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1、1 前 言1.1 任务来源和目的意义本项目分数与高阶谱估计技术研究是课题“SeisSpecial 隐蔽油藏表征系统”下设的一个外协子课题，系胜利油田有限公司地质科学研究院委托中国地质大学（武汉）完成的协作项目。研究期限2007年6月-2008年3月。本子课题的目的是开展分数与高阶谱估计算法及其在地震储层预测中的应用研究，同时，研究吸收衰减介质中的褶积模型制作方法，可以为从地震记录中提取吸收衰减系数提供技术支持。考虑到在分数阶傅立叶变换域内对含未知参数的信号频率检测更具优势，高阶谱相对于功率谱来说它包含了信号的相位信息，且自动抑制高斯有色噪声的影响，因此，从分数谱以及高阶谱中提取地震信号的特征参
2、数或与含油气有关的信息具有很大的实际价值，对今后济阳坳陷深层砂砾岩体的勘探有重要的指导和应用意义。1.2研究现状及存在问题1.2.1 研究现状项目研究的理论基础是分数阶Fourier变换谱、高阶统计量谱时频分析理论以及地震波在吸收衰减介质中传播理论。时频谱分析的研究始于20世纪40年代，1946年Gabor提出了短时窗傅立叶变换（STFT），其基本思想是使用窗函数截取信号，假定信号在窗口内是平稳的，然后对窗口内信号进行傅立叶变换，确定该时刻的频率，然后沿信号移动窗函数，得到信号频率随时间的变化关系。1966年，Cohen给出了各种时频分布的统一形式，称为Cohen类，该类中的不同时频分布的性质
3、完全由核函数来确定，Cohen类中最基本的双线性时频分布是Wigner-Ville分布，由于在该分布中不含窗函数，因此避免了短时窗傅立叶变换时间分辨率、频率分辨率相互牵制的矛盾。其中最具有代表性的是Wigner- Ville分布，由于它是二次时频分布，对于多分量信号会产生交叉项，这给地震数据处理和解释带来一定的困难，虽然Cohen类中一些成员可以通过平滑的方法来减小交叉项，但它是以牺牲时频分辨率为代价。80年代后期法国的地球物理学家J.Morlet和理论物理学家A.Grossmam将小波变换在理论上构成了系统的框架，小波变换引入了尺度因子，克服了短时傅立叶变换的单分辨率分析的不足。1996年，
4、张贤达提出了高阶统计量时间序列分析方法，高阶统计量是描述随机过程高阶(二阶以上) 统计特性的一种数学工具，包括高阶累积量和高阶矩。与自相关函数的傅里叶变换定义为函数的功率谱类似，高阶累积量的多维傅里叶变换定义为高阶谱(或称多谱) 。1980 年VNamias首先提出并研究了 Fourier 变换的另一种改进方式，即分数阶 Fourier 变换（FTFT，Fractional Fourier Transformation ）。基本的思想是把经典 Fourier 变换的全部特征值作为一般的复数进行幂次运算，将所得结果作为一个新变换的特征值并利用 Fourier 变换的特征函数二者合一，从而构造得到
5、与前述幂次相同的分数阶 Fourier 变换。1987 年，Mcbride 和 Kerr用积分形式从数学上严格定义了分数阶Fourier变换。1993 年，光学专家 Lohmann利用Fourier 变换相当于在 Wigner 分布函数相空间中角度为/2的旋转这一性质，阐述了分数阶 Fourier 变换的物理意义。1995 年，Mendlovic，Ozaktas 和 Lohmann 三人利用分数阶 Fourier 变换的概念，提出了分数相关的定义，并给出可能的实现结构和相应的数值模拟结果。1996 年 ，Lohmann 利用分数阶 Fourier 变换的思想，给出了相应的模拟结果和基于分数阶F
6、ourier 变换结构的实现结构。时频谱分析在地震勘探上的应用，国内外主要使用的方法是短时窗傅立叶变换、Cohen类的WignerVille分布以及小波变换。张玉芬、刘传虎运用短时窗傅立叶变换进行薄集层的油气预测； Satish K.Sinhad等用连续小波变换提取了一些地震时频属性；董臣强、吴国忱将时频分析方法应用于地层层序分析，崔凤林将时频分析技术应用于薄互层结构研究；Hirokazu Moriya 等用Cohen类中的时频分布进行多分量信号的P波拾取。邹文、顾汉明等把S变换应用到地震勘探中的储层预测。虽然时频分析技术在地震勘探领域取得了一些成果，但是时频分析理论仍处在不断发展、完善中，新
7、的时频分布形式不断涌现，因此在地震勘探领域的应用也在不断扩大。1.2.2 存在问题地震波是一个非平稳的信号，短时窗傅立叶变换在窗函数的选取过程中不可避免地存在着不确定性因素，而且一旦选取了窗函数也就固定了分辨率，因此短时傅立叶变换只能以一种分辨率进行时频分析，对于同时具有高频和低频的地震信号就不太适用。具有Cohen类时频谱对于多分量信号会产生交叉项，小波变换由于尺度因子与频率没有直接的联系，频率在小波变换中没有明显表现出来，而且小波选取的许多可能性使得结果具有多解性。一方面，分数阶Fourier 变换是经典 Fourier 分析法的一种改进方式，是基于坐标轴的旋转思想提出的，它可以同时展现信
8、号的时间与频率特性，弥补了 Fourier 分析不能同时展现时间与频率特性的这一缺陷，提供了远比 Fourier 分析法多得多的可供选择的数据处理和分析方法。分数阶 Fourier 变换是具有独特性质的线性信号时频分析方法，是一种很好的对非平稳信号进行处理的时频分析工具。另一方面，高阶统计量与二阶统计量(自相关函数) 相比具有以下3 个方面的显著优点： 高阶统计量具有对高斯噪声恒定为零的特点，因而可用于提取高斯噪声中的非高斯信号; 高阶统计量含有系统的相位信息，因而可用于非最小相位系统的辨识； 高阶统计量可用于检测和描述系统的非线性，如检测高斯信号或非高斯信号。类似于频谱(功率谱) 分析可以得
9、到地震信号的一些特征参数以及与地下含油气有关的地质信息。而高阶谱相对于功率谱来说它包含了信号的相位信息，且自动抑制高斯有色噪声的影响。 因此，从高阶谱中提取地震信号的特征参数或与含油气有关的信息应具有很大的实际价值。3 高阶统计量原理方法及高阶谱算法高阶统计量理论的发展首先是从解决功率谱估计所存在的问题着手的。在上世纪的60到80年代，研究人员在功率谱估计技术领域做了许多令人注目的工作，使得功率谱成了数字信号处理中一个最基本的工具。众所周知，功率谱只包含了信号的二阶统计量信息（自相关），它所提取的是叠加在一起的统计无关的各频率分量上的功率分布。功率谱可以描述那些服从线性机制的随机过程，特别是能
10、够完整地描述高斯随机过程。但是，功率谱的估计不可避免地抑制了各个频率分量上的相位信息，即二阶统计量是“相盲”（Phase-Blind）的。在实际的信号分析和处理中，所遇到的随机过程，大多是非线性的，我们需要把二阶统计量扩展到高阶统计量，以提取相位信息，检测信号偏离“高斯性”的程度，确定信号是否存在非线性性质等，这正是我们使用高阶统计量的三个主要原因。实验证明，高阶统计量在信噪比较低的情况下，信号的检测、估计和重建仍然能够获得相当好的结果。3.1 高阶矩与高阶累计量特征函数方法是概率论与数理统计的主要分析工具，利用特征函数，可以很方便的引出高阶矩和高阶累计量的定义。3.1.1 高阶矩与高阶累计量
11、的定义(1)考查单个随机变量的情况。若它的概率密度函数为，而是随机变量的任意函数，则的数学期望定义为 (3.1)特别的当时有 (3.2)并定义为随机变量的第一特征函数，即随机变量的第一特征函数为其概率密度函数的Fourier反变换。求第一特征函数的阶导数得 (3.3)随机变量的阶原点矩和中心矩分别定义为 (3.4) (3.5)式中代表随机变量的一阶矩即均值。对于零均值的随机变量，其阶原点矩和中心矩是等价的。在以后的讨论中均假定随机变量和随机信号为零均值的。将第一特征函数按泰勒级数展开，并令，即可求出的阶矩为 (3.6)由于随机变量的的阶矩可以由第一特征函数生成，故常将第一特征函数称为矩生成函数
12、。第一特征函数的自然对数称为第二特征函数，记为 (3.7)与阶矩的定义类似，随机变量的的阶累计量定义为 (3.8)由此，将第二特征函数称为累计量生成函数。(2) 考查多个随机变量的情况。令是个随机变量，其第一联合特征函数为 (3.9)求关于的阶偏导数，并令，可得个随机变量的阶矩为 (3.10)类似的，个随机变量的阶联合累积量可用其第二联合特征函数即累积量生成函数生成并定义为 (3.11)在实际工作中常取，记得到个随机变量的阶矩和阶累计量分别为 (3.12) (3.13)（3）考查平稳随机信号的情况。设为零均值的阶平稳随机信号，令，则该信号的阶矩定义为 (3.14)阶累计量定义为 (3.15)上
13、式中，表示不同时刻变量的时间间隔，表示矩函数，表示累计量函数。3.1.2 高阶矩与高阶累计量的相互转换关系令是个随机变量组成的集合，其符号集为，对符合集合进行无交连非空分割为个子集，为所有可能分割的子集合个数，即这种分割满足的无交连的非空子集合的无序组合，其中表示各个子集合的并集。我们用和分别表示随机信号的阶矩和阶累计量，用和分别表示其符号子集为的矩和累计量。则随机信号的累计量可以用其矩表示为 (3.16)随机信号的矩可以用累计量表示为 (3.17)随机信号的高阶矩和高阶累计量的转换关系非常复杂，为了使用方便，现将随机信号的四阶以下下的矩和累计量转换关系归纳总结如下： (3.18)可见，二、三
14、阶累量分别是二、三阶中心矩，当随机信号均值为零时，二、三阶累量就是二、三阶相关。但四阶及其更高阶累量不等于相应的中心距。3.1.3 高斯信号的高阶矩与高阶累计量令是一高斯随机变量，它具有零均值，方差为，其概率密度函数为 (3.19)则高斯随机变量的矩生成函数为 （3.20)求的各阶导数，可得 (3.21)令可得高斯随机变量的各阶矩为 (3.22)推而广之，对任意整数，高斯随机变量的矩可统一表示为 (3.23)高斯随机变量的累计量生成函数为 (3.24)其各阶导数为 (3.25)令可得高斯随机变量的各阶累计量为 (3.26)由此可知，任意一个零均值的高斯随机变量的二阶矩和二阶累计量相同，均等于方差；其奇数阶矩恒为零，但偶数阶矩不等于零；而高阶（三阶及其以上各阶）累计量恒等于零。因此我们称高阶累计量对高斯随机信号是“盲的”。根据任何高斯过程的高阶累积量均等于零这一事实，我们得到一个非常重要的结论：如果一非高斯信号是在与之独立的加性高斯有色噪声中被观测的话，那么观测过程的高阶累积量将与非高斯信号过程的高阶累积量恒等。因而，使用高阶累积量作分析工具时，理论上可完全抑制高斯有色噪声的影响。但是，高阶矩却无此优点，因为高斯过程的高阶矩并不恒等于零。3.1.4 高阶矩与高阶累计量的性质下面对理论研究中经常用到的高阶矩和高阶累计
