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1、复习课四（4.44.6）例题选讲例1 用反证法证明命题“一个三角形的三个内角中，至多有一个钝角”的第一步应假设 例2 如图，在ABCD中，点E、F分别为BC、AD上的点，连结AE、BF交于点M，连结CF、DE交于点N，连结MN.探索：（1）当AF、BE满足什么条件时，一定有MNBC；（2）当AF、BE满足什么条件时，一定有四边形MENF为平行四边形？例3 如图，在四边形ABCD中，ACBD，BD=12，AC=16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长.例4 实验与探究：（1）在图1、图2、图3中，给出平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标，写出图1、图2、图3中的顶点C的坐标，它们分别是
2、 ， ， （2）在图4中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图所示），求出顶点C的坐标 （C点坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）；归纳与发现：（3）通过对图1、图2、图3、图4的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点C坐标为（m，n）（如图4）时，则四个顶点的横坐标a，c，m，e之间的等量关系为 ；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为 （不必证明）；课后练习1 如图，下面不能判断ABCD是平行四边形的是（ ）A B=D，A=CB ABCD，ADBCC B+DAB=180，B+BCD=180D ABCD，AB=CD2
3、如图，在ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD、BD的中点，连结EF 若EF=3，则CD的长为（ ）A 2 B 3 C 4 D 63 如图，在RtABC中，BAC=90，D、E分别是AB、BC的中点，F在CA的延长线上，FDA=B，AC=6，AB=8，则四边形AEDF的周长为（ ）A 22B 20C 18D 164 若以A（-0.5，0）、B（2，0）、C（0，1）三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ）A 第一象限 B 第二象限C 第三象限 D 第四象限5 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，应假设为 6 如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点
4、E，F分别是线段AO，BO的中点.若AC+BD=24厘米，OAB的周长是18厘米，则EF= 厘米.7 如图，在ABC中，ACB=52，点D，E分别是AB，AC的中点若点F在线段DE上，且AFC=90，则FAE的度数为 8. 如图，在ABCD中，对角线、AC、BD交于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD于F.（1）求证：OE=OF；（2）连结DE、BF，试说明四边形BFDE是平行四边形.9. 如图，已知ABC是等边三角形，点D，F分别在线段BC，AB上，EFB=60，EF=DC.（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；（2）连结BE，若BE=EF，求证：AE=AD.10 如图，请在下列四个关系
5、中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并加以证明（写出一种即可）ADBC；ABCD；AC；BC180.已知：在四边形ABCD中， ， 求证：四边形ABCD是平行四边形11. 如图，在ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高.（1）试判断线段DE与FH之间的数量关系，并说明理由；（2）求证：DHF=DEF.12 如图，在RtABC中，C=90，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE（1）证明DECB；（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形13 如图，在ABC中，D是BC上一点，E、F、G
6、、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，求证：EG、HF互相平分14. 在ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DFAC交直线AB于点F，DEAB交直线AC于点E（1）当点D在边BC上时，如图1，求证：DE+DF=AC（2）当点D在边BC的延长线上时，如图2；当点D在边BC的反向延长线上时，如图3，请分别写出图2、图3中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明（3）若AC=6，DE=4，则DF= 参考答案复习课四（4.44.6）【例题选讲】例1 一个三角形的三个内角中，至少有两个钝角例2 解：（1）AF=BE；（2）AF+BE=BC.例3 解：如图，取BC边的中点G，连结E
7、G、FG. E，F分别为AB，CD的中点，EG是ABC的中位线，FG是BCD的中位线，EGAC，FGBD. 又BD=12，AC=16，ACBD，EG=8，FG=6，EGFG，在直角EGF中，由勾股定理，得EF=10，即EF的长度是10.例4 解：（1）利用平行四边形的性质：对边平行且相等，得出图1、图2，图3中顶点C的坐标分别是：（5，2），（e+c，d），（c+e-a，d）.（2）分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，分别过A，D作AEBB1于E，DFCC1于点F 在平行四边形ABCD中，CD=BA，又BB1CC1，EBA+ABC+BCF=ABC+BCF+FC
8、D=180度 EBA=FCD 又BEA=CFD=90，BEACFD AE=DF=a-c，BE=CF=d-b 设C（x，y） 由e-x=a-c，得x=e+c-a 由y-f=d-b，得y=f+d-b C（e+c-a，f+d-b）（3）m=c+e-a，n=d+f-b或m+a=c+e，n+b=d+f【课后练习】14. ADDC5. 三角形的三个内角都大于606. 3 7. 648. （1）证明：四边形ABCD是平行四边形，OA=OC，ABCD，OAE=OCF，在OAE和OCF中，AOE=COF，OA=OC，OAE=OCF. OAEOCF（ASA），OE=OF；（2） 四边形ABCD是平行四边形，AB=
9、DC，ABDC，又OAEOCF（ASA），AE=FC，BE=DF，BEDF，四边形BFDE是平行四边形.9. 证明：（1）ABC是等边三角形，ABC=60. EFB=60，ABC=EFB，EFDC. EF=DC，四边形EFCD是平行四边形.（2）BE=EF，EFB=60，EBF是等边三角形. EF=DC，EB=DC. ABC是等边三角形，ACB=60，AB=AC. EBF=ACB. AEBADC. AE=AD.【点拨】（1）要判断四边形是平行四边形，由题目中给出一组对边相等，供大家所选择的方法是找另一组对边相等或找已知相等的对边平行；（2）要证明AE=AD就是证明它们所在的三角形全等，在本题只
10、能是通过找全等三角形来证明AE=AD.10. B+C=180，ABCD，又ADBC，四边形ABCD是平行四边形. （答案不唯一）11. （1）DE与FH相等. 理由如下：D、E分别是AB、BC边的中点.DEAC，DE=AC，AHBC，垂足为H，F是AC的中点，HF=AC，DE=FH. （2）DH=AB，AD=AB，AD=DH，DAH=DHA，同理可证：FAH=FHA，DHF=DAF，ADEF，DEAF，四边形ADEF是平行四边形，DEF=DAF，DHF=DEF.12. （1）证明：连结CE.点E为RtACB的斜边AB的中点，CE=AB=AE. ACD是等边三角形，AD=CD. 在ADE与CDE
11、中，AD=DC，DE=DE，AE=CE，ADECDE（SSS），ADE=CDE=30，DCB=150，EDC+DCB=180. DECB.（2）DCB=150，若四边形DCBE是平行四边形，则DCBE，DCB+B=180. B=30. 当AC=AB或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形.【点拨】本题的另一种证法，延长AD交BC的延长线于点G，证明D为AG中点，又E为AB中点，DEBC.13. 连结EH、FG. E、H分别是BD、AD的中点，EHAB.同理，FGAB. EHFG，四边形EFGH是平行四边形，EG、HF互相平分14. （1）证明：DFAC，DEAB，四边形AFDE是平行四边形 AF=DE，DFAC，FDB=C. 又AB=AC，B=C，FDB=B，DF=BF，DE+DF=AB=AC；（2）图2中：AC+DF=DE 图3中：AC+DE=DF（3）当如图1的情况，DF=AC-DE=6-4=2；当如图3的情况，DF=AC+DE=6+4=10
