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1、1.直线与直线垂直1.1 空间直线的垂直定义【例1】若空间中四条两两不同的直线、，满足，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C.、既不平行也不垂直 D.、的位置关系不确定【解析】如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，设BB1是直线l1，BC是直线l2，AB是直线l3，则DD1是直线l4，l1l4；设BB1是直线l1，BC是直线l2，CC1是直线l3，CD是直线l4，则l1l4.故l1与l4的位置关系不确定【评注】考查空间中直线的位置关系，合理地构造几何模型进行判断即可【变式】如果两条直线所成的角为，则这两条直线垂直.如图，在直三棱柱中，BC=1，M是CC1的中点求证：.【解析】
2、因为三棱柱为直棱柱，故，所以，又，故，则平面连接，则为在平面内的射影可得到， 则，因为 ，所以，由三垂线定理可得1.2 直线与直线垂直的判定【例2】平面，证明：【解析】因为，所以；因为，所以，所以平面，又平面，所以【评注】如果一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线，其推理模式：【变式1】三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直，其推理模式：如图，斜边为的，证明：；【解析】因为，所以，又，所以.【变式2】三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直，其推理模式：如果
3、一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上【解析】已知：在内，于，于且，求证：在的平分线上（即）分析：，（三垂线定理逆定理）；，又，【变式3】三垂线定理的定理与逆定理的综合应用.点为所在平面外的一点，点为点在平面内的射影，若，求证：【解析】连结，且，（三垂线定理逆定理）；同理，为的垂心，又，（三垂线定理）1.3直线与直线垂直的性质 【例3】如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB2AD，ADA1B1，BAD60.证明：. 【解析】D1D面ABCD，且BD面ABCD，D1DBD.又AB2AD，BAD60，在ABD中，由余弦定理得BD2AD2AB22ADABcos603AD2，AD2BD2AB2. 即ADBD.又ADD1DD，BD面ADD1A1.又AA1面ADD1A1, AA1BD.【评注】直线和直线垂直是证明直线与平面垂直、平面与平面垂直的根本.【变式】直线与平面垂直、平面与平面垂直往往须借助于直线和直线垂直加以证明.如图,三棱柱中,.证明:.【解析】取得中点，连结，因为，所以由于， 故为等边三角形，所以.因为，所以，又，故
