《山东省诸城市桃林镇2017届中考数学压轴题专项汇编 专题27 函数与线段》由会员分享,可在线阅读,更多相关《山东省诸城市桃林镇2017届中考数学压轴题专项汇编 专题27 函数与线段(9页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、专题27 函数与线段破解策略常见的有三类问题:1距离问题(1)点到直线的距离:如图,点P到直线l的距离,可线求出PAB的面积,则该三角形AB边上的高线就是点P到直线l的距离(2)点到点的距离(线段长度):若点,则;若点A在直线上,点B在抛物线上,设点,则,当点A,B横坐标相同时,当点A,B纵坐标相同时,2线段定值问题(1)单独的线段定值:线段的定值可以成点到点的定值(2)多个线段加、减、乘、除组合定值:通过两点间的距离公式表示出对应的线段,再代入多个线段加、减、乘、除组合的式子中,通过计算得出一个常数;通过全等或相似找出线段间的关系,进行加、减、乘、除、运算后得到一个常数3线段垂直问题(1)代
2、数法:证明两条线段垂直时,可以将两条线段所在直线的表达式求出例如,则(2)几何法根据几何图形的性质证明例如,根据等腰三角形三线合一,菱形的对角线互相垂直平分等性质进行证明;利用相似或全等的性质,将等角转移,从而得到90角例题讲解例1 如图,在平面直角坐标系xOy中,直线与抛物线交于A,B两点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3,P是线段AB下方的抛物线上的一个动点(不与点A,B重合),过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,作于点D(1)求a,b及sinACP的值;(2)求出线段PC,PD长的最大值解:(1)由,得到x2,所以点A的坐标为由,得到x4,所以点B的坐标为因为抛物线经过A,B两点,所以,设
3、直线AB与y轴交于点E,则点E的坐标为,AE因为PC/y轴,所以ACPAEO所以sinACPsinAEO(2)由(1)可知,抛物线的表达式为,设点P的坐标为,点C的坐标为PC,所以当m1时,PC有最大值在RtPCD中,PDPCsinACP,因为,所以当m1时,PD有最大值例2 如图,在平面直角坐标系xOy中,开口向上的抛物线与x轴交于A,B两点,D为抛物线的顶点,O为坐标原点若A,B两点的横坐标分别是方程的两根,且DAB45(1)求抛物线对应的二次函数表达式;(2)若C点坐标为,过点A任作直线l交线段CD于点P,若点C,D到直线l的距离分别记为,试求的最大值解:(1)解方程得,而,则点A的坐标
4、为,B的坐标为,如图1,过点D作轴于点D1,则D1为AB的中点,所以点D1的坐标为因为DAB45,所以AD1DD12所以点D的坐标为令抛物线的表达式为ya(x1)22,因为抛物线过点A(1,0),所以04a2,得a,所以抛物线的表达式为y(x1)22(2)由已知条件可得AC6,AD2,DC4,所以AC2AD2DC2,所以CAD90,如图,过A作AMCD于点M因为ACADDCAM,所以AM因为SADCSAPDSAPC,所以ACADAPd1APd2,d1d2244,即此时d1d2的最大值为4例3已知:如图,抛物线与坐标轴交于A,B,C三点,点A在点B左侧,点C为抛物线与y轴的交点,BAC的平分线A
5、E交y轴于点D,交BC于点E,过点D的直线l与射线AC,AB分别交于点M,N证明:当直线l绕点D旋转时,均为定值,并求出该定值解 设直线AC的表达式为ymx3将点A的坐标代入得,解得,所以直线AC的表达式为所以CAO60,D(0,1)设直线MN的表达式为ykx1,所以点N的坐标为所以将与ykx1联立得,所以点M的横坐标为过点M作MGx轴,垂足为G,则AG因为MAG60,AGM90,所以AM2AG故例4 如图,抛物线yx2bxc的顶点坐标为M(0,1),与x轴交于A,B两点(1)求抛物线的表达式;(2)判断MAB的形状,并说明理由;(3)过原点的任意直线(不与y轴重合)交抛物线于C,D两点,连结
6、MC,MD,试判断是否MCMD,并说明理由解:(1)因为抛物线yx2bxc的顶点坐标为M(0,1),所以抛物线的表达式为yx21(2)MAB是等腰直角三角形理由如下:因为点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(1,0),所以OAOBOM1所以AMOMAOBMOMBO45,所以AMB90,BMAM所以MAB是等腰直角三角形(3)MCMD理由如下:如图,分别过点C,D作y轴的平行线,分别交x轴于点E,F,过点M作x轴的平行线,交EC延长线于点G,交DF延长线于点H设点D的坐标为(m,m21),点C的坐标为(n,n21),所以OEn,CE1n2,OFm,DFm21,因为OM1,所以CGn2,DHm2因
7、为EGDH,所以,即,所以mn1,即m因为n,n,所以因为CGMMHD90,所以CGMMDH,所以CMGMDH因为MDHDMH90,所以CMGDMH90,所以CMD90,即MCMD进阶训练1已知抛物线yax2bxc的顶点坐标为(1,0),与y轴的交点坐标为(0,),R(1,1)是抛物线对称轴l上的一点(1)若P是抛物线上的一个动点(如图1),求证:点P到点R的距离与点P到直线y1的距离恒相等;(2)设直线PR与抛物线的另一交点为Q,E为线段PQ的中点,过点P,E,Q分别作直线y1的垂线,垂足分别为M,F,N(如图2)求证:PFQF1略【提示】(1)题意可得抛物线表达式为设点P的坐标为(x,),
8、则PM由两点间距离公式得PR2(x1)2(2)因为QNQR,PRPM,所以PQPRQRPMQN根据题意可得EF为梯形PMNQ的中位线,即EF(QVPM)PQ所以EFEQEP,即点F在以PQ为直径的圆上,所以PFQF2、如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的右侧),与y轴交于点C,抛物线上有一动点P,过动点P作PEy轴于点E,交AC于点D,过点D作x轴的垂线,垂足为F,连结EF,当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标答案:当EF最短时,点P的坐标是()或()提示:如图,连结OD,因为四边形OFDE是矩形,所以ODEF,所以当ODAC时,OD最短,即EF最短根据O
9、COA,可以得到点P的纵坐标3、如图,在平面直角坐标系xOy中,ABx轴于点B,AB3,tanAOB,将OAB绕着原点O逆时针旋转90,得到OA1B1,再将OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180,得到OA2B1,抛物线经过点B,B1,A2(1)求抛物线的表达式;(2)在第三象限内,抛物线上是否存在点Q,使点Q到线段BB1的距离为?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由答案:(1)抛物线的表达式为(2)存在点Q的坐标是(1,4)或(3,2)提示:(2)假设在第三象限的抛物线上存在点Q(),使点Q到直线BB1的距离为,连结BB1,过点Q作QDBB1于点D,过Q作QEX轴于点E,因为所以x0
10、1或x03所以这样的点Q的坐标是(1,4)或(3,2)4、如图,ABC为直角三角形,ACB90,ACBC,点A,C在x轴上,点B坐标为(3,m)(m0),线段AB与y轴相交于点D,以P(1,0)为顶点的抛物线过点B,D(1)求点A的坐标(用m表示);(2)求抛物线的表达式;(3)设Q为抛物线上点P至点B之间的一个动点,连结PQ并延长交BC于点E,连结BQ并延长交AC于点F,证明:的值为定值答案:(1)点A的坐标为(3m,0);(2)抛物线的表达式为(3)略提示:(3)如图,过点Q作QMAC于点M,过点Q作QNBC于点N,设点Q的坐标为(x,x22x1),则QMCN(x1)2,MCQN3x,因为
11、m4,所以BCAC4,因为QMCE,所以PQMPEC,从而,即得EC2(x1)因为QNFC所以BQNBFC,从而,即得FC,因为AC4,所以,所以FC(ACEC)的值为定值5、如图,折叠矩形OABC的一边BC,使点C落在OA边的点D处,已知折痕BE,且,以O为原点,OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,抛物线l:经过点E,且与AB边相交于点F若M是BE的中点,连结MF,求证:MFBD答案:提示因为RtABDRtODE设OE3k,则OD4k,CEDE5k,ABOC8;,可得AD6k,OABCBD10k,于是BE,解得k1,所以抛物线的表达式为,因为DF,BFABAF8,BDE90,M是BE的中点(斜边中线的性质),所以MF是线段DB的中垂线,故MFBD