等差数列; (2)求an的通项公式.,12.(2009安徽)已知数列an的前n项和Sn= 2n2+2n,数列bn的前n项和Tn=2-bn; (1)求数列an与bn的通项公式; (2)设Cn=a2nbn,证明:当且仅当n3时,Cn+1Cn.,
