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1、(二)数列 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.比如-1，1，-1，1，-1，1，. 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第n 项，.数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第n项下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式），比如下面的一个数列.每一项
2、与这一项的序号有这样的对应关系：项 序号 1 2 3 4 5这个数的每一项与这一项的序号可用一个公式：来表示其对应关系即：只要依次用1，2，3代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项 数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列1，1.4，1.41，1.414，一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，它的通项公式可以是，也可以是.数列通项公式的作用：求数列中任意一项；检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数
3、列中所有各项的一般表示通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项5.数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集1，2，3，n）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)，f(n)，6数列的分类：1）根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是无穷数列2）根
4、据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。常数数列：各项相等的数列。摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列数列的表示方法通项公式法 递推公式法 列表法通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系. 如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89递推公式为：5数列的前n项和：数列中，称为数列的前n项和，记为. 由的定义可知，当n=1时，=；当n2时，=-，即=.说明：数列的前n项和公式也是给出数列的一种方法.1等差数列的定义：
5、 =d ，（n2，nN）2等差数列的通项公式： (或=pn+q (p、q是常数)3几种计算公差d的方法： d= d= d=4等差中项：成等差数列5等差数列的性质： m+n=p+q (m, n, p, q N )等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数就叫做等差数列的公差，常用字母d表示。数学语言： 或 1) 所以：由以上关系还可得： 即：则： =即得等差数列的第二通项公式：等差中项:由三个数，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为与的等差中项若，则称为与的等差中项通项公式的应用：观察通项公式并提出问题：要求等差
6、数列的通项公式只需要求谁？再追问：通项公式中有几个未知量？再追问：要求其中的一个，需要知道其余的几个？例1、等差数列中，已知： 求已知： 求已知： 求已知： 求例2、1、求等差数列8、5、2 的第20项 解：由 得： 2、是不是等差数列、 的项？如果是，是第几项？ 解：由 得 由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得：成立 解得：即是这个数列的第100项例3：数列是等差数列吗？已知数列的通项公式，其中、为常数，这个数列是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？引申：已知数列的通项公式，其中、为常数，这个数列是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？解：取数列中任意两项和 它是一个与n无关的
7、常数，所以是等差数列？ 并且： 我们能否总结一下，到目前为至我们有哪些方法来判断一个数列是等差数列？一是利用定义： 或 1)二是利用通项公式：是关于的一次函数或常数函数。等差数列的常见性质：若数列为等差数列，且公差为，则此数列具有以下性质：；若（），则；。等差数列的其它性质：为有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即。下标成等差数列且公差为的项组成公差为的等差数列。若数列和均为等差数列，则（为非零常数）也为等差数列。个等差数列，它们的各对应项之和构成一个新的等差数列，且公差为原来个等差数列的公差之和。例1、已知是等差数列，,求数列的公差及通项公式。Key ：d=
8、2，an=2n+1【变式】已知是等差数列，（1）已知：,求（2）已知： ,求。Key（1）=24（2）=185例2、已知是等差数列，若,求。Key：=180【变式1】在等差数列中，已知则等于 （ B ）A. 40B. 42C. 43D. 45变式2】等差数列中，已知为（ C ）A. 48 B. 49 C. 50 D. 51【变式3】已知等差数列中，则的值为 （ A ）A15 B30C31 D646数列的前n项和：数列中，称为数列的前n项和，记.等差数列的前项和公式1：证明： +： 由此得：2 等差数列的前项和公式2：此公式要求必须已知三个条件： （有时比较有用）总之：两个公式都表明要求必须已知
9、中三个公式二又可化成式子：，当d0，是一个常数项为零的二次式例1 等差数列-10，-6，-2，2，前多少项的和是54？解：设题中的等差数列为，前n项为则 由公式可得解之得：（舍去）等差数列-10，-6，-2，2前9项的和是54.例2一凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是10,最小内角为100,求边数n. 解：由(n2)180100n10，求得n17n720, n8或n9, 当n9时, 最大内角100(91)10180不合题意，舍去， n8. 例3在等差数列中，已知，求前20项之和分析：本题可以用等差数列的通项公式和求和公式求，求解；也可以用等差数列的性质求解解：法一由.由法二由，而，所以，所
10、以小结：在解决等差数列有关问题时，要熟练运用等差数列的一些性质在本题的第二种解法中，利用这一性质，简化了计算，是解决这类问题的常用方法例1.已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220， 求其前项和的公式. 解：由题设： 得： ： 易得： 探究 1. 之间的关系例2. 已知数列是等差数列，是其前n项和，求证：，-，-成等差数列； （）成等差数列证明：设首项是，公差为d则 是以36d为公差的等差数列同理可得是以d为公差的等差数列.例3. 已知数列的前n项和为，求这个数列的通项公式.解：根据 与 , (n1) 得： 当n1时， 当n=1 时， 也满足式所以数列的通项公式为：例4.
11、 已知等差数列 的前 n项和，求使得最大的序号n的值.解：由题意得，等差数列的公差为，所以 于是，当n取与最接近的整数即7或8时，取最大值。 例 5. 在数列中，已知， (nN*)，那么使其前n项和Sn取得最大值的n值等于 解：依题意知，0 .0,0，d0，前n项和有最大值可由0，且0，求得n的值当0，前n项和有最小值可由0，且0，求得n的值利用：由利用二次函数配方法求得最值时n的值.课时小结1. 表示, 2差数列前项和的最值问题有两种方法:(1)当0，d0，前n项和有最大值可由0，且0，求得n的值。当0，前n项和有最小值可由0，且0，求得n的值。(2)由利用二次函数配方法求得最值时n的值3.
12、 是以d为公差的等差数列.课堂练习已知等差数列的前n项和为a，前2n项和为b，求前3n项和。2.已知数列的前n项和为，求这个数列的通项公式.3. 等差数列中, 15, 公差d3, 求数列的前n项和的最小值.4. 等差数列的第10项为23，第25项为22，求此数列 (1)第几项开始为负？(2)前10项的和？ (3)从首项到第几项之和开始为负？5. 在等差数列中，已知a1=25, S9= S17，问数列前多少项和最大，并求出最大值。三、课后练习与提高2、已知，则的等差中项为（ ）A B C D3、2000是等差数列4，6，8的（ ）A第998项 B第999项 C第1001项 D第1000项4、在等
13、差数列40，37，34，中第一个负数项是（ ）A第13项 B第14项 C第15项 D第16项5、在等差数列中，已知则等于（ ）A 10 B 42 C43 D456、等差数列-3，1， 5的第15项的值为 7、等差数列中，且从第10项开始每项都大于1，则此等差数列公差d的取值范围是 8、在等差数列中，已知，求首项与公差d9、在公差不为零的等差数列中，为方程的跟，求的通项公式。10、数列满足，设判断数列是等差数列吗？试证明。求数列的通项公式11、数列满足，问是否存在适当的 ，使是等差数列？（2）， 注：有学生在解本题第二问的时候，通过已知条件写出数列的前几项，然后猜想通项公式，由于猜想的公式需要证明，所以这种解法在现阶
