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1、贵州省贵阳市花溪第二中学九年级数学竞赛讲座 19第十九讲 转化灵活的圆中角 人教新课标版【例题求解】【例1】 如图,直线AB与O相交于A,B再点,点O在AB上,点C在O上,且AOC40,点E是直线AB上一个动点(与点O不重合),直线EC交O于另一点D,则使DE=DO的点正共有 个 思路点拨 在直线AB上使DE=DO的动点E与O有怎样的位置关系?分点E在AB上(E在O内)、在BA或AB的延长线上(E点在O外)三种情况考虑,通过角度的计算,确定E点位置、存在的个数注: 弧是联系与圆有关的角的中介,“由弧到角,由角看弧”是促使与圆有关的角相互转化的基本方法 【例2】 如图,已知ABC为等腰直角三形,
2、D为斜边BC的中点,经过点A、D的O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M,对于如下五个结论:FMC=45;AE+AFAB;2BM2=BFBA;四边形AEMF为矩形其中正确结论的个数是( ) A2个 B3个 C4个 D5个 思路点拨 充分运用与圆有关的角,寻找特殊三角形、特殊四边形、相似三角形,逐一验证注:多重选择单选化是近年出现的一种新题型,解这类问题,需把条件重组与整合,挖掘隐合条件,作深入的探究,方能作出小正确的选择【例3】 如图,已知四边形ABCD外接O的半径为5,对角线AC与BD的交点为E,且AB2=AEAC,BD8,求ABD的面积思路点拨 由条件出发,利用相似三角形、圆中角可推
3、得A为弧BD中点,这是解本例的关键【例4】 如图,已知AB是O的直径,C是O上的一点,连结AC,过点C作直线CDAB于D(ADDB),点E是AB上任意一点(点D、B除外),直线CE交O于点F,连结AF与直线CD交于点G (1)求证:AC2=AGAF;(2)若点E是AD(点A除外)上任意一点,上述结论是否仍然成立?若成立请画出图形并给予证明;若不成立,请说明理由 思路点拨 (1)作出圆中常用辅助线证明ACGAFC; (2)判断上述结论在E点运动的情况下是否成立,依题意准确画出图形是关键注:构造直径上90的圆周角,是解与圆相关问题的常用辅助线,这样就为勾股定理的运用、相似三角形的判定创造了条件【例
4、5】 如图,圆内接六边形ABCDEF满足AB=CD=EF,且对角线AD、BE、CF相交于一点Q,设AD与CF的交点为P 求证:(1);(2) 思路点拨 解本例的关键在于运用与圆相关的角,能发现多对相似三角形(1) 证明QDEACF;(2)易证,通过其他三角形相似并结合(1)把非常规问题的证明转化为常规问题的证明注:有些几何问题虽然表面与圆无关,但是若能发现隐含的圆,尤其是能发现共圆的四点,就能运用圆的丰富性质为解题服务,确定四点共圆的主要方法有: (1)利用圆的定义判定;(2)利用圆内接四边形性质的逆命题判定学历训练1一条弦把圆分成2:3两部分,那么这条弦所对的圆周角的度数为 2如图,AB是O
5、的直径,C、D、E都是O上的一点,则1+2= 3如图,AB是O的直径,弦CDAB,F是CG的中点,延长AF交O于E,CF=2,AF=3,则EF的长为 4如图,已知ABC内接于O,AB+AC=12,ADBC于D,AD3,设O的半径为,AB的长为,用的代数式表示,= 5如图,ABCD是O的内接四边形,延长BC到E,已知BCD:ECD3:2,那么BOD等于( )A120 B136 C144 D1506如图,O中,弦ADBC,DA=DC,AOC=160,则BOC等于( ) A20 B30 C40 D507如图,BC为半圆O的直径,A、D为半圆O上两点,AB=,BC=2,则D的度数为( ) A60 B
6、120 C 135 D150 8如图,O的直径AB垂直于弦CD,点P是弧AC上一点(点P不与A、C两点重合),连结PC、PD、PA、AD,点E在AP的延长线上,PD与AB交于点F给出下列四个结论:CH2=AHBH;AD=AC;AD2=DFDP; EPC=APD,其中正确的个数是( ) A1 B2 C3 D4 9如图,已知B正是ABC的外接圆O的直径,CD是ABC的高 (1)求证:ACBC=BECD;(2) 已知CD=6,AD=3,BD=8,求O的直径BE的长 10如图,已知AD是ABC外角EAC的平分线,交BC的延长线于点D,延长DA交ABC的外接圆于点F,连结FB,FC (1)求证:FB=F
7、C;(2)求证:FB2=FAFD;(3)若AB是ABC的外接圆的直径,EAC=120,BC=6cm,求AD的长 11如图,B、C是线段AD的两个三等分点,P是以BC为直径的圆周上的任意一点(B、C点除外),则tanAPBtanCPD= 12如图,在圆内接四边形ABCD中,AB=AD,BAD=60,AC=,则四边形ABCD的面积为 13如图,圆内接四边形ABCD中,A60,B90,AD=3,CD=2,则BC= 14如图,AB是半圆的直径,D是AC的中点,B=40,则A等于( ) A60 B50 C80 D70 15如图,已知ABCD是一个以AD为直径的圆内接四边形,AB=5,PC=4,分别延长A
8、B和DC,它们相交于P,若APD=60,则O的面积为( ) A25 B16 C15 D13 (2001年绍兴市竞赛题)16如图,AD是RtABC的斜边BC上的高,AB=AC,过A、D两点的圆与AB、AC分别相交于点E、F,弦EF与AD相交于点G,则图中与GDE相似的三角形的个数为( ) A5 B4 C3 D217如图,已知四边形ABCD外接圆O的半径为2,对角线AC与BD的交点为E,AE=EC,AB=AE,且BD=,求四边形ABCD的面积 18如图,已知ABCD为O的内接四边形,E是BD上的一点,且有BAE=DAC 求证:(1)ABEACD;(2)ABDC+ADB CACBD19如图,已知P是O直径AB延长线上的一点,直线PCD交O于C、D两点,弦DFAB于点H,CF交AB于点E (1)求证:PAPB=POPE;(2)若DECF,P=15,O的半径为2,求弦CF的长 20如图,ABC内接于O,BC=4,SABC=,B为锐角,且关于的方程有两个相等的实数根,D是劣弧AC上任一点(点D不与点A、C重合),DE平分ADC,交O于点E,交AC于点F (1)求B的度数; (2)求CE的长; (3)求证:DA、DC的长是方程的两个实数根 参考答案