平均指标

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1、统计学原理,广东金融学院 工商管理系 统计教研室,平均指标作用： 便于对同类现象在不同时间、不同 空间上进行比较分析。 用来综合测定工作质量和工作效率。 是制订各项定额的依据之一。 平均指标可用来估计、推算其他有关指标。,变量,可变的统计指标,平均指标又称平均数，包括静态平均数和动态平均数两种。这里所说的平均数是指静态平均数，它是将总体内各单位某一数量标志值的数量差异抽象化，用来反映现象总体在一定时间、地点条件下所达到的一般水平的综合指标。,平 均 数,一、平均指标概述,平均指标的概念和特点 平均指标反映同类现象的一般水平，是总体内各单位参差不齐的标志值的代表值，也是对变量分布集中趋势的测定。

2、 所以平均数就是在同质总体内将各单位数量差异抽象化，用以反映总体的集中趋势 特点： (1) 同质性 (2)平均指标是一个代表性的数值，说明总体各单位某一数量标志值的一般水平。 (3)平均指标是一个抽象化的数值，把总体单位某一数量标志上的差异抽象掉。,概念：,平均指标的作用,（1）利用平均指标可以对不同空间的发展水平进行比较。 （2）利用平均指标可以对某一现象总体在不同时间上的发展水平进行比较，以说明这种现象发展变化的依存关系。 （3）利用平均指标可以进行数量上的推算。,平均指标的种类,1按所计算的对象性质分类 可以分为数值平均数和位置平均数两种。 2按计算和确定的方法分类 可以分为算术平均数、

3、调和平均数、几何平均数、众数和中位数五种。,二、算术平均数,概 念 计算 公 式 特 点,优点：容易理解 便于计算 灵敏度高 稳定性好 和 缺点：易受极值影响 在偏斜分布和U形分布中， 不具有代表性,1. 算术平均数 （ ）,标志总量与总体单位总数的比值,简单：,加权：,注意：,平均指标的分子与分母总体和范围相同,某村民小组有10户农民，每户人口分别为2人、3人、5人、7人、6人、5人、4人、6人、8人、4人，则平均每户人口数为：,【单向式分组例】,某车间工人按日产量分组资料如下表所示。,按日产量分组(件),工人人数(人),各组产量(件),=,(件/人),【多项式分组例】,某储蓄所某年贷款情况

4、表,(万元),（1）算术平均数的大小，不仅取决于研究对象的变量值(x)，而且受各变量值重复出现的频数（f）或频率 （ff）大小的影响，频数或频率较大，该组数据的大小对算术平均数的影响就大，反之则小。 （2）权数的表现形式问题,注意点,3.算术平均数的数学性质,(1)各变量值与其算术平均数的离差之和等于零.,(2)各变量值与其算术平均数的离差平方和最小.,(3)两个独立的同性质变量代数和的平均数等于各变量平均数的代数和.,(4)两个独立的同性质变量乘积的平均数等于各变量平均数的乘积.,算术平均数的优缺点,优点 1、可用于推算总体标志总量。 2、代表性强。 3、可以进行代数运算。 4、在抽样中具有

5、良好的稳定性和可靠性。 缺点 1、当总体中个别单位标志值特别大或特别小时，会 导致算术平均数偏大或偏小。 2、当组距数列有开口组时，组中值有较大假定性。,三、调和平均数,概 念 计算 公 式 特 点,优点：灵敏度高 在某种不能计算的条件下，可以代替 缺点：不易理解 易受极值影响 有“ 0”值时不能计算,2. 调和平均数 （ ）,标志值倒数平均数的倒数,简单：,加权：,可理解为已知多个平均数或相对数，再求它们的平均数。,【例】,早市上某种蔬菜的价格为0.5元/斤，中午市场价格为0.4元/斤，晚上市场价格为0.25元/斤，现在市场上早、中、晚各买1元钱的菜，求平均价格。,(元/斤),【例】 工人日

6、产量资料说明如表,按日产量分组(件),各组产量(件),工人人数(人),（件/人）,相对指标和平均指标平均数的计算,1由相对指标计算平均数,【例】 设某公司下属三个企业的产值资料如下表所示。 某公司所属企业计划完成情况,【例】 设某公司下属3个企业的产值资料如下表,在社会经济统计学中经常用到的仅是一种特定权数的加权调和平均数。即有以下数学关系式成立：,m是一种特定权数，它不是各组变量值出现的次数，而是各组标志值总量。,由平均指标计算平均数,【例】 某企业两车间生产同种产品产量和成本资料如下表所示。,(元/吨),【例】 某企业两车间生产同种产品产量和成本资料如下表所示。,(元/吨),调和平均数的应

7、用,实际中，调和平均数常用来作为算术平均数的变形使用(m=xf），尤其是求相对数或平均数的平均数时，如果不能直接用加权算术平均数的计算公式，就需要采用其变形形式的调和平均数公式。二者在本质上是相同的，唯一的区别是计算时使用了不同的数据。,原来只是计算时使用了不同的数据,调和平均数例题分析,甲、乙两农贸市场某农产品价格及成交量、成交额资料如下： 试问该农产品哪一个市场的平均价格比较高？并说明原因。,试问该农产品哪一个市场的平均价格比较高？并说明原因。,例题分析,解：甲市场已知的是成交额（m）数据，需要求出成交量（m/x）数据，因此计算平均价格在形式上应采用加权调和平均数公式，即： （元/千克）

8、而乙市场以知的是成交量（f）数据，需要求出成交额（xf）数据，因此，计算平均价格在形式上应采用加权算术平均数公式，即： （元/千克） 由此可知农产品在甲市场的平均价格高于乙市场。主要原因是甲市场价格高的农产品成交量所占比重比乙市场大。这体现了权数对加权平均数的影响。,1调和平均数易受极端值的影响，且受极小值的影响比受极大值的影响更大。 2只要有一个变量值为零，就不能计算调和平均数。 3当组距数列有开口组时，其组中值即使按相邻组距计算了，假定性也很大，这时，调和平均数的代表性就很不可靠。 4调和平均数应用的范围较小。,第五，调和平均的特点,例题,例一 水果甲级每元1公斤，乙级每元1。5公斤，丙级

9、每元2公斤。问： （1）若各买1公斤，平均每元可买多少公斤？ （2）题例各买6.5公斤，平均每元可买多少公斤？ （3）甲级3公斤，乙级2公斤，丙级1公斤，平均每元可买几公斤？ （4）甲乙丙三级各买1元，每元可买几公斤？ 例二 自行车赛时速：甲30公里，乙28公里，丙20公里，全程200公里，问三人平均时速是多少？若甲乙丙三人各骑车2小时，平均时速是多少？,第四节 几何平均数,概 念 计算 公 式 特 点,优点：灵敏度高 受极值影响小于 和 适宜于各比率之积为总比率的变量求平均 缺点:有“ 0”或负值时不能计算 偶数项数列只能用正根,3. 几何平均数 （ ）,几个变量值连乘积的几次根,简单：,加

10、权：,一般适用于各变量值之间存在环比关系的事物。如：银行平均利率、各年平均发展速度。,【例】,某企业有5个流水作业的车间，1月份第一车间产品合格率为98%，第二车间产品合格率为96%，第三车间产品合格率为95%，第四车间产品合格率为94%，第五车间产品合格率为92%。试求该厂1月份平均产品合格率。,加权几何平均【例】,某企业一笔长期贷款按复利计算利息，10年间年利率为9%的有3年，年利率为11%的有4年，年利率为12%的有2年，年利率为13%的有1年。试计算10年间该笔贷款的平均年利率。,110.79%-1=10.79%, 几何平均数的特点,如果数列中有一个标志值等于零或负值，就无法计算 ；

11、受极端值的影响较 和 小； 它适用于反映特定现象的平均水平，即现象的总标志值是各单位标志值的连乘积。 （几何平均法主要用于动态平均数的计算。）,第五节 众数和中位数,概 念 计算 公 式 特 点,5. 众数 （Mo）,分配数列中出现次数最多的标志值位置平均数,上限公式：,下限公式：,优点： 容易理解， 不受极值影响 缺点： 灵敏度和计算功能差 稳定性差 具有不唯一性,d1-众数所在组与前一组频数的差。 d2-众数所在组与下一组频数的差。,众数的计算(众数的不唯一性),无众数 原始数据: 10 5 9 12 6 8,一个众数 原始数据: 6 5 9 8 5 5,多于一个众数 原始数据: 25 2

12、8 28 36 42 42,【例】,某地区2006年调查工业企业工人人均收入情况，共抽查1 000人，取得平均月收入资料如表所示。,（元）,众数特点 1众数不受分布数列的极大或极小值的影响. 2当分组数列没有任何一组的次数占多数，而是近似于均匀分布时，则该次数分配数列无众数。若将无众数的分布数列重新分组或各组频数依序合并，又会使分配数列再现出明显的集中趋势。,3如果与众数组相比邻的上下两组的次数相等，则众数组的组中值就是众数值；如果与众数组比邻的上一组的次数较多，而下一组的次数较少，则众数在众数组内会偏向该组下限；如果与众数组比邻的上一组的次数较少，而下一组的次数较多，则众数在众数组内会偏向该

13、组上限。 4缺乏敏感性。这是由于众数的计算只利用了众数组的数据信息，不象数值平均数那样利用了全部数据信息。,概 念 计算 公 式 特 点,4. 中位数 （Me）,标志值由小到大顺序排列中居中间位置的标志值位置平均数,上限公式：,下限公式：,优点：容易理解， 不受极值影响 适宜于开口组资料和些不能用数字测定的事物 缺点：灵敏度和计算功能差 间断数Me,Sm1-中位数所在组以下的累计次数。 Sm+1-中位数所在组以上的累计次数。,中位数的计算,确定中位数，必须将总体各单位的标志值按大小顺序排列，最好是编制出变量数列。这里有两种情况： 对于未分组的原始资料，首先必须将标志值按大小排序。设排序的结果为

14、：,例:24名IT从业人员年薪资料表如下所示，计算该24名IT人员的中位数,排序得：,中位数的位置在（24+1）/2 = 12.5，中位数在第12个数值（49800）和第13个数值（49900）之间，即 Me = (49800+49900)/2=49850(元)。,【分组数据例】某地2006年粮食产量资料如表，试确定中位数。,中位数位次=,（公斤/公顷）,中位数特点 A中位数是以它在所有标志值中所处的位置确定的全体单位标志值的代表值，不受分布数列的极大或极小值影响，从而在一定程度上提高了中位数对分布数列的代表性。 B有些离散型变量的单项式数列，当次数分布偏态时，中位数的代表性会受到影响。 C缺乏敏感性。,几何平均数、算术平均数和调和平均数的关系,幂平均函数,算术平均数与众数、中位数之间的关系,在对称分布（即正态）时 在右偏时 在左偏时 适度偏态时,众数与算术平均数的距离约为中位数与算术平均数距离的3倍,对称分布,右偏分布,左偏分布,一组工人的月收入众数为700元，月收入的算术平均数为1000元，则月收入的中位数近似值是：,