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1、贵州省贵阳市花溪第二中学九年级数学竞赛讲座 23第二十三讲 圆与圆 人教新课标版【例题求解】【例1】 如图,Ol与半径为4的O2内切于点A,Ol经过圆心O2,作O2的直径BC交Ol于点D,EF为过点A的公切线,若O2D=,那么BAF= 度 (重庆市中考题)思路点拨 直径、公切线、O2的特殊位置等,隐含丰富的信息,而连O2Ol必过A点,先求出D O2A的度数注:(1)两圆相切或相交时,公切线或公共弦是重要的类似于“桥梁”的辅助线,它可以使弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角得以沟通同时,又是生成圆幂定理的重要因素(2)涉及两圆位置关系的计算题,常作半径、连心线,结合切线性质等构造直角三角形,
2、将分散的条件集中,通过解直角三角形求解 【例2】 如图,Ol与O2外切于点A,两圆的一条外公切线与O1相切于点B,若AB与两圆的另一条外公切线平行,则Ol 与O2的半径之比为( ) A2:5 B1:2 C1:3 D2:3 (全国初中数学联赛试题)思路点拨 添加辅助线,要探求两半径之间的关系,必须求出COlO2 (或DO2Ol)的度数,为此需寻求CO1B、CO1A、BO1A的关系【例3】 如图,已知Ol与O2相交于A、B两点,P是Ol上一点,PB的延长线交O2于点C,PA交O2于点D,CD的延长线交Ol于点N (1)过点A作AECN交Oll于点E,求证:PA=PE; (2)连结PN,若PB=4,
3、BC=2,求PN的长 (重庆市中考题)思路点拨 (1)连AB,充分运用与圆相关的角,证明PAE=PEA;(2)PBPC=PDPA,探寻PN、PD、PA对应三角形的联系【例4】 如图,两个同心圆的圆心是O,AB是大圆的直径,大圆的弦与小圆相切于点D,连结OD并延长交大圆于点E,连结BE交AC于点F,已知AC=,大、小两圆半径差为2 (1)求大圆半径长; (2)求线段BF的长; (3)求证:EC与过B、F、C三点的圆相切 (宜宾市中考题)思路点拨 (1)设大圆半径为R,则小圆半径为R-2,建立R的方程;(2)证明EBCECF;(3)过B、F、C三点的圆的圆心O,必在BF上,连OC,证明OCE=90
4、注:本例以同心圆为背景,综合了垂径定理、直径所对的圆周角为直角、切线的判定、勾股定理、相似三角形等丰富的知识作出圆中基本辅助线、运用与圆相关的角是解本例的关键 【例5】 如图,AOB是半径为1的单位圆的四分之一,半圆O1的圆心O1在OA上,并与弧AB内切于点A,半圆O2的圆心O2在OB上,并与弧AB内切于点B,半圆O1与半圆O2相切,设两半圆的半径之和为,面积之和为 (1)试建立以为自变量的函数的解析式; (2)求函数的最小值 (太原市竞赛题)思路点拨 设两圆半径分别为R、r,对于(1),通过变形把R2+r2用“=R+r”的代数式表示,作出基本辅助线;对于(2),因=R+r,故是在约束条件下求
5、的最小值,解题的关键是求出R+r的取值范围注:如图,半径分别为r、R的Ol 、O2外切于C,AB,CM分别为两圆的公切线,OlO2与AB交于P点,则: (1)AB=2; (2) ACB=Ol M O2=90;(3)PC2=PAPB; (4)sinP=; (5)设C到AB的距离为d,则 学力训练1已知:Ol和O2交于A、B两点,且Ol经过点O2,若AOlB=90,则A O2B的度数是 2矩形ABCD中,AB=5,BC=12,如果分别以A、C为圆心的两圆相切,点D在圆C内,点B在圆C外,那么圆A的半径r的取值范围 (2003年上海市中考题)3如图;Ol 、O2相交于点A、B,现给出4个命题: (1
6、)若AC是O2的切线且交Ol于点C,AD是Ol的切线且交O2于点D,则AB2=BCBD; (2)连结AB、OlO2,若OlA=15cm,O2A=20cm,AB=24cm,则OlO2=25cm; (3)若CA是Ol的直径,DA是O2 的一条非直径的弦,且点D、B不重合,则C、B、D三点不在同一条直线上,(4)若过点A作Ol的切线交O2于点D,直线DB交Ol于点C,直线CA 交O2于点E,连结DE,则DE2=DBDC,则正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号) (厦门市中考题)4如图,半圆O的直径AB=4,与半圆O内切的动圆Ol与AB切于点M,设Ol的半径为,AM的长为,则与的函数关系是 ,自
7、变量的取值范围是 (昆明市中考题)5如图,施工工地的水平地面上,有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起,则其最高点到地面的距离是( ) A2 B C D6如图,已知Ol、O2相交于A、B两点,且点Ol在O2上,过A作Oll的切线AC交B Ol的延长线于点P,交O2于点C,BP交Ol于点D,若PD=1,PA=,则AC的长为( ) A B C D(武汉市中考题)7如图,Ol和O2外切于A,PA是内公切线,BC是外公切线,B、C是切点PB=AB;PBA=PAB;PABOlAB;PBPC=OlAO2A上述结论,正确结论的个数是( ) A1 B2 C3 D4 (郴州市中考题)8两圆的半径分别是和r
8、(Rr),圆心距为d,若关于的方程有两个相等的实数根,则两圆的位置关系是( ) A一定内切 B一定外切 C相交 D内切或外切(连云港市中考题) 9如图,Ol和O2内切于点P,过点P的直线交Ol于点D,交O2于点E,DA与O2相切,切点为C(1)求证:PC平分APD; (2)求证:PDPA=PC2+ACDC; (3)若PE=3,PA=6,求PC的长10如图,已知Ol和O2外切于A,BC是Ol和O2的公切线,切点为B、C,连结BA并延长交Ol于D,过D点作CB的平行线交O2于E、F,求证:(1)CD是Ol的直径;(2)试判断线段BC、BE、BF的大小关系,并证明你的结论 (四川省中考题)11如图,
9、已知A是Ol、O2的一个交点,点M是 OlO2的中点,过点A的直线BC垂直于MA,分别交Ol、O2于B、C (1)求证:AB=AC; (2)若Ol A切O2于点A,弦AB、AC的弦心距分别为dl、d2,求证:dl+d2=O1O2; (3)在(2)的条件下,若dld2=1,设Ol、O2的半径分别为R、r,求证:R2+r2= R2r2(山西省中考题)12已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P,则点P到两圆外公切线的距离为 (全国初中数学联赛试题)13如图,7根圆形筷子的横截面圆半径为r,则捆扎这7根筷子一周的绳子的长度为 (全国初中数学联赛试题)14如图,Ol和O2内切于点P,O2的弦AB经过Ol
10、的圆心Ol,交Ol于C、D,若AC:CD:DB=3:4:2,则Ol与O2的直径之比为( ) A2:7 B2:5 C2:3 D 1:3 15如图,Ol与O2相交,P是Ol上的一点,过P点作两圆的切线,则切线的条数可能是( )A1,2 B1,3 C1,2,3 D1,2,3,4 (安徽省中考题)16如图,相等两圆交于A、B两点,过B任作一直线交两圆于M、N,过M、N各引所在圆的切线相交于C,则四边形AMCN有下面关系成立( ) A有内切圆无外接圆 B有外接圆无内切圆 C既有内切圆,也有外接圆 D以上情况都不对 (太原市竞赛题)17已知:如图,O与相交于A,B两点,点P在O上,O的弦AC切P于点A,C
11、P及其延长线交P P于点D,E,过点E作EFCE交CB的延长线于F(1)求证:BC是P的切线; (2)若CD=2,CB=,求EF的长; (3)若k=PE:CE,是否存在实数k,使PBD恰好是等边三角形?若存在,求出是的值;若不存在,请说明理由 (青岛市中考题)18如图,A和B是外离两圆,A的半径长为2,B的半径长为1,AB=4,P为连接两圆圆心的线段AB上的一点,PC切A于点C,PD切B于点D (1)若PC=PD,求PB的长; (2)试问线段AB上是否存在一点P,使PC2+PD2=4?,如果存在,问这样的P点有几个?并求出PB的值;如果不存在,说明理由; (3)当点F在线段AB上运动到某处,使PCPD时,就有APCPBD 请问:除上述情况外,当点P在线段AB上运动到何处(说明PB的长为多少,或PC、PD具有何种关系)时,这两个三角形仍相似;并判断此时直线CP与OB的位置关系,证明你的结论 (浙江省嘉兴市中考题)19如图,D、E是ABC边BC上的两点,F是BA延长线上一点,DAE=CAF (1)判断ABD的外接圆与