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1、8.1空间几何体及其表面积、体积1空间几何体的结构特征多面体(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形. (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形. (3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形.旋转体(1)圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到. (2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到. (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到.(4)球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到.2.柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表
2、面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR33.空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用斜二测画法，基本步骤：(1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x轴、y轴，两轴相交于点O，且使xOy45(或135)(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别平行于x轴、y轴(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半(4)在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z轴也垂直于xOy平面，已知图形中
3、平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z轴且长度不变【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥()(3)用斜二测画法画水平放置的A时，若A的两边分别平行于x轴和y轴，且A90，则在直观图中，A45.()(4)圆柱的侧面展开图是矩形()(5)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算()1下列说法正确的是_(填序号)相等的角在直观图中仍然相等；相等的线段在直观图中仍然相等；正方形的直观图是正方形；若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行答案解析由直观图的画法
4、规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变2(2014陕西改编)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是_答案2解析底面圆半径为1，高为1，侧面积S2rh2112.3(2013课标全国改编)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为_ cm3.答案解析作出该球轴截面的图象如图所示，依题意BE2，AECE4，设DEx，故AD2x，因为AD2AE2DE2，解得x3，故该球的半径AD5，所以VR3.4一个三角形在其直观图中对应一个边长为
5、1的正三角形，原三角形的面积为_答案解析由斜二测画法，知直观图是边长为1的正三角形，其原图是一个底为1，高为的三角形，所以原三角形的面积为.题型一空间几何体的结构特征例1给出下列命题：棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；存在每个面都是直角三角形的四面体；棱台的侧棱延长后交于一点其中正确命题的序号是_答案解析不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；正确，因为两个过相对侧棱
6、的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；正确，如图，正方体AC1中的三棱锥C1ABC，四个面都是直角三角形；正确，由棱台的概念可知思维升华(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析给出下列命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；棱台的上、
7、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等其中正确命题的个数是_答案0个解析不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图1所示；不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等 图1图2题型二几何体的直观图例2(1)关于斜二测画法所得直观图的说法正确的序号为_直角三角形的直观图仍是直角三角形；梯形的直观图是平行四边形；正方形的直观图是菱形；平行四边
8、形的直观图仍是平行四边形(2)正三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是_答案(1)(2)a2解析(1)由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成了斜坐标系，而平行性没有改变，因此，只有正确(2)画出坐标系xOy，作出OAB的直观图OAB(如图)D为OA的中点易知DBDB(D为OA的中点)，SOABSOABa2a2.思维升华解决有关“斜二侧画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系(1)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图
9、，结果为如图所示的一个正方形，则原来的平面图形为_(2)如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6 cm，OC2 cm，则原图形的形状为_答案(1)(2)菱形解析(1)平面图形的直观图为正方形，且其边长为1，对角线长为，所以原平面图形为平行四边形，且位于x轴上的边长仍为1，位于y轴上的对角线长为2.(2)如图，在原图形OABC中，应有OD2OD224 cm，CDCD2 cm.OC6 cm，OAOC，故四边形OABC是菱形题型三空间几何体的表面积例3有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比(2)如图
10、，斜三棱柱ABCABC中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA与底面相邻两边AB与AC都成45角，求此斜三棱柱的表面积解(1)设正方体的棱长为a，正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面的中心，经过四个切点及球心作截面如图所示，有2r1a，r1，S14ra2.球与正方体的各条棱的切点在各棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面如图所示，有2r2a，r2a，S24r2a2.正方体的各顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面如图所示，有2r3a，r3a，S34r3a2.综上可得，S1S2S3123.(2)如图，过A作AD平面ABC于D，过D作DEAB于E，DFAC于F，连结AE，A
11、F，AD.则由AAEAAF，AAAA，得RtAAERtAAF，AEAF，DEDF，AD平分BAC，又ABAC，BCAD，BCAA，而AABB，BCBB，四边形BCCB是矩形，斜三棱柱的侧面积为2absin 45ab(1)ab.又斜三棱柱的底面积为2a2a2，斜三棱柱的表面积为(1)aba2.思维升华(1)解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况；(2)在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面
12、积之和一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm，高是 cm.(1)求三棱台的斜高；(2)求三棱台的侧面积和表面积解(1)设O1、O分别为正三棱台ABCA1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O1O，过O1作O1D1B1C1，ODBC，则D1D为三棱台的斜高；过D1作D1EAD于E，则D1EO1O，因O1D13，OD6，则DEODO1D1.在RtD1DE中，D1D (cm)故三棱台斜高为 cm.(2)设c、c分别为上、下底的周长，h为斜高，S侧(cc)h(3336) (cm2)，S表S侧S上S下3262 (cm2)故三棱台的侧面积为 cm2，表面积为 cm2.题型四空间几
13、何体的体积例4如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1B1EDF的体积思维点拨思路一，先求出四棱锥C1B1EDF的高及其底面积，再利用棱锥的体积公式求出其体积；思路二，先将四棱锥C1B1EDF化为两个三棱锥B1C1EF与DC1EF，再求四棱锥C1B1EDF的体积解方法一连结A1C1，B1D1交于点O1，连结B1D，EF，过O1作O1HB1D于H.EFA1C1，且A1C1平面B1EDF，A1C1平面B1EDF.C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离平面B1D1D平面B1EDF，平面B1D1D平面B1EDFB1D，O1H平面B1EDF，即O1H为棱锥的高B1O1HB1DD1，O1Ha.EFB1DO1Haaaa3.方法二连结EF，B1D.设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，则h1h2B1D1a.由题意得，a3.思维升华在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比时，常常需要用到分割法在求一个几何体被分成两部分的体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积如图，在三棱柱A1
