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1、章末综合能力测试时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在ABC中，A45，B60，a10，则b()A5 B10C. D5解析：由正弦定理得，b10105.答案：D2某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为 km，那么x的值为()A. B2C2或 D3解析：根据余弦定理可得：()2x23223xcos(180150)，即x23x60.x2或.答案：C3在ABC中，若(aacosB)sinB(bccosC)sinA，则这个三角形是()A底角不等于45
2、的等腰三角形B锐角不等于45的直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形解析：由正弦定理得asinBbsinA.故asinBcosBcsinAcosC，sinAsinBcosBsinCsinAcosC，sin2Bsin2C.故BC或2B2C，即BC.这个三角形为直角三角形或等腰三角形答案：D4在ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sin2cos2C，且ab5，c，则ABC的面积为()A. B.C. D.解析：因为4sin2cos2C，所以21cos(AB)2cos2C1，22cosC2cos2C1，cos2CcosC0，解得cosC，故sinC.根据余弦定理有cosC，a
3、ba2b27，3aba2b22ab7(ab)2725718，ab6.所以SabsinC6.答案：A5在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bca,2sinB3sinC，则cosA的值为()A. BC. D解析：由正弦定理得到边b，c的关系，代入余弦定理的变式求解即可由2sinB3sinC及正弦定理得2b3c，即bc.又bca，ca，即a2c.由余弦定理得cosA.答案：B6ABC的三边长分别为a，b，c，且a1，B45，SABC2，则ABC的外接圆的直径为()A4 B5C5 D6解析：SABC2，acsinB2.1c2，c4.b2a2c22accosB，b212(4)2214
4、25，b5.2R，2R5，故选C.答案：C7在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若cosB，2，且SABC，则b()A4 B3C2 D1解析：依题意得c2a，b2a2c22accosBa2(2a)22a2a4a2，所以bc2a，sinB.又因为SABCacsinBb，所以b2.答案：C8设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a,3sinA5sinB，则角C()A. B.C. D.解析：由3sinA5sinB可得3a5b，又因为bc2a，所以可令a5t，b3t，c7t(t0)，可得cosC，故C.答案：B9若锐角ABC的三边a，b，c满足f(x)b2x2(b2
5、c2a2)xc2，则f(x)的图象()A与x轴相切 B在x轴上方C在x轴下方 D与x轴交于两点解析：(b2c2a2)24b2c2(2bccosA)24b2c24b2c2(cos2A1)0A，cos2A10.(b2c2a2)24b2c2ABAD，且，01，BD8.在ABD和ADC中，由余弦定理的推论，得cosBDA，cosADC.cosBDAcosADC，将已知代入化简，得22(22)(2)0，解得，故选C.答案：C12在ABC中，sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，则A的取值范围是()A. B.C. D.解析：在ABC中，由正弦定理，可得sinA，sinB，sinC(其中R为ABC
6、外接圆的半径)，由sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，可得a2b2c2bc，即b2c2a2bc，cosA，0A.答案：C二、填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分)13ABC为钝角三角形，且C为钝角，则a2b2与c2的大小关系为_解析：cosC，且C为钝角，cosC0，a2b2c20.故a2b2c2.答案：a2b2c214在ABC中，A满足sinAcosA1，AB2，BC2，则ABC的面积为_解析：由得A120.由正弦定理得，sinC.C30，B30，SABBCsinB22sin30.答案：15ABC中，B60，AC，则AB2BC的最大值为_解析：在ABC中，根据，得ABsi
7、nCsinC2sinC，同理BC2sinA.所以AB2BC2sinC4sinA2sinC4sin(120C)4sinC2cosC2sin(C).又0C120，故AB2BC的最大值为2.答案：216在锐角ABC中，若BC1，B2A，则的值等于_，AC的取值范围为_解析：由正弦定理得，即.2.ABC是锐角三角形，0A，02A，03A，解得A.由AC2cosA得AC的取值范围为(，)答案：2(，)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边长，已知b2ac，且a2c2acbc.求：(1)角A的大小
8、；(2)的值解析：(1)b2ac，且a2c2acbc，b2c2a2bc.在ABC中，由余弦定理的推论，得cosA，A60.(2)在ABC中，由正弦定理得sinB，b2ac，A60，sin60.18(本小题满分12分)f(x)sin，在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)，a2，B，求ABC的面积解析：f(x)sin，f(A)sin，sin.B，0A，2A，2A，A.由正弦定理，得b.由A，B得C，sinCsin.SabsinC2.19(本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，并且sin2.(1)试判断ABC的形状并加以证明；(2)当c1时，求A
9、BC周长的最大值解析：(1)ABC为直角三角形证明如下：证法一：由已知，可得，即cosA.又由余弦定理，得cosA.化简得c2a2b2，由此知ABC为直角三角形证法二：由证法一知bccosA，由正弦定理得sinBsinCcosA.由sinBsin(AC)，从而有sinAcosCcosAsinCsinCcosA，即sinAcosC0.因为sinA0，所以cosC0，即C，故ABC为直角三角形(2)由(1)知c为RtABC的斜边当c1时，两直角边长分别为sinA，cosA，则ABC的周长l1sinAcosA1sin.而0A，当sin1，即A时，周长l取得最大值为1.20(本小题满分12分)如图，某
10、观测站C在城A的南偏西20的方向，从城A出发有一条走向为南偏东40的公路，在C处观测到距离C处31 km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去，行驶了20 km后到达D处，测得C，D两处的距离为21 km，这时此车距离A城多少千米？解析：在BCD中，BC31，BD20，CD21，由余弦定理cosBDC，所以cosADC，sinADC，在ACD中，由条件知CD21，A60，所以sinACDsin(60ADC)，由正弦定理，所以AD15，故这时此车距离A城15千米21(本小题满分12分)设函数f(x)sin2xsin.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(2)ABC的内角A，B，C的对边
11、分别为a，b，c，c3，f，若向量m(1，sinA)与n(2，sinB)共线，求a，b的值解析：(1)f(x)sin2xsinsin2xcos2xsin2x.f(x)的最小正周期T.当2x2k，kZ，即xk，kZ时，f(x)取得最大值.(2)由f，即sinC，得sinC.m与n共线，sinB2sinA0.由，得b2a.当C为锐角时，C.c3，9a2b22abcos.由得a，b2.当C为钝角时，C，a，b.22(本小题满分12分)在四边形ABCD中，A，B为定点，C，D是动点，且AB，BCCDAD1，若BCD与BAD的面积分别为T与S.(1)求S2T2的取值范围；(2)求S2T2取最大值时，BCD的值解析：(1)如右图，设BD2x，则12x2，x1.在CDB中，过点C作CEBD于点E.CDCB1，DEBEx，CE21x2，T22x2(1x2)又S222(1cos2A)(1x2)2，S2T2x2x4(1x2)222，当x2时，S
