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1、广西桂林市第十八中学2015届高三上学期第一次月考数学（理）试题【试卷综析】本试卷是高三第一次月考理工类数学试卷，考虑到学生的复习进度和知识水平，故一般题目的难度不算太大，但也有难度较大的题目，如第11,12,21,22题。命题模式与高考保持一致，考查了高考考纲上的诸多热点问题，突出考查考纲要求的基本能力，知识考查注重基础、注重常规，也有综合性较强的问题。试题重点考查：函数、三角函数、数列、立体几何、统计与概率、解析几何、不等式、向量等，涉及到的基本数学思想有函数与方程、转化与化归、分类讨论，数形结合等。试卷比较适合刚刚升入高三的学生使用。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，
2、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）【知识点】集合的运算 A1【答案解析】C 解析：全集，而，所以，所以，故选：C【思路点拨】把全集用列举法表示出来，根据补集的性质求出集合B，再根据交集的定义求即可。【题文】2.已知复数，且为实数，则 A.3B. 2C. D. 【知识点】复数的分类及运算 L4【答案解析】C 解析： ，因为为实数，所以，即，又，所以，故选：C【知识点】函数的奇偶性和单调性；基本初等函数 B3，B4，B6，B7，B8【答案解析】B 解析：函数和是非奇非偶函数，所以A，C错误；函数在和是增函数，但在整个定义域内不是增函数，所以C错误，故选：B【思路点拨】只要对指数
3、函数、对数函数和幂函数的性质掌握清楚，就不难得出正确答案。【题文】4.执行如图所示程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数的个数为A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【知识点】程序框图，对数的运算 L1 B7【答案解析】C 解析：根据题意，该框图的含义是：当时，得到函数；当，得到函数。因此，若输出的结果为3时，若，得，得，经检验符合条件；若，得，得，或，经检验符合条件，所以可输入的实数可能是，共3个，故选：C【思路点拨】根据题中程序框图的含义，得到分段函数，解关于的方程，代入检验，即可得到可输入的实数x值的个数。【知识点】对数的运算性质；对数函数的性质 B7【答案解析】D 解析：根据对数的
4、运算性质可得：，又是定义域内的增函数，而，所以，故选：D【思路点拨】根据对数的运算性质将所给不同底的对数化成同底的对数，再根据对数函数的单调性即可比较出三者的大小。【知识点】充分、必要条件 A2【答案解析】C 解析：把函数的图像向右平移一个单位，即可得到函数的图像，若是偶函数，即的图像关于直线对称，则函数的图像关于直线对称，所以是的充分条件；反之，把函数的图像向左平移一个单位，即可得到函数的图像，若函数关于直线对称，则函数的图像关于直线对称，即是偶函数，所以是的必要条件，故选：C【思路点拨】由函数和图像之间的关系，可得到可以推导出，也可推导出，所以是的充要条件。【题文】7.一个几何体的三视图如
5、图所示，则该几何体的体积为A. 64 B. 72 C. 80 D.112【知识点】根据三视图求几何体的体积、表面积 G2【答案解析】C 解析：根据三视图，可得此几何体上部是一个四棱锥，其底面是一个边长为4的正方形，一个侧面与底面垂直，高为3，下部是一个正方体，棱长为4，所以此几何体的体积为：，故选： C【思路点拨】右三视图可判断几何体是上部为四棱锥，下部为正方体的组合体，分别计算上下两部分的体积，相加即可得结果。【知识点】全称命题和特称命题及其否定 A3【答案解析】B 解析：命题是全称命题，其否定是特称命题，所以A,C错误，而选项D把的范围也进行了否定，显然错误，故选：B【思路点拨】熟练掌握全
6、称命题和特称命题的否定的形式即可得到正确选项。【题文】9.函数的零点的个数为A 1 B 2 C 3 D 4【知识点】函数的零点；基本初等函数 B9 B10 【答案解析】C 解析：由，得，即，设，在同一个坐标系内画出作出两个函数的图像如图：由图像可知，两个函数图像的交点有3个，即函数的零点有3个，故选：C【思路点拨】把函数的零点转化成两个简单函数的交点，在同一个坐标系内作出两个函数的图像，根据图像，结合函数的性质得出两个图像交点的个数，就是的零点的个数。【题文】【知识点】函数的奇偶性，指数函数的图像 B4，B6【答案解析】B 解析：因为函数是定义在R上的奇函数，所以，所以当时，其图像可以由指数函
7、数的图像向下平移一个单位而得到，如选项A,B的右半部分，又是奇函数，图像关于原点对称，选项B复合这个条件，故选：B【思路点拨】根据函数是定义在R上的奇函数可得出，据此求出未知量的值，则时的解析式就确定了，由函数图像的平移变换得到这部分的图像，再根据的图像关于原点对称即可得到另一部分的图像。【题文】11.已知两条直线和，与函数的图像从左至右相交于点，与函数的图像从左至右相交于点.记线段和在轴上的投影长度分别为.当变化时，的最小值为A.B.C. D. 【知识点】对数函数的图像和性质；基本不等式 B7 E6【答案解析】C 解析：故选：C【思路点拨】设出点的横坐标，并由题意求出来，计算，表示出并化简，
8、利用基本不等式求出其最小值即可。【知识点】导数的计算；导数的应用；微积分基本定理 B11 B12 B13【答案解析】D 解析：故选：D【思路点拨】先利用导数的运算法则，确定的解析式，再构造新函数，确定函数的单调性，求出的最小值，可得出的单调性，即可求得结论二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）【题文】【知识点】简单的线性规划 E5【答案解析】22 解析：作出不等式组表示的平面区域如图：由，得，表示斜率为-3，在y轴上的截距为z+5的一组直线，平移直线，当它经过可行域内的点A时，对应直线的截距最大，此时z也最大，由，得，此时，故答案为：22【思路点拨】作出不等式
9、组表示的平面区域，将转化为，利用z的几何意义，平移直线即可得到结论。【题文】【知识点】等比数列的及其前n项和；定积分的计算 D3 B13【答案解析】 解析：，化简得：，解之得：或，经检验均符合题意，故答案为：1或【思路点拨】利用微积分基本定理可计算出，由等比数列的定义可知，代入中，列出一个关于公比的一元二次方程，解方程即可得，最好再检验一下，防止有不符合条件的答案。【知识点】向量的运算；三角恒等变换 F3 C2 【答案解析】-1 解析：，即，化简得：，代入中并化简得：，解之得：，故答案为：-1 【思路点拨】两向量垂直，则数量积等于0，据此得出的关系，再联系同角三角函数的基本关系，求出，进而可求
10、出。【题文】16.已知函数定义在上，对任意的， 已知，则 【知识点】抽象函数及其应用；函数的函数值 B1【答案解析】1 解析：根据题意：， ，而，则，故答案为：1【思路点拨】根据已知可把求转化成求，再把转化成，而已知，代入即可。三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【题文】17. 在ABC中，已知.(1)求角的大小；(2)若，求的取值范围.【知识点】两角和与差的正余弦公式；同角三角函数基本关系与诱导公式；正余弦定理 C5 C2 C8【答案解析】解：（1）由已知的得即，因为，所以,又，所以，又，所以5分（2）由余弦定理，有，因为所以，又因为，所以，即.【思
11、路点拨】（1）在三角形中，,将其代入已知中，利用诱导公式和和角公式化简，结合同角三角函数基本关系式，可求出的值，再根据角的范围确定角B；（2）在（1）中已经求出角B，又已知，显然需要用余弦定理将边表示出来，得，再根据a的范围确定的取值范围。【题文】18（12分）. 数列满足 (1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.【知识点】等差数列的判断；等差数列的通项公式；特殊数列的求和 D2 D4【答案解析】解 (1) ,即是首项为,公差为1的等差数列,即 【思路点拨】（1）取数列的倒数，得到数列，可判断出数列是等差数列，根据等差数列的通项公式，求出，进而求出；（2）把代入，可判断出数列是一个等差数
12、列和一个公比为2的等比数列对应项相乘而成的新数列，其前项和可用错位相减法来求。【题文】19.（12分）2013年第三季度，国家电网决定对城镇居民民用电计费标准做出调整，并根据用电情况将居民分为三类 第一类的用电区间在，第二类在，第三类在（单位：千瓦时）. 某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图如图所示. 求该小区居民用电量的平均数； 利用分层抽样的方法从该小区内选出10位居民代表，若从该10户居民代表中任选两户居民，求这两户居民用电资费属于不同类型的概率； 若该小区长期保持着这一用电消耗水平，电力部门为鼓励其节约用电，连续10个月，每个月从该小区居民中随机抽取
13、1户，若取到的是第一类居民，则发放礼品一份，设为获奖户数，求的数学期望与方差.【知识点】频率分布直方图；分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式；随机变量的均值与方差 I1 I2 J2 K2 K8【答案解析】解：(1) 平均数为: (2) 由频率分布直方图可知，采用分层抽样抽取10户居民，其中8户为第一类用户，2户为第二类用户，则从该10户居民中抽取2户居民且这两户居民用电资费不属于同一类型的概率为(3) 由题可知，该小区内第一类用电户占80%，则每月从该小区内随机抽取1户居民，是第一类居民的概率为0.8，则连续10个月抽取，获奖人数的数学期望，方差【思路点拨】（1）由频率分布直方图估计样本数据
14、的中位数，平均数，规律是：中位数，出现在概率是0.5的地方，平均数为每个矩形的面积与底边中点乘积之和（2）计算利用分层抽样方法，从中取5人，分别抽取的一类、二类人数；再计算从5人中取2人的总取法种数和这两户居民用电资费属于不同类的取法种数，代入古典概型概率公式计算即可；（3）连续10个月，每个月从该小区居民中随机抽取1户，可看做做了10次独立重复试验，其成功概率就是抽到第一类居民的概率，为0.8，代入均值和方差的公式中计算即可。【题文】20（12分）.如图,四棱锥中,底面是矩形,底面,点是的中点,点在边上移动.(1)点为的中点时,试判断与平面的位置关系,并说明由;(2)求证无论点E在BC边的何处,都有;(3)当为何值时,与平面所成角的大小为【知识点】线面平行的判定；空间中的垂直关系；线面角的计算 G4 G5 G11【答案解析】解：(1)当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行在PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，EFPC.又EF平面PAC，而PC平面PAC，EF平面PAC. (2)证明：建立如图所示空间直角坐标系，则P(0,0,1)，B(0,1,0)，F(0，)， D(，0,0)，设BEx(0x
