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1、广西桂林市第十八中学2015届高三上学期第一次月考数学(理)试题【试卷综析】本试卷是高三第一次月考理工类数学试卷,考虑到学生的复习进度和知识水平,故一般题目的难度不算太大,但也有难度较大的题目,如第11,12,21,22题。命题模式与高考保持一致,考查了高考考纲上的诸多热点问题,突出考查考纲要求的基本能力,知识考查注重基础、注重常规,也有综合性较强的问题。试题重点考查:函数、三角函数、数列、立体几何、统计与概率、解析几何、不等式、向量等,涉及到的基本数学思想有函数与方程、转化与化归、分类讨论,数形结合等。试卷比较适合刚刚升入高三的学生使用。一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分,
2、在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)【知识点】集合的运算 A1【答案解析】C 解析:全集,而,所以,所以,故选:C【思路点拨】把全集用列举法表示出来,根据补集的性质求出集合B,再根据交集的定义求即可。【题文】2.已知复数,且为实数,则 A.3B. 2C. D. 【知识点】复数的分类及运算 L4【答案解析】C 解析: ,因为为实数,所以,即,又,所以,故选:C【知识点】函数的奇偶性和单调性;基本初等函数 B3,B4,B6,B7,B8【答案解析】B 解析:函数和是非奇非偶函数,所以A,C错误;函数在和是增函数,但在整个定义域内不是增函数,所以C错误,故选:B【思路点拨】只要对指数
3、函数、对数函数和幂函数的性质掌握清楚,就不难得出正确答案。【题文】4.执行如图所示程序框图,若输出的结果为3,则可输入的实数的个数为A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【知识点】程序框图,对数的运算 L1 B7【答案解析】C 解析:根据题意,该框图的含义是:当时,得到函数;当,得到函数。因此,若输出的结果为3时,若,得,得,经检验符合条件;若,得,得,或,经检验符合条件,所以可输入的实数可能是,共3个,故选:C【思路点拨】根据题中程序框图的含义,得到分段函数,解关于的方程,代入检验,即可得到可输入的实数x值的个数。【知识点】对数的运算性质;对数函数的性质 B7【答案解析】D 解析:根据对数的
4、运算性质可得:,又是定义域内的增函数,而,所以,故选:D【思路点拨】根据对数的运算性质将所给不同底的对数化成同底的对数,再根据对数函数的单调性即可比较出三者的大小。【知识点】充分、必要条件 A2【答案解析】C 解析:把函数的图像向右平移一个单位,即可得到函数的图像,若是偶函数,即的图像关于直线对称,则函数的图像关于直线对称,所以是的充分条件;反之,把函数的图像向左平移一个单位,即可得到函数的图像,若函数关于直线对称,则函数的图像关于直线对称,即是偶函数,所以是的必要条件,故选:C【思路点拨】由函数和图像之间的关系,可得到可以推导出,也可推导出,所以是的充要条件。【题文】7.一个几何体的三视图如
5、图所示,则该几何体的体积为A. 64 B. 72 C. 80 D.112【知识点】根据三视图求几何体的体积、表面积 G2【答案解析】C 解析:根据三视图,可得此几何体上部是一个四棱锥,其底面是一个边长为4的正方形,一个侧面与底面垂直,高为3,下部是一个正方体,棱长为4,所以此几何体的体积为:,故选: C【思路点拨】右三视图可判断几何体是上部为四棱锥,下部为正方体的组合体,分别计算上下两部分的体积,相加即可得结果。【知识点】全称命题和特称命题及其否定 A3【答案解析】B 解析:命题是全称命题,其否定是特称命题,所以A,C错误,而选项D把的范围也进行了否定,显然错误,故选:B【思路点拨】熟练掌握全
6、称命题和特称命题的否定的形式即可得到正确选项。【题文】9.函数的零点的个数为A 1 B 2 C 3 D 4【知识点】函数的零点;基本初等函数 B9 B10 【答案解析】C 解析:由,得,即,设,在同一个坐标系内画出作出两个函数的图像如图:由图像可知,两个函数图像的交点有3个,即函数的零点有3个,故选:C【思路点拨】把函数的零点转化成两个简单函数的交点,在同一个坐标系内作出两个函数的图像,根据图像,结合函数的性质得出两个图像交点的个数,就是的零点的个数。【题文】【知识点】函数的奇偶性,指数函数的图像 B4,B6【答案解析】B 解析:因为函数是定义在R上的奇函数,所以,所以当时,其图像可以由指数函
7、数的图像向下平移一个单位而得到,如选项A,B的右半部分,又是奇函数,图像关于原点对称,选项B复合这个条件,故选:B【思路点拨】根据函数是定义在R上的奇函数可得出,据此求出未知量的值,则时的解析式就确定了,由函数图像的平移变换得到这部分的图像,再根据的图像关于原点对称即可得到另一部分的图像。【题文】11.已知两条直线和,与函数的图像从左至右相交于点,与函数的图像从左至右相交于点.记线段和在轴上的投影长度分别为.当变化时,的最小值为A.B.C. D. 【知识点】对数函数的图像和性质;基本不等式 B7 E6【答案解析】C 解析:故选:C【思路点拨】设出点的横坐标,并由题意求出来,计算,表示出并化简,
8、利用基本不等式求出其最小值即可。【知识点】导数的计算;导数的应用;微积分基本定理 B11 B12 B13【答案解析】D 解析:故选:D【思路点拨】先利用导数的运算法则,确定的解析式,再构造新函数,确定函数的单调性,求出的最小值,可得出的单调性,即可求得结论二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)【题文】【知识点】简单的线性规划 E5【答案解析】22 解析:作出不等式组表示的平面区域如图:由,得,表示斜率为-3,在y轴上的截距为z+5的一组直线,平移直线,当它经过可行域内的点A时,对应直线的截距最大,此时z也最大,由,得,此时,故答案为:22【思路点拨】作出不等式
9、组表示的平面区域,将转化为,利用z的几何意义,平移直线即可得到结论。【题文】【知识点】等比数列的及其前n项和;定积分的计算 D3 B13【答案解析】 解析:,化简得:,解之得:或,经检验均符合题意,故答案为:1或【思路点拨】利用微积分基本定理可计算出,由等比数列的定义可知,代入中,列出一个关于公比的一元二次方程,解方程即可得,最好再检验一下,防止有不符合条件的答案。【知识点】向量的运算;三角恒等变换 F3 C2 【答案解析】-1 解析:,即,化简得:,代入中并化简得:,解之得:,故答案为:-1 【思路点拨】两向量垂直,则数量积等于0,据此得出的关系,再联系同角三角函数的基本关系,求出,进而可求
10、出。【题文】16.已知函数定义在上,对任意的, 已知,则 【知识点】抽象函数及其应用;函数的函数值 B1【答案解析】1 解析:根据题意:, ,而,则,故答案为:1【思路点拨】根据已知可把求转化成求,再把转化成,而已知,代入即可。三.解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)【题文】17. 在ABC中,已知.(1)求角的大小;(2)若,求的取值范围.【知识点】两角和与差的正余弦公式;同角三角函数基本关系与诱导公式;正余弦定理 C5 C2 C8【答案解析】解:(1)由已知的得即,因为,所以,又,所以,又,所以5分(2)由余弦定理,有,因为所以,又因为,所以,即.【思
11、路点拨】(1)在三角形中,,将其代入已知中,利用诱导公式和和角公式化简,结合同角三角函数基本关系式,可求出的值,再根据角的范围确定角B;(2)在(1)中已经求出角B,又已知,显然需要用余弦定理将边表示出来,得,再根据a的范围确定的取值范围。【题文】18(12分). 数列满足 (1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.【知识点】等差数列的判断;等差数列的通项公式;特殊数列的求和 D2 D4【答案解析】解 (1) ,即是首项为,公差为1的等差数列,即 【思路点拨】(1)取数列的倒数,得到数列,可判断出数列是等差数列,根据等差数列的通项公式,求出,进而求出;(2)把代入,可判断出数列是一个等差数
12、列和一个公比为2的等比数列对应项相乘而成的新数列,其前项和可用错位相减法来求。【题文】19.(12分)2013年第三季度,国家电网决定对城镇居民民用电计费标准做出调整,并根据用电情况将居民分为三类 第一类的用电区间在,第二类在,第三类在(单位:千瓦时). 某小区共有1000户居民,现对他们的用电情况进行调查,得到频率分布直方图如图所示. 求该小区居民用电量的平均数; 利用分层抽样的方法从该小区内选出10位居民代表,若从该10户居民代表中任选两户居民,求这两户居民用电资费属于不同类型的概率; 若该小区长期保持着这一用电消耗水平,电力部门为鼓励其节约用电,连续10个月,每个月从该小区居民中随机抽取
13、1户,若取到的是第一类居民,则发放礼品一份,设为获奖户数,求的数学期望与方差.【知识点】频率分布直方图;分层抽样方法;古典概型及其概率计算公式;随机变量的均值与方差 I1 I2 J2 K2 K8【答案解析】解:(1) 平均数为: (2) 由频率分布直方图可知,采用分层抽样抽取10户居民,其中8户为第一类用户,2户为第二类用户,则从该10户居民中抽取2户居民且这两户居民用电资费不属于同一类型的概率为(3) 由题可知,该小区内第一类用电户占80%,则每月从该小区内随机抽取1户居民,是第一类居民的概率为0.8,则连续10个月抽取,获奖人数的数学期望,方差【思路点拨】(1)由频率分布直方图估计样本数据
14、的中位数,平均数,规律是:中位数,出现在概率是0.5的地方,平均数为每个矩形的面积与底边中点乘积之和(2)计算利用分层抽样方法,从中取5人,分别抽取的一类、二类人数;再计算从5人中取2人的总取法种数和这两户居民用电资费属于不同类的取法种数,代入古典概型概率公式计算即可;(3)连续10个月,每个月从该小区居民中随机抽取1户,可看做做了10次独立重复试验,其成功概率就是抽到第一类居民的概率,为0.8,代入均值和方差的公式中计算即可。【题文】20(12分).如图,四棱锥中,底面是矩形,底面,点是的中点,点在边上移动.(1)点为的中点时,试判断与平面的位置关系,并说明由;(2)求证无论点E在BC边的何处,都有;(3)当为何值时,与平面所成角的大小为【知识点】线面平行的判定;空间中的垂直关系;线面角的计算 G4 G5 G11【答案解析】解:(1)当点E为BC的中点时,EF与平面PAC平行在PBC中,E、F分别为BC、PB的中点,EFPC.又EF平面PAC,而PC平面PAC,EF平面PAC. (2)证明:建立如图所示空间直角坐标系,则P(0,0,1),B(0,1,0),F(0,), D(,0,0),设BEx(0x