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1、【成才之路】2015-2016学年高中数学 第四章 定积分综合测试 北师大版选修2-2时间120分钟,满分150分一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1把区间a,b(ab)n等分后,第i个小区间是()A,B(ba),(ba)Ca,aDa(ba),a(ba)答案D2由曲线yf(x)(f(x)0),直线xa,xb(ab)与x轴所围成的曲边梯形的面积S等于()A f(x)dxB f(x)dxC. f(x)dxadx D f(x)dxbdx答案B解析由定积分的几何意义可知,S f(x)dx.3设f(x)是连续函数,且为偶函数,在对称
2、区间a,a上的积分f(x)dx,由定积分的几何意义得f(x)dx的值为()A0 B2f(x)dxC. f(x)dx Df(x)dx答案B4下列等式不成立的是()Amf(x)ng(x)dxmf(x)dxng(x)dxB.f(x)1dxf(x)dxbaC.f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dxD.sinxdxsinxdxsinxdx答案C解析由定积分的性质知选项A、B、D正确,故选C.5设物体以速度v(t)3t2t(单位v:m/s,t:s)做直线运动,则它在04 s内所走的路程s为()A70 m B72 mC75 m D80 m答案B解析所走的路程为(3t2t)dt(t3t2)|(4342)
3、072(m)6从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M(x,y),则点M取自阴影部分的概率为()A BC. D答案B解析阴影部分的面积为S(x2)dx(xx3)|,而正方形OABC的面积为1,故点M取自阴影部分的概率为.7已知等差数列an的前n项和为Sn,且S10(12x)dx,S2017,则S30等于()A15 B20C25 D30答案A解析S10(12x)dx(xx2)|12又an为等差数列,2(S20S10)S10S30S20.S303(S20S10)3(1712)15.8若S1x2dx,S2dx,S3exdx,则S1,S2,S3的大小关系为()AS1S2S3 BS2S1S3CS2S
4、3S1 DS3S22.7,S33S1S2.故选B.9若y(sintcostsint)dt,则y的最大值是()A1 B2C D0答案B解析先将sintcost化简为sin2t.ydt|cosxcos2xcos2xcosx(cosx1)22.当cosx1时,ymax2.10.|x24|dx等于()A BC. D答案C解析令f(x)|x24|x24|dx(4x2)dx(x24)dx(4xx3)|(x34x)|.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11一物体在力F(x)(单位:N)的作用下,沿与力F相同的方向从x0处运动到x4(单位:m)处,则力F(x)做的功为_J.答案46解析WF(x
5、)dx10dx(3x4)dx10x|(x24x)|46(J)12抛物线yx24x3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成的图形面积为_答案解析由y2x4,得在点A,B处切线的斜率分别为2和2.则两直线方程分别为y2x2和y2x6.由得记点C(2,2)所以SSABC(x24x3)dx222.13(2014山东省菏泽市期中)函数yx2与ykx(k0)的图象所围成的阴影部分的面积为,则k_.答案3解析由解得或由题意得,(kxx2)dx(kx2x3)|k3k3k3,k3.14设a0.若曲线y与直线xa,y0所围成封闭图形的面积为a2,则a_.答案解析本题考查了定积分求解封闭图形的面积Sdx
6、x|aa2,解得a.掌握定积分的计算方法即可15由曲线y,直线x1及x轴所围成的封闭图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为_答案解析y与x1相交于(1,1)点,则所求旋转体的体积为xdxx2|.三、解答题(本大题共6小题,共75分,前4题每题12分,20题13分,21题14分)16求下列定积分:(1) dx(a0);(2)(t2)dx.解析(1)由得dxxdx (x)dxx2|x2|a2,(2)(t2)dx(tx2x)|(2t4)(t2)t2.17一个物体做变速直线运动,速度v(m/s)与时间t(s)的关系如图所示,求该物体在s至6 s间运动的路程分析 从题图可知,物体在t0,1时做加速运动,在
7、t1,3)时做匀速运动;在3t6时也做加速运动,但加速度不同于t0,1)时,即0t6时,v(t)是一个分段函数,故应分三段求积分才能求出路程解析可知物体的速度函数为v(t)由变速直线运动的路程公式,可得:物体在s至6 s间的运动路程为m.18计算由直线y0和曲线yx26x5围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积(3.14,精确到0.01)解析由题意,所围成的平面图形如图中的阴影部分,则绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V(x26x5)2dx(x26x5)2dx(x412x346x260x25)dx(x53x4x330x225x)|107.18.19.求正弦曲线ysin x与余弦曲线ycos
8、 x在x到x之间围成的图形的面积解析如图画出ysin x与ycos x在,上的图像,它们共产生三个交点,分别为(,),(,),(,)在(,)上,cos xsin x,在(,)上,sin xcos x.20用定积分表示曲线yx2,xk,xk2及y0所围成的图形的面积,并确定k取何值时,使所围图形的面积为最小分析 画出草图,求出区间上的定积分,再求函数最值解析如图sx2dx(3k26k4)22(k1)2.当k1时,S最小21.设f(x)是二次函数,其图象过点(0,1),且在点(2,f(2)处的切线方程为2xy30.(1)求f(x)的表达式;(2)求f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积;(3)若直线xt(0t1)把f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求t的值解析(1)设f(x)ax2bxc,其图象过点(0,1),c1,又在点(2,f(2)处的切线方程为2xy30,f (x)2axb,a1,b2,故f(x)x22x1.(2)依题意,f(x)的图象与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所示,故所求面积S1(x22x1)dx(x3x2x)|.(3)依题意,有S (x22x1)dx(x3x2x)|,即t3t2t,2t36t26t10,2(t1)31,t1.