《2016高考数学大一轮复习 6.3等比数列及其前n项和教师用书 理 苏教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016高考数学大一轮复习 6.3等比数列及其前n项和教师用书 理 苏教版（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、6.3等比数列及其前n项和1等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示2等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1qn1.3等比中项若G2ab (ab0)，那么G叫做a与b的等比中项4等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN*)(2)若an为等比数列，且klmn (k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，anbn，仍是等比数列5等比数列的前n项和公式等比数列a
2、n的公比为q(q0)，其前n项和为Sn，当q1时，Snna1；当q1时，Sn.6等比数列前n项和的性质公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为 qn .【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列()(2)G为a，b的等比中项G2ab.()(3)如果an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列()(4)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列()(5)等比数列an的首项为a，公比为1，前n项和为Sn，则S2n0，S2n1a.()(6)1bb
3、2b3b4b5.()1(2013江西改编)等比数列x,3x3,6x6，的第四项为 答案24解析由x,3x3,6x6成等比数列得，(3x3)2x(6x6)解得x13或x21(不合题意，舍去)故数列的第四项为24.2已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10 .答案7解析方法一由题意得或a1a10a1(1q9)7.方法二由，解得或或a1a10a1(1q9)7.3(2014江苏)在各项均为正数的等比数列an中，若a21，a8a62a4，则a6的值是 答案4解析因为a8a2q6，a6a2q4，a4a2q2，所以由a8a62a4得a2q6a2q42a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元
4、二次方程(q2)2q220，解得q22，a6a2q41224.4(2013北京)若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q ；前n项和Sn .答案22n12解析设等比数列的公比为q，由a2a420，a3a540.得20q40，且a1qa1q320，解得q2，且a12.因此Sn2n12.题型一等比数列基本量的运算例1(1)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和已知a2a41，S37，则S5 .(2)在等比数列an中，若a4a26，a5a115，则a3 .答案(1)(2)4或4解析(1)显然公比q1，由题意得解得或(舍去)，S5.(2)设等比数列an的公比为q(q0)，则两式相
5、除，得，即2q25q20，解得q2或q.所以或故a34或a34.思维升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解(1)已知正项数列an为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a22，则该数列的前5项的和为 (2)(2014天津)设an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为 答案(1)31(2)解析(1)设an的公比为q，q0.由已知得a43a325a2，即a2q23a2q10a2，q23q100，解得q2或q5(舍去)，又a22，则a11
6、，所以S531.(2)因为等差数列an的前n项和为Snna1d，所以S1，S2，S4分别为a1,2a11,4a16.因为S1，S2，S4成等比数列，所以(2a11)2a1(4a16)，解方程得a1.题型二等比数列的性质及应用例2(1)在等比数列an中，各项均为正值，且a6a10a3a541，a4a85，则a4a8 .(2)等比数列an的首项a11，前n项和为Sn，若，则公比q .答案(1)(2)解析(1)由a6a10a3a541及a6a10a，a3a5a，得aa41.因为a4a85，所以(a4a8)2a2a4a8a412551.又an0，所以a4a8.(2)由，a11知公比q1，则可得.由等比
7、数列前n项和的性质知S5，S10S5，S15S10成等比数列，且公比为q5，故q5，q.思维升华(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用(1)设等比数列an的前n项和为Sn，若S6S312，则S9S3 .(2)在等比数列an中，若a1a2a3a41，a13a14a15a168，则a41a42a43a44 .(3)设数列an、bn都是正项等比数列，Sn、Tn分别为数列lg an与lg bn的前
8、n项和，且，则logb5a5 .答案(1)34(2)1 024(3)解析(1)由等比数列的性质：S3，S6S3，S9S6仍成等比数列，于是(S6S3)2S3(S9S6)，将S6S3代入得.(2)方法一a1a2a3a4a1a1qa1q2a1q3aq61，a13a14a15a16a1q12a1q13a1q14a1q15aq548，：q488q162，又a41a42a43a44a1q40a1q41a1q42a1q43aq166aq6q160(aq6)(q16)1012101 024.方法二由性质可知，依次4项的积为等比数列，设公比为p，设T1a1a2a3a41，T4a13a14a15a168，T4T
9、1p31p38p2.T11a41a42a43a44T1p102101 024.(3)由题意知logb5a5.题型三等比数列的判定与证明例3已知数列an的前n项和为Sn，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明anSnn，an1Sn1n1.得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，an1是等比数列又a1a11，a1，cnan1，首项c1a11，c1，公比是以为首项，以为公比的等比数列(2)解由(1)可知cnn1n，an1n.思维升华(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于填空题中的判定；若证明某数列不
10、是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可(2)利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明由a11及Sn14an2，有a1a2S24a12.a25，b1a22a13.又，得an14an4an1，an12an2(an2an1)bnan12an，bn2bn1，故bn是首项b13，公比为2的等比数列(2)解由(1)知bnan12an32n1，故是首项为，公差为的等差数列(n1)，得an(3n1)2n2.分类讨论思想在等比数列中的应用典例：(14分)(
11、2013天津)已知首项为的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)证明：Sn(nN*)思维点拨(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明规范解答(1)解设等比数列an的公比为q，因为2S2，S3,4S4成等差数列，所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，可得2a4a3，于是q.3分又a1，所以等比数列an的通项公式为ann1(1)n1.5分(2)证明由(1)知，Sn1n，Sn1n8分当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以SnS1.10分当n为偶数时，Sn随n的增大而
12、减小，所以SnS2.12分故对于nN*，有Sn.14分温馨提醒(1)分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有：已知Sn与an的关系，要分n1，n2两种情况等比数列中遇到求和问题要分公比q1，q1讨论项数的奇、偶数讨论等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论(2)数列与函数有密切的联系，证明与数列有关的不等式，一般是求数列中的最大项或最小项，可以利用图象或者数列的增减性求解，同时注意数列的增减性与函数单调性的区别.方法与技巧1已知等比数列an(1)数列can(c0)，|an|，a，也是等比数列(2)a1ana2an1amanm1.2判断数列为等比数列的方法(1)定义法：q(q是不等于0的常数，nN*)数列an是等比数列；也可用q(q是不等于0的常数，nN*，n2)数列an是等比数列二者的本质是相同的，其区别只是n的初始值不同(2)等比中项法：aanan2(anan1an20，nN*)数列an是等比数列3解题中要注意选用等比数列的性质，减少运算量失误与防范1注意等比数列中的分类讨论2由a
