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1、七、应用几何、向量知识求最值:典型例题:例1.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和,且长为的棱与长为的棱异面,则的取值范围是【 】(A) (B) (C) (D)【答案】A。【考点】异面直线的判定,棱锥的结构特征,勾股定理和余弦定理的应用。【分析】如图所示,设四面体的棱长为,取中点P,连接,所以,在中,由勾股定理得=。在中,。,。故选A。例2.在平行四边形中,边、的长分别为2、1,若、分别是边、上的点,且满足,则的取值范围是 .【答案】。【考点】平面向量的基本运算。【解析】如图所示,以为原点,向量所在直线为轴,过垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系。平行四边形中,。设,则。由得,。的横坐标
2、为,的纵坐标为。函数在有最大值,在时,函数单调增加。在时有最小值2;在时有最大值5。的取值范围是。例3.如图,与是四面体中互相垂直的棱,若,且,其中、为常数,则四面体的体积的最大值是 .【答案】。【考点】四面体中线面的关系,椭圆的性质。【解析】作于,连接,则,平面。又平面,。 由题设,与都在以为焦距的椭球上,且、都垂直于焦距所在直线。=。 取中点,连接,。四面体的体积。显然,当在中点,即是短轴端点时,有最大值为。例4.已知正方形ABCD的边长为l,点E是AB边上的动点。则的值为 ; 的最大值为 【答案】1;1。【考点】平面向量的运算法则。【解析】如图,根据平面向量的运算法则,得 。 ,正方形A
3、BCD的边长为l,。 又, 而就是在上的射影,要使其最大即要点E与点B重合,此时。 的最大值为。例5.在矩形中,边、的长分别为2、1,若、分别是边、上的点,且满足,则的取值范围是 【答案】。【考点】平面向量的基本运算。【解析】如图所示,以为原点,向量所在直线为轴,过所在直线为轴建立平面直角坐标系。在矩形中, ,。设,则。由得,。的坐标为。,。的取值范围是。例6.在平面直角坐标系中,圆的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点,则的最大值是 【答案】。【考点】圆与圆的位置关系,点到直线的距离。【解析】圆C的方程可化为:,圆C的圆心为,半径为1。由题意,直线上至少存在一点,以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点;存在,使得成立,即。即为点到直线的距离,解得。的最大值是。例7.若直线与圆有公共点,则实数取值范围是【 】 【答案】。【考点】圆与直线的位置关系,点到直线的距离公式,解绝对值不等式。【解析】设圆的圆心到直线的距离为,则根据圆与直线的位置关系,得。由点到直线的距离公式,得,解得。故选。