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1、专题突破练(四)(教师用书独具)A级基础达标练一、选择题1(2015兰州模拟)将直三棱柱截去三个角(如图47(1)所示，A，B，C分别是GHI三边的中点)得到的几何体(如图47(2)，则该几何体按图47(2)所示方向的侧视图(或称左视图)为()(1)(2)图47解析当直三棱柱没有截去三个角时，侧视图如图所示，由此可知截去三个角后的侧视图如图所示，故选A.答案A2(2014课标全国卷)如图48，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()图48A.B C
2、.D解析由三视图可知几何体是如图所示的两个圆柱的组合体其中左面圆柱的高为4 cm，底面半径为2 cm，右面圆柱的高为2 cm，底面半径为3 cm，则组合体的体积V1224322161834(cm3)，原毛坏体积V232654(cm3)，则所求比值为.答案C3(2015开封模拟)正四棱锥SABCD的底面边长为4，高SE8，则过点A，B，C，D，S的球的半径为()图49A3B4 C5D6解析如图所示，过A，B，C，D，S的球心为O，由OE2EC2OC2，可得(8R)242R2，解得R5，故应选C.答案C4(2014北京高考)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0
3、,2,0)，D(1,1，)，若S1，S2，S3分别是三棱锥DABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则()AS1S2S3BS2S1且S2S3CS3S1且S3S2DS3S2且S3S1解析如图所示，ABC为三棱锥在坐标平面xOy上的正投影，所以S1222.三棱锥在坐标平面yOz上的正投影与DEF(E，F分别为OA，BC的中点)全等，所以S22.三棱锥在坐标平面xOz上的正投影与DGH(G，H分别为AB，OC的中点)全等，所以S32.所以S2S3且S1S3.故选D.答案D5如图410所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为6的正方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AEBF.当
4、A1，E，F，C1共面时，平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为()图410A.BC.D解析以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易知当E(6,3,0)，F(3,6,0)时，A1，E，F、C1共面，设平面A1DE的法向量为n1(a，b，c)，依题意得可取n1(1,2,1)，同理可得平面C1DF的一个法向量为n2(2，1,1)，故平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为.故选B.答案B二、填空题6(2013湖北高考)我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸
5、，盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量是_寸(注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸)解析圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，降水量为3(寸)答案37设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题：若，m，n，则mn；若，m，n，则mn；若，m，n，则mn；若，m，n，则mn.上面命题中，所有真命题的序号为_解析对于，m，n可能是异面直线，故错；对于，两条直线m和n也可以相交或异面，故错；，正确答案8直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上若ABACAA12，BAC120，则此球的
6、表面积等于_解析设球心为O，球半径为R，ABC的外心是M，则O在底面ABC上的射影是点M，在ABC中，ABAC2，BAC120，ABC(180120)30，AM2.因此，R22225，此球的表面积等于4R220.答案20三、解答题9(2014湖北高考)如图411，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点求证：图411(1)直线BC1平面EFPQ；(2)直线AC1平面PQMN.证明(1)连结AD1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，知AD1BC1，因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FPAD1.从而BC1FP.而
7、FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直线BC1平面EFPQ.(2)如图，连结AC，BD，则ACBD.由CC1平面ABCD，BD平面ABCD，可得CC1BD.又ACCC1C，所以BD平面ACC1.而AC1平面ACC1，所以BDAC1.因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MNBD，从而MNAC1.同理可证PNAC1.又PNMNN，所以直线AC1平面PQMN.10(2014天津高考)如图412，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点图412(1)证明：BEDC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱P
8、C上一点，满足BFAC，求二面角FABP的余弦值解依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系如图，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)(1)证明：(0,1,1)，(2,0,0)，故0，所以，BEDC.(2)(1,2,0)，(1,0，2). 设n(x，y，z)为平面PBD的法向量，则即不妨令y1，可得n(2,1,1)为平面PBD的一个法向量于是有cosn，所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(3)(1,2,0)，(2，2,2)，(2,2,0)，(1,0,0)由点F在棱PC上，设，01，故 (12，22，2)由BFAC
9、，得0，因此，2(12)2(22)0，解得，即.设n1(x，y，z)为平面FAB的法向量，则即不妨令z1，可得n1(0，3,1)为平面FAB的一个法向量取平面ABP的法向量n2(0,1,0)，则cosn1，n2.易知，二面角FABP是锐角，所以其余弦值为.B级能力提升练1已知正方形ABCD的边长是4，对角线AC与BD交于O，将正方形ABCD沿对角线BD折成60的二面角，并给出下面结论：ACBD；ADCO；AOC为正三角形；cosADC.则其中的真命题是()AB CD解析如图所示，易知AOC为二面角ABDC的平面角，即AOC60，且AOOC，故AOC为正三角形，即正确；又BD平面ACO，故BDA
10、C，即正确；在ADC中，知ADDC4，ACAO2，故利用余弦定理可解得cosADC，故正确，因此选A.答案A2已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为_解析将该三棱锥放入正方体内，若球与三棱锥各棱均相切等价于球与正方体各面均相切，所以2R，R，则球的表面积为S4R242.答案23(2014安徽高考)如图413，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A底面ABCD.四边形ABCD为梯形，ADBC，且AD2BC.过A1，C，D三点的平面记为，BB1与的交点为Q.图413(1)证明：Q为BB1的中点；(2)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；(3)若AA14，CD2，梯形AB
11、CD的面积为6，求平面与底面ABCD所成二面角的大小解(1)证明因为BQAA1，BCAD，BCBQB，ADAA1A，所以平面QBC平面A1AD.从而平面A1CD与这两个平面的交线相互平行，即QCA1D.故QBC与A1AD的对应边相互平行，于是QBCA1AD.所以，即Q为BB1的中点(2)如图(1)，连结QA，QD.设AA1h，梯形ABCD的高为d，四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为V上和V下，BCa，则AD2a.VQABCDdahd，(3)如图(2)，以D为坐标原点，分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系设CDA，BCa，则AD2a.因为S梯形ABCD2sin 6，所以a.从而C(2cos ，2sin ，0)，A1，所以(2cos ，2sin ，0)，.设平面A1DC的一个法向量n(x，y,1)，由得xsin ，ycos ，所以n(sin ，cos ，1)又因为平面ABCD的一个法向量m(0,0,1)，所以cosn，m，故平面与底面ABCD所成二面角的大小为.
