《山东省诸城市桃林镇2017届中考数学压轴题专项汇编 专题27 函数与线段》由会员分享，可在线阅读，更多相关《山东省诸城市桃林镇2017届中考数学压轴题专项汇编 专题27 函数与线段（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题27 函数与线段破解策略常见的有三类问题：1距离问题（1）点到直线的距离：如图，点P到直线l的距离，可线求出PAB的面积，则该三角形AB边上的高线就是点P到直线l的距离（2）点到点的距离（线段长度）：若点，则；若点A在直线上，点B在抛物线上，设点，则，当点A，B横坐标相同时，当点A，B纵坐标相同时，2线段定值问题（1）单独的线段定值：线段的定值可以成点到点的定值（2）多个线段加、减、乘、除组合定值：通过两点间的距离公式表示出对应的线段，再代入多个线段加、减、乘、除组合的式子中，通过计算得出一个常数；通过全等或相似找出线段间的关系，进行加、减、乘、除、运算后得到一个常数3线段垂直问题（1）代
2、数法：证明两条线段垂直时，可以将两条线段所在直线的表达式求出例如，则（2）几何法根据几何图形的性质证明例如，根据等腰三角形三线合一，菱形的对角线互相垂直平分等性质进行证明；利用相似或全等的性质，将等角转移，从而得到90角例题讲解例1 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与抛物线交于A，B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3，P是线段AB下方的抛物线上的一个动点（不与点A，B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作于点D（1）求a，b及sinACP的值；（2）求出线段PC，PD长的最大值解：（1）由，得到x2，所以点A的坐标为由，得到x4,所以点B的坐标为因为抛物线经过A，B两点，所以，设
3、直线AB与y轴交于点E，则点E的坐标为，AE因为PC/y轴，所以ACPAEO所以sinACPsinAEO（2）由（1）可知，抛物线的表达式为，设点P的坐标为，点C的坐标为PC，所以当m1时，PC有最大值在RtPCD中，PDPCsinACP，因为，所以当m1时，PD有最大值例2 如图，在平面直角坐标系xOy中，开口向上的抛物线与x轴交于A，B两点，D为抛物线的顶点，O为坐标原点若A，B两点的横坐标分别是方程的两根，且DAB45（1）求抛物线对应的二次函数表达式；（2）若C点坐标为，过点A任作直线l交线段CD于点P，若点C，D到直线l的距离分别记为，试求的最大值解：（1）解方程得，而，则点A的坐标
4、为，B的坐标为，如图1，过点D作轴于点D1，则D1为AB的中点，所以点D1的坐标为因为DAB45，所以AD1DD12所以点D的坐标为令抛物线的表达式为ya（x1）22，因为抛物线过点A（1，0），所以04a2，得a，所以抛物线的表达式为y（x1）22（2）由已知条件可得AC6，AD2，DC4，所以AC2AD2DC2，所以CAD90，如图，过A作AMCD于点M因为ACADDCAM，所以AM因为SADCSAPDSAPC，所以ACADAPd1APd2，d1d2244，即此时d1d2的最大值为4例3已知：如图，抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，点A在点B左侧，点C为抛物线与y轴的交点，BAC的平分线A
5、E交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N证明：当直线l绕点D旋转时，均为定值，并求出该定值解 设直线AC的表达式为ymx3将点A的坐标代入得，解得，所以直线AC的表达式为所以CAO60，D（0，1）设直线MN的表达式为ykx1，所以点N的坐标为所以将与ykx1联立得，所以点M的横坐标为过点M作MGx轴，垂足为G，则AG因为MAG60，AGM90，所以AM2AG故例4 如图，抛物线yx2bxc的顶点坐标为M（0，1），与x轴交于A，B两点（1）求抛物线的表达式；（2）判断MAB的形状，并说明理由；（3）过原点的任意直线（不与y轴重合）交抛物线于C，D两点，连结
6、MC，MD，试判断是否MCMD，并说明理由解：（1）因为抛物线yx2bxc的顶点坐标为M（0，1），所以抛物线的表达式为yx21（2）MAB是等腰直角三角形理由如下：因为点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（1，0），所以OAOBOM1所以AMOMAOBMOMBO45，所以AMB90，BMAM所以MAB是等腰直角三角形（3）MCMD理由如下：如图，分别过点C，D作y轴的平行线，分别交x轴于点E，F，过点M作x轴的平行线，交EC延长线于点G，交DF延长线于点H设点D的坐标为（m，m21），点C的坐标为（n，n21），所以OEn，CE1n2，OFm，DFm21，因为OM1，所以CGn2，DHm2因
7、为EGDH，所以，即，所以mn1，即m因为n，n，所以因为CGMMHD90，所以CGMMDH，所以CMGMDH因为MDHDMH90，所以CMGDMH90，所以CMD90，即MCMD进阶训练1已知抛物线yax2bxc的顶点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，），R（1，1）是抛物线对称轴l上的一点（1）若P是抛物线上的一个动点（如图1），求证：点P到点R的距离与点P到直线y1的距离恒相等；（2）设直线PR与抛物线的另一交点为Q，E为线段PQ的中点，过点P，E，Q分别作直线y1的垂线，垂足分别为M，F，N（如图2）求证：PFQF1略【提示】（1）题意可得抛物线表达式为设点P的坐标为（x，），
8、则PM由两点间距离公式得PR2（x1）2（2）因为QNQR，PRPM，所以PQPRQRPMQN根据题意可得EF为梯形PMNQ的中位线，即EF（QVPM）PQ所以EFEQEP，即点F在以PQ为直径的圆上，所以PFQF2、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，抛物线上有一动点P，过动点P作PEy轴于点E，交AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连结EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标答案：当EF最短时，点P的坐标是（）或（）提示：如图，连结OD，因为四边形OFDE是矩形，所以ODEF，所以当ODAC时，OD最短，即EF最短根据O
9、COA，可以得到点P的纵坐标3、如图，在平面直角坐标系xOy中，ABx轴于点B，AB3，tanAOB，将OAB绕着原点O逆时针旋转90，得到OA1B1，再将OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180，得到OA2B1，抛物线经过点B，B1，A2（1）求抛物线的表达式；（2）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由答案：（1）抛物线的表达式为（2）存在点Q的坐标是（1，4）或（3，2）提示：（2）假设在第三象限的抛物线上存在点Q（），使点Q到直线BB1的距离为，连结BB1，过点Q作QDBB1于点D，过Q作QEX轴于点E，因为所以x0
10、1或x03所以这样的点Q的坐标是（1，4）或（3，2）4、如图，ABC为直角三角形，ACB90，ACBC，点A，C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B，D（1）求点A的坐标（用m表示）；（2）求抛物线的表达式；（3）设Q为抛物线上点P至点B之间的一个动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ并延长交AC于点F，证明：的值为定值答案：（1）点A的坐标为（3m，0）；（2）抛物线的表达式为（3）略提示：（3）如图，过点Q作QMAC于点M，过点Q作QNBC于点N，设点Q的坐标为（x，x22x1），则QMCN（x1）2，MCQN3x，因为
11、m4，所以BCAC4，因为QMCE，所以PQMPEC，从而，即得EC2（x1）因为QNFC所以BQNBFC，从而，即得FC，因为AC4，所以，所以FC（ACEC）的值为定值5、如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE，且，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，抛物线l：经过点E，且与AB边相交于点F若M是BE的中点，连结MF，求证：MFBD答案：提示因为RtABDRtODE设OE3k，则OD4k，CEDE5k，ABOC8;，可得AD6k，OABCBD10k，于是BE，解得k1，所以抛物线的表达式为，因为DF，BFABAF8，BDE90，M是BE的中点（斜边中线的性质），所以MF是线段DB的中垂线，故MFBD
