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1、【成才之路】2015-2016学年高中数学 第2章 推理与证明知能基础测试 新人教B版选修2-2时间120分钟,满分150分一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1k棱柱有f(k)个对角面,则k1棱柱的对角面个数f(k1)为()Af(k)k1Bf(k)k1Cf(k)kDf(k)k2答案A解析增加的一条侧棱与其不相邻的k2条侧棱形成k2个对角面,而过与其相邻的两条侧棱的截面原来为侧面,现在也成了一个对角面,故共增加了k1个对角面,f(k1)f(k)k1.故选A.2已知a0,b0,a、b的等差中项为,且a,b,则的最小值为()A3B
2、4C5D6答案C解析由已知得ab1,ab13325.故选C.3已知f(x)x3x(xR),a、b、cR,且ab0,bc0,ca0,则f(a)f(b)f(c)的符号为()A正B负C等于0D无法确定答案A解析f(x)3x210,f(x)在R上是增函数又ab0,ab.f(a)f(b)又f(x)x3x是奇函数,f(a)f(b),即f(a)f(b)0.同理:f(b)f(c)0,f(c)f(a)0,f(a)f(b)f(c)0,故选A.4下列代数式(其中kN*)能被9整除的是()A667kB27k1C2(27k1)D3(27k)答案D解析特值法:当k1时,显然只有3(27k)能被9整除,故选D.证明如下:当
3、k1时,已验证结论成立,假设当kn(nN*)时,命题成立,即3(27n)能被9整除,那么3(27n1)21(27n)36.3(27n)能被9整除,36能被9整除,21(27n)36能被9整除,这就是说,kn1时命题也成立故命题对任何kN*都成立5已知123332433n3n13n(nab)c对一切nN*都成立,那么a,b,c的值为()Aa,bcBabcCa0,bcD不存在这样的a、b、c答案A解析令n1,得13(ab)c,令n2,得1239(2ab)c,令n3,得12333227(3ab)c.即,a,bc.故选A.6观察下列各式:ab1,a2b23,a3b34,a4b47,a5b511,则a1
4、0b10()A28B76C123D199答案C解析法一:由ab1,a2b23得ab1,代入后三个等式中符合,则a10b10(a5b5)22a5b5123,故选C.法二:令ananbn,则a11,a23,a34,a47,得an2anan1,从而a618,a729,a847,a976,a10123,故选C.7观察下列各式:553125,5615625,5778125,则52015的末四位数字为()A3125B5625C0625D8125答案D解析553125,5615625,5778125,58末四位数字为0625,59末四位数字为3125,510末四位数字为5625,511末四位数字为8125,
5、512末四位数字为0625,由上可得末四位数字周期为4,呈规律性交替出现,52015545027末四位数字为8125.8.已知函数f(x)满足f(0)0,导函数f (x)的图象如图所示,则f(x)的图象与x轴围成的封闭图形的面积为()A.BC2D答案B解析由f (x)的图象知,f (x)2x2,设f(x)x22xc,由f(0)0知,c0,f(x)x22x,由x22x0得x0或2.故所求面积S(x22x)dx.9平面上有n个圆,其中每两个都相交于两点,每三个都无公共点,它们将平面分成f(n)块区域,有f(1)2,f(2)4,f(3)8,则f(n)的表达式为()A2nBn2n2C2n(n1)(n2
6、)(n3)Dn35n210n4答案B解析四个选项的前三项是相同的,但第四项f(4)14(如图)就只有B符合,从而否定A,C,D,选B,一般地,可用数学归纳法证明f(n)n2n2.故选B.10已知等比数列an,其前n项和为Snk,则Sk1与Sk的递推关系不满足()ASk1SkBSk11SkCSk1Skak1DSk13Sk3akak1答案A解析Sk1a1a2akak1Skak1.C真Sk1111Sk.B真3Sk3313akak13Sk1akak1.D真事实上,Sk1Skak1Sk.A不真故选A.11下列结论正确的是()A当x0且x1时,lgx2B当x0时,2C当x2时,x的最小值为2D当00),观
7、察:f1(x)f(x),f2(x)f(f1(x),f3(x)f(f2(x),f4(x)f(f3(x),根据以上事实,由归纳推理可得:当nN*且n2时,fn(x)f(fn1(x)_.答案解析观察f1(x)、f2(x)、f3(x)、f4(x)的表达式可见,fn(x)的分子为x,分母中x的系数比常数项小1,常数项依次为2,4,8,162n.故fn(x).14在平面上,我们用一直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,按如图所标边长,由勾股定理有c2a2b2.设想正方形换成正方体,把截线换成如图截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN,如果用S1、S2、S3表示三个侧面面积,S
8、表示截面面积,那么类比得到的结论是_答案S2SSS解析类比如下:正方形正方体;截下直角三角形截下三侧面两两垂直的三棱锥;直角三角形斜边平方三棱锥底面面积的平方;直角三角形两直角边平方和三棱锥三个侧面面积的平方和,结论S2SSS.证明如下:如图,作OE平面LMN,垂足为E,连接LE并延长交MN于F,LOOM,LOON,LO平面MON,MN平面MON,LOMN,OEMN,MN平面OFL,SOMNMNOF,SMNEMNFE,SMNLMNLF,OF2FEFL,S(MNOF)2(MNFE)(MNFL)SMNESMNL,同理SSMLESMNL,SSNLESMNL,SSS(SMNESMLESNLE)SMNL
9、S,即SSSS2.15对于大于1的自然数m的n次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”,仿此,记53的“分裂”中的最小数为a,而52的“分裂”中最大的数是b,则ab_.答案30解析类比规律a21,b9故ab30.16观察下列等式:1,1,1,由以上等式推测到一个一般的结论:对于nN*,_.答案1解析由已知中的等式:11,1,1,所以对于nN*,1.三、解答题(本大题共6个小题,共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分12分)已知a、b、c是互不相等的非零实数用反证法证明三个方程ax22bxc0,bx22cxa0,cx22axb0至少有一个方程有两个相异实根证明假设三个方程中都没
10、有两个相异实根,则14b24ac0,24c24ab0,34a24bc0.相加有a22abb2b22bcc2c22aca20,即(ab)2(bc)2(ca)20.由题意a、b、c互不相等,式不能成立假设不成立,即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根18(本题满分12分)在圆x2y2r2(r0)中,AB为直径,C为圆上异于A、B的任意一点,则有kACkBC1.你能用类比的方法得出椭圆1(ab0)中有什么样的结论?并加以证明解析类比得到的结论是:在椭圆1(ab0)中,A、B分别是椭圆长轴的左右端点,点C(x,y)是椭圆上不同于A、B的任意一点,则kACkBC证明如下:设A(x0,y0)为椭圆上的任意一点,则A关于中心的对称点B的坐标为B(x0,y0),点P(x,y)为椭圆上异于A,B两点的任意一点,则kAPkBP.由于A、B、P三点在椭圆上,两式相减得,0,即kAPkBP.故在椭圆1(ab0)中,长轴两个端点为A、B、P为异于A、B的椭圆上的任意一点,则有kABkBP.19(本题满分12分)已知a、bR,求证:.证明设f(x),x0,)设x1、x2是0,)上的任意两个实数,且0x1x10,所以f(x2)f(x1)所以f(x)在0,)上是增函数(大前提)由|a|b|ab|0(小前提)知f(|a|b|)f(|ab|)即成立20(本题满分12分)设a,bR,且ab,求证:a3b3a2