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1、复习课四(4.44.6)例题选讲例1 用反证法证明命题“一个三角形的三个内角中,至多有一个钝角”的第一步应假设 例2 如图,在ABCD中,点E、F分别为BC、AD上的点,连结AE、BF交于点M,连结CF、DE交于点N,连结MN.探索:(1)当AF、BE满足什么条件时,一定有MNBC;(2)当AF、BE满足什么条件时,一定有四边形MENF为平行四边形?例3 如图,在四边形ABCD中,ACBD,BD=12,AC=16,E,F分别为AB,CD的中点,求EF的长.例4 实验与探究:(1)在图1、图2、图3中,给出平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标,写出图1、图2、图3中的顶点C的坐标,它们分别是
2、 , , (2)在图4中,给出平行四边形ABCD的顶点A,B,D的坐标(如图所示),求出顶点C的坐标 (C点坐标用含a,b,c,d,e,f的代数式表示);归纳与发现:(3)通过对图1、图2、图3、图4的观察和顶点C的坐标的探究,你会发现:无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置,当其顶点C坐标为(m,n)(如图4)时,则四个顶点的横坐标a,c,m,e之间的等量关系为 ;纵坐标b,d,n,f之间的等量关系为 (不必证明);课后练习1 如图,下面不能判断ABCD是平行四边形的是( )A B=D,A=CB ABCD,ADBCC B+DAB=180,B+BCD=180D ABCD,AB=CD2
3、如图,在ABCD中,BD为对角线,E、F分别是AD、BD的中点,连结EF 若EF=3,则CD的长为( )A 2 B 3 C 4 D 63 如图,在RtABC中,BAC=90,D、E分别是AB、BC的中点,F在CA的延长线上,FDA=B,AC=6,AB=8,则四边形AEDF的周长为( )A 22B 20C 18D 164 若以A(-0.5,0)、B(2,0)、C(0,1)三点为顶点要画平行四边形,则第四个顶点不可能在( )A 第一象限 B 第二象限C 第三象限 D 第四象限5 用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60”时,应假设为 6 如图,ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点
4、E,F分别是线段AO,BO的中点.若AC+BD=24厘米,OAB的周长是18厘米,则EF= 厘米.7 如图,在ABC中,ACB=52,点D,E分别是AB,AC的中点若点F在线段DE上,且AFC=90,则FAE的度数为 8. 如图,在ABCD中,对角线、AC、BD交于点O,经过点O的直线交AB于E,交CD于F.(1)求证:OE=OF;(2)连结DE、BF,试说明四边形BFDE是平行四边形.9. 如图,已知ABC是等边三角形,点D,F分别在线段BC,AB上,EFB=60,EF=DC.(1)求证:四边形EFCD是平行四边形;(2)连结BE,若BE=EF,求证:AE=AD.10 如图,请在下列四个关系
5、中,选出两个恰当的关系作为条件,推出四边形ABCD是平行四边形,并加以证明(写出一种即可)ADBC;ABCD;AC;BC180.已知:在四边形ABCD中, , 求证:四边形ABCD是平行四边形11. 如图,在ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,AH是边BC上的高.(1)试判断线段DE与FH之间的数量关系,并说明理由;(2)求证:DHF=DEF.12 如图,在RtABC中,C=90,以AC为一边向外作等边三角形ACD,点E为AB的中点,连结DE(1)证明DECB;(2)探索AC与AB满足怎样的数量关系时,四边形DCBE是平行四边形13 如图,在ABC中,D是BC上一点,E、F、G
6、、H分别是BD、BC、AC、AD的中点,求证:EG、HF互相平分14. 在ABC中,AB=AC,点D在边BC所在的直线上,过点D作DFAC交直线AB于点F,DEAB交直线AC于点E(1)当点D在边BC上时,如图1,求证:DE+DF=AC(2)当点D在边BC的延长线上时,如图2;当点D在边BC的反向延长线上时,如图3,请分别写出图2、图3中DE,DF,AC之间的数量关系,不需要证明(3)若AC=6,DE=4,则DF= 参考答案复习课四(4.44.6)【例题选讲】例1 一个三角形的三个内角中,至少有两个钝角例2 解:(1)AF=BE;(2)AF+BE=BC.例3 解:如图,取BC边的中点G,连结E
7、G、FG. E,F分别为AB,CD的中点,EG是ABC的中位线,FG是BCD的中位线,EGAC,FGBD. 又BD=12,AC=16,ACBD,EG=8,FG=6,EGFG,在直角EGF中,由勾股定理,得EF=10,即EF的长度是10.例4 解:(1)利用平行四边形的性质:对边平行且相等,得出图1、图2,图3中顶点C的坐标分别是:(5,2),(e+c,d),(c+e-a,d).(2)分别过点A,B,C,D作x轴的垂线,垂足分别为A1,B1,C1,D1,分别过A,D作AEBB1于E,DFCC1于点F 在平行四边形ABCD中,CD=BA,又BB1CC1,EBA+ABC+BCF=ABC+BCF+FC
8、D=180度 EBA=FCD 又BEA=CFD=90,BEACFD AE=DF=a-c,BE=CF=d-b 设C(x,y) 由e-x=a-c,得x=e+c-a 由y-f=d-b,得y=f+d-b C(e+c-a,f+d-b)(3)m=c+e-a,n=d+f-b或m+a=c+e,n+b=d+f【课后练习】14. ADDC5. 三角形的三个内角都大于606. 3 7. 648. (1)证明:四边形ABCD是平行四边形,OA=OC,ABCD,OAE=OCF,在OAE和OCF中,AOE=COF,OA=OC,OAE=OCF. OAEOCF(ASA),OE=OF;(2) 四边形ABCD是平行四边形,AB=
9、DC,ABDC,又OAEOCF(ASA),AE=FC,BE=DF,BEDF,四边形BFDE是平行四边形.9. 证明:(1)ABC是等边三角形,ABC=60. EFB=60,ABC=EFB,EFDC. EF=DC,四边形EFCD是平行四边形.(2)BE=EF,EFB=60,EBF是等边三角形. EF=DC,EB=DC. ABC是等边三角形,ACB=60,AB=AC. EBF=ACB. AEBADC. AE=AD.【点拨】(1)要判断四边形是平行四边形,由题目中给出一组对边相等,供大家所选择的方法是找另一组对边相等或找已知相等的对边平行;(2)要证明AE=AD就是证明它们所在的三角形全等,在本题只
10、能是通过找全等三角形来证明AE=AD.10. B+C=180,ABCD,又ADBC,四边形ABCD是平行四边形. (答案不唯一)11. (1)DE与FH相等. 理由如下:D、E分别是AB、BC边的中点.DEAC,DE=AC,AHBC,垂足为H,F是AC的中点,HF=AC,DE=FH. (2)DH=AB,AD=AB,AD=DH,DAH=DHA,同理可证:FAH=FHA,DHF=DAF,ADEF,DEAF,四边形ADEF是平行四边形,DEF=DAF,DHF=DEF.12. (1)证明:连结CE.点E为RtACB的斜边AB的中点,CE=AB=AE. ACD是等边三角形,AD=CD. 在ADE与CDE
11、中,AD=DC,DE=DE,AE=CE,ADECDE(SSS),ADE=CDE=30,DCB=150,EDC+DCB=180. DECB.(2)DCB=150,若四边形DCBE是平行四边形,则DCBE,DCB+B=180. B=30. 当AC=AB或AB=2AC时,四边形DCBE是平行四边形.【点拨】本题的另一种证法,延长AD交BC的延长线于点G,证明D为AG中点,又E为AB中点,DEBC.13. 连结EH、FG. E、H分别是BD、AD的中点,EHAB.同理,FGAB. EHFG,四边形EFGH是平行四边形,EG、HF互相平分14. (1)证明:DFAC,DEAB,四边形AFDE是平行四边形 AF=DE,DFAC,FDB=C. 又AB=AC,B=C,FDB=B,DF=BF,DE+DF=AB=AC;(2)图2中:AC+DF=DE 图3中:AC+DE=DF(3)当如图1的情况,DF=AC-DE=6-4=2;当如图3的情况,DF=AC+DE=6+4=10