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1、第九章 二阶常微分方程的级数解法,第八章主要讨论了二维直角坐标系或极坐标系下的变量分离， 且本征函数为三角函数。本章重点讨论三维球坐标系和柱坐标系 下的变量分离，其本征函数为广义傅里叶级数。,首先，补充：正交曲线坐标系,若直角坐标系 下的函数组,有反函数,则称(q1,q2,q3)为曲线坐标,若基矢量正交,则称为正交曲线坐标系。,若直角系中的两点(x,y,z)、(x+dx,y+dy,z+dz)对应正交系中的两 点(q1,q2,q3)、(q1+dq1,q2+dq2,q3+dq3)，则两点间的弧长平方为,(增加基矢量正交性证明),对于正交坐标系，上述中的交叉项为0，故,其中H1,H2,H3称为度规系
2、数，沿相应坐标轴的弧长分量为：,则标量函数u(q1,q2,q3) 的梯度为,再讨论矢量函数 在曲线坐标系中的散度。,取一个体积元，由 六个曲面围成，如图：,因所取曲线坐标系是正交的，所以体积元 可认为是平行六面体。,则流过q1面(左侧面)和 面(右侧面) 的净通量为：,其中 为曲线坐标轴上的单位矢量。,同理，沿另外两个方向的净通量分别为,而散度的物理意义即为流过单位体积的净通量，其中体积元,则u的拉普拉斯运算为：,对于球坐标系，,则度规系数分别为,故梯度分量分别为,对于柱坐标系，,上式中去掉第三项即为平面极坐标系下的拉普拉斯关系。(节点),9.1 特殊函数常微分方程,本节主要内容：,分别在球坐
3、标和柱坐标系下对拉普拉斯方程进行变量分离； 对波动和输运方程进行变量分离； 分别在球坐标和柱坐标系下对亥姆霍兹方程进行变量分离； 两类特殊函数：勒让德函数与贝塞尔函数,一、拉普拉斯方程Du=0,1、球坐标系下的变量分离,球坐标系下的拉氏方程为：,先将距离变量r与方位变量q、j分离，令,代入方程，并两端同乘以r2/u整理得：,上方程两端只能等于某一常数，记作l(l+1)。,故得,其中方程(1)为欧拉型方程，令t=lnr，得,解特征方程：,其中系数由边界条件 及自然边界条件确定。,方程(2)称为球函数方程，令,代入方程，两端同乘以sin2q /Y，整理得：,上方程两端只能等于某一常数l，故得,方程
4、(3)与自然周期条件f(j)= f(j+2p)构成本征值问题，解得：,则方程(4)可写成,作变换，令x=cosq (-1x1)，则,故方程(4)变为,该方程称为l 阶缔合(或连带)勒让德方程，当m=0时，称为l 阶勒 让德方程。,缔合勒让德方程与自然边界条件x=1构成本征值问题，可以 确定本征值l和本征函数Q。,最终可得通解u(r,q,j)。,2、柱坐标系下的变量分离,柱坐标系下的拉氏方程为：,将距离变量与方位变量分离得：,方程(1)与自然周期条件构成本征值问题，解得：,则方程(2)可写成,当m=0时，方程(3)的解为,而方程(4)为欧拉型 方程，解之得：,当m0时，方程(3)的解为,对方程(
5、4) 作变换，令,方程(4)与圆柱侧面齐次边界 构成本征值问题。,则,故方程(4)变为,该方程称为m阶贝塞尔方程，与圆柱侧面构成本征值问题。,对于拉氏方程当本征值m0时，其本征函数为R(r)，而Z(z)满 足的边界必定为非齐次，否则只有0解。,当m0，则方程(3)的解为,方程(3)与柱体上下底面齐次边界条件 构成本 征值问题，可以确定本征值n。,而方程(4)作变换x=nr，可得,方程称为m阶虚宗量贝塞尔方程,即为贝塞尔方程中令x=ix之结果.,最后可以得到通解u(r,j,z)的表达形式。,二、波动方程,对于三维波动方程,则三维波动方程可变为,方程(2)称为亥姆霍兹方程，其 本征值为k20，而方
6、程(1)解为,三、输运方程,对于三维输运方程,方程(2)也是亥姆霍兹方程，而方程(1)的解为,四、亥姆霍兹方程,对于波动和输运问题，最终需要求解亥姆霍兹方程。 1、球坐标下的解决办法 球坐标系下的亥氏方程为：,则,方程(1)为球函数方程，可进一步分离变量。方程(2)即为,该方程称为球贝塞尔方程。,代入方程(2)得：,该方程称为半整阶贝塞尔方程,与球面齐次边界构成本征值问题.,当k=0时，方程(2)为欧拉型，其解为：,2、柱坐标系下的解决办法,柱坐标系下的亥氏方程为：,代入上述方程分离变量得：,方程(1)与自然周期条件构成本征值问题，可解得：,方程(2)与柱体上下底面齐次边界构成本征值问题，可解得：,则方程(3)可变为：,方程(4)为m阶的贝塞尔方程，与柱体侧面齐次边界构成本征值 问题，其本征值为,令 则方程(4)可变为标准的贝塞尔方程形式：,在亥氏方程中出现的常数k20，在今后讨论中可取k0。,从本节的讨论中可以看出，在球坐标系或柱坐标系中求解本征 值问题，归根到底是要解决两类特殊函数方程：勒让德方程和贝 塞尔方程，而这两种方程的求解需要用到下面的级数解法。,作业P190：1，3,
