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1、,第四节 几种重要的离散型随机变量,最常见的离散型分布有两点分布、二项分布、泊松分布、超几何分布。这四种分布之间有着密切而深刻的内在联系。本节介绍这些分布和它们之间的联系。,定义2.11 随机变量X只取两个值 和 ，并且已知,称这种只取两个值的分布为两点分布。,特别地,则称这种分布为(0-1)分布。其分布列为：,一.两点分布,两点分布的概率函数为,0-1分布的概率函数为,数学期望,方差,凡是只有两个可能结果的随机试验，常用0 1分布描述，如产品是否合格、试验是否成功、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等。,应用场合,有一个最简单的例子就是掷一枚硬币一次，观察正面出现的次数。,比较
2、抽象的说法是：一次试验中事件A出现的次数服从01分布。,二 二项分布,1、定义2.12 如果随机变量X的概率函数为,其中,则称X服从参数为n，p的二项分布。记作,显然,由二项式展开公式可以验证,二项式公式,当n=1时，概率函数为,即为0-1分布。故0-1分布是二项分布的特例。记作,男还是女？,2.二项分布的取值情况及X的最大可能值,设,具体计算出数据如下：,将这些值标在坐标系中，如下图：,由图表可见 , 当 时，,分布取得最大值,此时的 称为X的最大可能值,设,由图表可见 , 当 时，,分布取得最大值,计算概率分布及绘图如下,一般地,则称 为X的最大可能值,如何求？,则必有,即,由(1)式,由
3、(2)式,当( n + 1)p 不是整数时，在 k 0=( n + 1)p 处的概率取得最大值。（ ( n + 1)p 表示取 最大整数部分）,结论,(1),3.二项分布的期望和方差,（2）,4、二项分布的应用场合,前面已知, n重伯努利试验中事件A恰好出现k次的概率简记为b(k；n，p）。 则b(k；n，p）Cnkpkqnk, k=0,1,2,，n 因此， n重伯努利试验中事件A发生的次数服从二项分布。,例（教材P82）有1000件产品，其中900件是正品，其余是次品。现从中有放回地抽取5件，求这5件中所含次品数X的分布。,解,列出X的分布表如下,例(教材P83),有十部机器同时独立工作,每
4、部机器发生故障的概率均为0.2,如果每一部机器发生故障时需一名工人维修,问需配备多少名维修工最合理.,解:设同时发生故障的机器数为X,则 XB(10,0.2),(n+1)p=2.2,所以X的最大可能值为2,即配备23名维修工最合理.,5.二项分布的计算,(1)直接查表(教材347页附表1，二项分布函数值表) 当n,p比较小时(n40,p0.4)，求F（x）=P(Xx)时可直接查表,如n=10,p=0.03,F(1)=,0.9655,n=5,p=0.4,F(2)=,0.6826,例（补充）已知XB(5,0.2),求,(1)P(X2) (2)P(X3) (3)P(X=2),解:(1)P(X2)=0
5、.9421(直接查表),(2)P(X3)=1-P(X3)=1-0.9995=0.0005,(3)P(X=2)=P(X2)-P(X1) =0.9421-0.7373=0.2048,解:,首先应确定n,p的值.,由于 EX=np=6 DX=npq=4.2,解得 q=0.7,p=0.3,n=20,查附表1,得,P(X5)=1-P(X5)=1-P(X4) =1-0.2375=0.7625,例（教材P86）,随机变量XB(n,p),已知EX=6,DX=4.2计算P(X5),(2)当n40 ,p比较大时，无法直接查表，可利用下述定理 定理2.4 如果随机变量XB(n,p), 且Y=n-X,则YB(n,q)
6、,其中q=1-p.,证:,对于k=0,1,2,n,由定义2.12,得YB(n,q),显然有如下两个公式成立:,P(X=k)=P(Y=n-k),P(Xk)=P(Yn-k),若X表示n次重复试验中事件A发生（成功）的次数，则Y=n-X表示事件A不发生（失败）的次数。,例（教材P84）,某人投篮的命中率为0.8，若连续投篮5次，求最多投中2次的概率.,解,设X为5次中投中的次数，则,设Y为5次中未投中的次数，则,此题也可以直接计算,例（教材P86）,计算机在进行加法运算时，每个加数按四舍五入取整数，假定每个加数的取整误差服从 上的均匀分布，今有5个加数相加，计算它们中至少有3个加数的取整误差绝对值不
7、超过0.3的概率。,解,设X表示一个加数的取整误差,设Y表示5个加数中取整误差绝对值不超过0.3的个数,思考：如果n40,如何计算？,三 泊松（Poisson） 分布,的Poisson 分布，记作,或,1、定义2.13,若随机变量X的概率函数为,显然,从而,2、泊松分布的期望和方差:,所以,在一定时间间隔内电话总机接到的电话次数；,3、泊松分布的应用场合,许多“排队”问题可以近似地用泊松分布来描述。如,大卖场的顾客数；,某繁华交叉街口每小时经过的车辆数；,不幸事故在一定时间内发生的次数；,4、泊松分布的计算,查教材352页附表2,泊松分布概率函数值表,如,0.012636,=0.606531+
8、0.303265+0.075816+0.012636 =0.998248,设某城市每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布.据统计在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡两人概率的1/2,计算一年中因交通事故至少死亡3人的概率.,例(教材P89),设随机变量X表示一年内因交通事故死亡的人数.其概率函数为,解:,依题意,(泊松定理) 在二项分布 中，如果,是常数，则成立,5、泊松分布与二项分布的关系,定理2.5,证,记,Poisson定理说明：若X B( n, p), 则当 n 较大， p 较小，而 适中，则可以用近似公式,即二项分布以泊松分布为近似。,实际计算中，当n20,p100,np10时，近似
9、效果更好。,例(补充) 某种药品的过敏反应率为 ，今有20000人使用此药品，求20000人中发生过敏反应的人数不超过3的概率。,解 以 表示20000人中发生过敏反应的人数，则 服从二项分布 ，所求的概率为：,如果利用近似公式,计算，可以得到： ，且,比较两个结果可以看到，近似程度是很高的。,或查表,例（教材P89）,设一个纺织工人照看800个纱锭，在规定的时间内每个纱锭断头的概率为0.005，求在这一段时间内纱锭断头数为4次的概率。,解,设断头数为X，则,近似地,四 超几何分布(了解）,1、定义2.14,如果随机变量X的概率函数为,则称X服从超几何分布,记为 XH(n,N1 ,N),可以验
10、证,例(教材P91) 有产品20件，其中有二等品5件，其余为一等品。今从这些产品中随机地抽取4件检验质量，求取到的二等品的件数X的分布。,解,X的可能取值为0,1，2,3，4。,X的分布为,具体值列表如下,超几何分布，n=4,思考：若条件改为抽取6件， X的分布有无改变？,X的分布为,仍为超几何分布，,若N个元素分为两类,2、应用场合,即X服从超几何分布。,超几何分布在产品的质量检验等方面有广泛的应用。,3、期望与方差,4、超几何分布与二项分布的关系,即当N很大,n相对与N很小时,超几何分布以二项分布为极限.,在超几何分布中,超几何分布的极限分布是二项分布,二项分布的极限分布是 Poisson
11、 分布,例（教材P92）,有1000件产品，其中废品数为15件，混放装箱，每箱100件，现从中任取一箱，求箱中有一件是废品的概率。,解,设箱中的（即任取的100件中的）废品数为X，则X服从超几何分布,在工农业生产中，质量检查部门对产品的质量进行抽样检验时，常常采用不放回抽样，应服从超几何分布。但由于产品数量很大，前次的不放回对后面的抽样影响不大，所以可看成有放回抽样，计算时可利用二项分布。又因为二项分布不容易计算，在抽取的样品数量较大时，可利用泊松分布查表求值。这种方法在实际工作中有广泛的应用。,例（教材P93）,设螺丝钉的废品率为0.01，问一盒中装多少个螺丝钉，才能使得其中含有不少于100个合格品的概率在95%以上？,解,设一盒中装 n=100+R 个，其中的废品数为X,X服从超几何分布，螺丝钉的产量一定是很大的，因此X近似服从二项分布，p=0.01,又因为二项分布近似服从泊松分布,所求为,查表得R=3,故一盒中装103个螺丝钉即可。,重要的离散型分布,当n较大，p较小时， 以泊松分布为近似。,超几何分布,当N很大，n相对于N很小时，以二项分布为近似;,二项分布,
