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1、.例1如图所示，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30、60，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小思路点拨解决本题的关键是把力的问题转化为向量问题解决，注意力的合成可以用平行四边形法则，也可用三角形法则精解详析如图，作平行四边形OACB，使AOC30，BOC60.在OAC中，ACOBOC60，OAC90.|cos 30300150(N)，|sin 30300150(N)故与铅垂线成30角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60角的绳子的拉力是150 N.一点通在解决力的合成与力的分解问题时，一般是通过作出受力分析图结合力的平衡原理，再辅之
2、以向量加法的平行四边形法则使问题获得简捷、有效的解决因此，在运用向量解决物理问题时，一定要把数学知识和物理的实际情况有机结合起来，这是有效解决此类问题的根本方法1一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态已知F1，F2成60角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为_解析：由已知得F1F2F30，F3(F1F2)FFF2F1F2FF2|F1|F2|cos 6028.|F3|2.答案：22在水流速度为4 km/h的河中，一艘船以12 km/h的实际速度垂直对岸行驶，求这艘船在静水中航行速度的大小与方向解：如图，设表示水流速度，表示船行驶的实际速度，以为一边
3、，为一对角线作平行四边形ABCD，则就是船在静水中的航行速度|4.|12，|8，tanACB，CADACB30，BAD120.故船在静水中的航行速度大小为8 km/h，与水流方向夹角为120. 例2如图，在等腰直角ABC中，角C是直角，CACB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE2EB，求证：ADCE.思路点拨欲证ADCE，即证0.由于已有0，故考虑选此两向量为基底，从而应用此已知条件另外，如果进一步考虑到此组基底是垂直关系，还可以建立直角坐标系精解详析法一：记a，b，则ba，且ab0，|a|b|.因为ba，(ba)aba，所以b2a20.可得ADCE.法二：建立如图所示的直角坐标系，不
4、妨设ACBC2，则C(0,0)，A(2,0)，B(0,2)，因为D是CB的中点，则D(0,1)所以(2,1)，(2,2)又(2,0)(2,2)，所以(2,1)(2)0，因此ADCE.一点通(1)证明直线平行，可用平行向量定理；证明直线垂直，可用数量积运算；(2)用向量法证明几何问题，需要选取恰当的基底，进而将其他向量用基底正确表示；如果能够建系，则可用向量的坐标法，借助代数运算达到证明的目的3点O是ABC所在平面内一点，满足，则点O是ABC的三条_的交点解析：由得()0，即0，所以.同理，.所以O为三条高的交点答案：高4.已知：如图，AD，BE，CF是ABC的三条高，且相交于点O，若DGBE于
5、G，DHCF于H，求证：GHEF.证明：设 (0)，同理，则，().，又，没有公共点，GHEF. 例3已知点P(3,0)，点A在y轴上，点Q在x轴上的正半轴上，点M在直线AQ上，满足0，当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程思路点拨先设出动点坐标即M(x，y)，再结合已知条件用动点坐标与已知点坐标表示，找出坐标间的关系，从而求出动点的轨迹方程精解详析设点M(x，y)为轨迹上的任意一点，设A(0，b)，Q(a,0)(a0)，则(x，yb)，(ax，y)，(x，yb)(ax，y)，a，b，则A，Q，.0，0.3xy20，所求轨迹方程为y24x(x0)一点通(1)正确写出点的坐标，并由已知条件转化
6、为向量坐标是解题的关键(2)要掌握向量的常用知识：共线；垂直；模；夹角；向量相等则对应坐标相等5过点M(2,3)且平行于向量a(2,3)的直线方程为_解析：设P(x，y)是所求直线上的任意一点(M除外)，则(x2，y3)该直线平行于向量a(2,3)，2(y3)3(x2)即3x2y0.又点M(2,3)在直线3x2y0上，故所求直线方程为3x2y0.答案：3x2y06已知圆C：(x3)2(y3)24及点A(1,1)，M是圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且2，求点N的轨迹方程解：设M(x0，y0)，N(x，y)，由2得(1x0,1y0)2(x1，y1)代入方程：(x03)2(y03)24
7、，得x2y21.点N的轨迹方程为x2y21.1向量法解决物理问题的步骤(1)抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；(2)建立以向量为主体的数学模型；(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；(4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题2利用向量研究平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量之间的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系3向量在解析几何中的应用利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、夹角、距离等问题均可用向量表示或用向量解决，要先将线
8、段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算通过坐标运算将问题解决对于直线l：AxByC0，则向量a(A，B)即为直线l的法向量，b(1，k)或c(B，A)为直线l的方向向量两直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yc20是否垂直，均可由向量解决由于n1(A1，B1)，n2(A2，B2)，则n1n20n1n2l1l2.课下能力提升(二十二)一、填空题1已知ABC中，a，b，若ab0，则ABC的形状为_解析：由ab90，故为钝角三角形答案：钝角三角形2过点A(2,3)且垂直于向量a(2,1)的直线方程为_解析：设P(x，y)是所求直线上的任意一点(A点除外)，则a，a0.又(x2，y3)2(
9、x2)(y3)0，即2xy70.又点A(2,3)在直线2xy70上，所求直线方程为2xy70.答案：2xy703作用于原点的两个力F1(1,1)，F2(2,3)，为使它们平衡，需要加力F3_.解析：要使它们平衡，则合力大小为0，F1F2F30，设F3(x，y)，则解得故F3(3，4)答案：(3，4)4当两人提起重量为|G|的旅行包时，两人用力都为|F|，夹角为，若|F|G|，则的值为_解析：作F1，F2，G，则，当|F1|F2|G|时，OAC为正三角形，AOC60，从而AOB120.答案：1205已知直线axbyc0与圆x2y21相交于A、B两点，且|AB|，则_.解析：如图，取D为AB的中点
10、，OA1，AB，AOD.AOB.11cos.答案：二、解答题6.如图，在平行四边形ABCD中，已知AD1，AB2，对角线BD2，求对角线AC的长解：设a，b，则ab，ab，由已知|a|1，|b|2，|ab|2.则(ab)2|ab|24，即a22abb24，则12ab44，所以ab.所以|ab|2(ab)2a22abb21246，即|ab|.故|，即对角线AC的长为.7在直角三角形ABC中，AB4，AC3，A90，CD是直角三角形ABC的角平分线，求CD的长解：以A为原点，AB所在的直线为x轴，AC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，C(0,3)，则(0，3)，(
11、4，3)，|3，|5.设D(x,0)，则(x，3)，又CD是直角三角形ABC的角平分线，解得，故 ，CD的长为.8某人骑车以每小时a公里的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2a公里/小时时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向解：设a表示此人以每小时a公里的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为a.设实际风速为v，那么此人感到的风速为va，如图所示，设a，2a，va，这就是感到由正北方向吹来的风速，v2a，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是.由题意：PBO45，PABO，BAAO，从而POB为等腰直角三角形，POPBa，即|v|a，实际为风速是a的西北风.
