《高中数学 圆锥曲线中的存在性问题练习 新人教b版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 圆锥曲线中的存在性问题练习 新人教b版选修2-1（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、圆锥曲线中的存在性问题1、如图,椭圆经过点离心率,直线的方程为.(1)求椭圆的方程;(2)是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直线与直线相交于点,记的斜率分别为问:是否存在常数,使得?若存在求的值;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)由在椭圆上得, 依题设知,则 代入解得. 故椭圆的方程为. (2)方法一:由题意可设的斜率为, 则直线的方程为 代入椭圆方程并整理,得, 设,则有 在方程中令得,的坐标为. 从而. 注意到共线,则有,即有. 所以 代入得, 又,所以.故存在常数符合题意. 方法二:设,则直线的方程为:, 令,求得, 从而直线的斜率为, 联立 ,得, 则直线的斜率为:,直线的斜率为
2、:, 所以, 故存在常数符合题意. 2、在平面直角坐标系中,是抛物线的焦点,是抛物线上位于第一象限内的任意一点,过三点的圆的圆心为,点到抛物线的准线的距离为.()求抛物线的方程;()是否存在点,使得直线与抛物线相切于点?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由;()若点的横坐标为,直线与抛物线有两个不同的交点,与圆 有两个不同的交点,求当时,的最小值.解析:()F抛物线C:x2=2py(p0)的焦点F,设M,由题意可知,则点Q到抛物线C的准线的距离为,解得,于是抛物线C的方程为. ()假设存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M, 而, , 由可得,则, 即,而,解得,点M的坐标为. ()若
3、点M的横坐标为,则点M,. 由可得,.设, 圆, , 于是,令 ,设, 当时, 即当时. 3、已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足.(1)求曲线C的方程;(2)动点Q(x0,y0)(-2x02)在曲线C上,曲线C在点Q处的切线为l向:是否存在定点P(0,t)(t0),使得l与PA,PB都不相交,交点分别为D,E,且QAB与PDE的面积之比是常数?若存在,求t的值.若不存在,说明理由。解:(1)依题意可得, , 由已知得,化简得曲线C的方程: (2)假设存在点P(0,t)(t0)满足条件,则直线PA的方程是,直线PB的方程是,曲线C在点Q处的切线l
4、的方程为它与y轴的交点为,由于,因此 当时, ,存在,使得,即l与直线PA平行,故当时不符合题意 当时,所以l 与直线PA,PB一定相交,分别联立方程组, 解得D,E的横坐标分别是 则,又, 有,又 于是 对任意,要使QAB与PDE的面积之比是常数,只需t满足, 解得t=-1,此时QAB与PDE的面积之比为2,故存在t=-1,使QAB与PDE的面积之比是常数2. 4、设是单位圆上的任意一点,是过点与轴垂直的直线,是直线与 轴的交点,点在直线上,且满足. 当点在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线.()求曲线的方程,判断曲线为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标; ()过原点且斜率为的直线交曲线于,两点,其中
5、在第一象限,它在轴上的射影为点,直线交曲线于另一点. 是否存在,使得对任意的,都有?若存在,求的值;若不存在,请说明理由。()如图1,设,则由, 可得,所以,. 因为点在单位圆上运动,所以. 将式代入式即得所求曲线的方程为. 因为,所以 当时,曲线是焦点在轴上的椭圆, 两焦点坐标分别为,; 当时,曲线是焦点在轴上的椭圆, 两焦点坐标分别为,. ()解法1:如图2、3,设,则, 直线的方程为,将其代入椭圆的方程并整理可得 . 依题意可知此方程的两根为,于是由韦达定理可得 ,即. 因为点H在直线QN上,所以. 于是,. 而等价于, 即,又,得, 故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,都有. 图2 图3 图1O D xyAM 解法2:如图2、3,设,则, 因为,两点在椭圆上,所以 两式相减可得 . 依题意,由点在第一象限可知,点也在第一象限,且,不重合, 故. 于是由式可得 . 又,三点共线,所以,即. 于是由式可得. 而等价于,即,又,得, 故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,都有
