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1、第十三讲 三角形的等积变形我们已经掌握了三角形面积的计算公式：三角形面积=底高2这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化比如当高变为原来角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系为便于实
2、际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：等底等高的两个三角形面积相等底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍，它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等同时也可以知道ABC的面积是ABD或AEC面积的3倍例如在右图中，ABC与DBC的底相同（它们的底都是BC），它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等例如右图中，ABC与DBC的底相
3、同（它们的底都是BC），ABC的高是DBC高的2倍（D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE），则ABC的面积是DBC面积的2倍上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据例1 用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即ABD与ADC等积然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF以而得到四个等积三角形，即ADF、BDF、DCE、ADE等积例2 用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及134方法 1：如下左图，将BC边八等分，取134的分点D、E，连结AD、AE，从而得到ABD
4、、ADE、AEC的面积比为134DE，从而得到三个三角形：ADE、BDE、ACD其面积比为134当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决例3 如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：AOB与COD面积相等证明：ABC与DBC等底等高，SABC=SDBC又 SAOB=SABCSBOC SDOC=SDBCSBOCSAOB=SCOD例4 如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形分析 本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，把顶点A移到CB的延长线上的A处，ABD与ABD面积相等，从而A
5、DC面积与原四边形ABCD面积也相等这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形ADC问题是A位置的选择是依据三角形等积变形原则过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A点解：连结BD；过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A连结AD，则ACD与四边形ABCD等积例5 如右图，已知在ABC中，BE=3AE，CD=2AD若ADE的面积为1平方厘米求三角形ABC的面积解法1：连结BD，在ABD中 BE=3AE， SABD=4SADE=4（平方厘米）在ABC中，CD=2AD， SABC=3SABD=34=12（平方厘米）解法2：连结CE，如右图所示，在ACE中， CD=2AD， SACE=3SADE
6、=3（平方厘米）在ABC中，BE=3AE SABC=4SACE=43=12（平方厘米）例6 如下页图，在ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=解：连结BG，在ABG中， SADG+SBDE+SCFG例7 如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果ADE的面积为4平方厘米求三角形CDF的面积解：连结AF、CE，SADE=SACE；SCDF=SACF；又AC与EF平行，SACE=SACF； SADE=SCDF=4（平方厘米）例8 如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH求四边形EFGH的面积解：连结BD，将四边形ABCD分成两个部分S1与S2连结FD，有SFBD=SDBC=S1 所以SCGF=SDFC=2S1同理 SAEH=2S2，因此SAEH+SCGF=2S1+2S2=2（S1+S2）=21=2同理，连结AC之后，可求出SHGD+SEBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5（平方单位）例9 如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若SADE=1，求BEF的面积解：连结AC，AB/CD，SADE=SACE又AD/BC，SACF=SABF而 SACF=SACE+SAEFSABF=SBEF+SAEF SACE=SBEF SBEF=SADE=1
