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1、向量方法部分,空间 向量,空间 向量 的运 算,空间 向量 基本 定理,空间 向量 的坐 标运 算,加减 和数 乘运 算,共线 向量 共面 向量,空间 向量 的数 量积,知识结构,夹角和距离 平行和垂直,1、空间直角坐标系,以单位正方体 的顶点O为原点,分别以射线OA,OC, 的方向 为正方向,以线段OA,OC, 的长为单位长,建立三条数轴:x轴,y轴,z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系,B,O为坐标原点, x轴,y轴,z轴叫坐标轴,通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面,一、基本概念,右手直角坐标系,横轴,纵轴,竖轴,2、空间直角坐标系中点的坐标,有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐
2、标系中的坐标,记作M(x,y,z)其中x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标, z叫做点M的竖坐标,如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面,称这个向量垂直于平面,记作n,这时向量n叫做平面的法向量.,4、平面的法向量,3、直线的方向向量,1、假设平面法向量的坐标为n=(x,y,z). 2、根据na = 0且nb = 0可列出方程组,3、取某一个变量为常数(当然取得越简单越好), 便得到平面法向量n的坐标.,5、平面法向量的求法,设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若na且nb,则n.换句话说,若na = 0且
3、nb = 0,则n.可按如下步骤求出平面的法向量的坐标,例、已知A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1).求平面ABC的法向量,解:平面ABC的法向量为:,例、在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.,解:以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz(如图), 则O(1,1,0),A1(0,0,2),D1(0,2,2), 设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z), 由 =(-1,-1,2), =(-1,1,2)得,解得,取z =1得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1),5、两法向量所成的角与二面角的关系,设n1
4、、n2分别是二面角两个半平面、的法向量,由几何知识可知,二面角-L-的大小与法向量n1 、n2夹角相等或互补,于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角.,二、基本公式:,1、两点间的距离公式(线段的长度),2、向量的长度公式(向量的模),3、向量的坐标运算公式,4、两个向量平行的条件,5、两个向量垂直的条件,或,7、重心坐标公式,6、中点坐标公式,9、直线与平面所成角公式,8、直线与直线所成角公式,10、平面与平面所成角公式,( 为二面角两个半平面的法向量),11、点到平面的距离公式,(PM为平面 的斜线, 为平面 的法向量),12、异面直线的距离公式,(A,B为异面直线上两点, 为公
5、垂线的方向向量),利用向量求角,直线与直线所成的角,直线与平面所成的角,平面与平面所成的角(二面角),利用向量求距离,点到直线的距离,点到平面的距离,直线到平面的距离,平行到平面的距离,直线到直线的距离,三、基本应用,利用向量证平行,利用向量证垂直,直线与直线垂直,直线与平面垂直,平面与平面垂直,直线与直线平行,直线与平面平行,平面与平面平行,四、基本方法,1、平行问题,、垂直问题,、角度问题,、距离问题,()点到点的距离、点到平面的距离、直线到直线的距离直接用公式求解。,()点到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离转化为点到平面的距离求解。,例:,五、典型例题,所以:,解:以点C
6、为坐标原点建立空间 直角坐标系 如图所示, 不妨设 则,C,所以 与 所成角的余弦值为,N,解:如图建立坐标系A-xyz,则,N,又,例.在正方体AC1中,E为DD1的中点,求证:DB1/面A1C1E,E,F,E,X,Y,Z,或先求平面BDE的法向量 再证明,设平面,X,Y,Z,例:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:面A1BD面CB1D1,或先求两平面的法向量 再证明,例、在正方体AC1中,E、F分别是BB1、CD的中点, 求证:面AED面A1FD1,A,B,C,D,A1,B1,C1,D1,E,F,或证明两平面的法向量垂直,练习,练习,练习,练习,练习,A,B,C,C1,取x=1,z则y=-1,z=1,所以,E,A1,B1,A,B,C,D,E,F,G,X,Y,Z,练习,练习,练习,练习,已知正方形ABCD的边长为1,PD 平面ABCD,且PD=1,E、F分别为AB、BC的中点。 求证:PE AF; 求点D到平面PEF的距离; 求直线AC到平面PEF的距离; 求直线PA与EF的距离; 求直线PA与EF所成的角; 求PA与平面PEF所成的角; 求二面角A-PE-F的大小。,练习,