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1、设有两块曲面S1, S2, 它们的方程依次为:,S1: F (x, y, z) = 0 S2: G (x, y, z) = 0,S1 , S2的交线C上的点一定同时满足这两个方程,而不在交线上的点绝不会同时满足这两个方程.因此,即为交线C的方程, 称为空间曲线C的一般方程.,(2),二、空间曲线及其方程,1. 空间曲线的一般方程,例5: 柱面 x 2 + y 2 = 1与平面x+y+z=2 的交线是一个圆, 它的一般方程是,2. 空间曲线的参数方程,将曲线C上动点的坐标x, y, z都表示成一个参数t的函数.,x = x (t) y = y (t) (3) z = z (t),当给定 t =
2、t1时, 就得到C上一个点(x, y, z), 随着 t的变动便可得曲线C上的全部点. 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.,例6: 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 + y2 = a2 上以角速度 绕 z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升(其中,v都是常数), 那末点M 构成的图形叫做螺旋线, 试建立其参数方程.,解: 取时间t为参数, 设当t = 0时, 动点位于x轴上的一点 A(a, 0, 0)处, 经过时间t, 由A运动到M(x, y, z), M在xOy面上的投影为M (x, y, 0).,(1) 动点在圆柱面上以角速度 绕z轴旋转, 所以经过时间t, AOM
3、= t. 从而,x = |OM | cosAOM = acos t,y = |OM | sinAOM = asin t,(2) 动点同时以线速度v沿 z 轴向上升. 因而,z = MM = vt,得螺旋线的参数方程,x = acos t y = asin t z = vt,注: 还可以用其它变量作参数.,例如: 令 = t. 为参数; 螺旋线的参数方程为:,x = acos y = asin z = b,当从 0变到 0 + 是, z由b 0变到 b 0+ b ,即M点上升的高度与OM 转过的角度成正比.,特别, 当 = 2 时, M点上升高度h = 2 b,在工程上称 h = 2 b为螺距.
4、,3. 空间曲线在坐标面上投影,设空间曲线C的一般方程,方程(5)表示一个母线平行于z 轴的柱面, 曲线 C 一定在柱面上.,注: 同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程.,例7: 已知两个球面的方程分别为: x2 + y2 + z2 = 1 和 x2 + (y 1)2 + (z1)2 = 1 求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程.,解: 联立两个方程消去 z ,得,两球面的交线C 在 x O y 面上的投影曲线方程为,设一个立体由上半球面 和锥面,所围成, 求它在xoy面上的投影.,解: 半球面与锥面的交线为,由方程消去 z , 得 x2 + y2 =1,于是交线C 在xoy
5、面上的投影曲线为,x2 + y2 = 1 z = 0,这是xoy面上的一个圆.,所以, 所求立体在xoy面上的投影为: x2 + y2 1,例8:,研究方法是采用平面截痕法.,6 二次曲面的标准方程,1.定义,由x, y, z的二次方程:,ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0,所表示的曲面, 称为二次曲面. 其中a, b, , i, j 为常数且a, b, 不全为零.,c, d,e, f,2 用平面z = k去截割(要求 |k | c), 得椭圆,当 |k | c 时, |k |越大, 椭圆越小;,当 |k | = c 时
6、, 椭圆退缩成点.,2. 几种常见二次曲面.,(1) 椭球面,1 用平面z = 0去截割, 得椭圆,3 类似地, 依次用平面x = 0,平面 y = 0截割, 得椭圆:,特别: 当a=b=c时, 方程x2 + y2 + z2 = a2 , 表示球心在原点o, 半径为a的球面.,(2) 椭圆抛物面:,1 平面 z = k ,(k 0)截割, 截线是平面 z = k上的椭圆.,k = 0时, 为一点O(0,0,0); 随着k增大, 椭圆也增大.,2 用平面 y = k去截割, 截线是抛物线,3 类似地，用平面 x = k 去截割, 截线是抛物线.,一、二阶行列式的概念,设有数表,a11,称数a11
7、 a22a12 a21为对应于数表(1)的二阶行列式，记为：,(1),副对角线,主对角线,1.定义1,a12,a21,a22,(),(),1 n 阶行列式的定义,当 a11 a22a12 a21 0时，,得唯一解,2、二元一次 方程组的求解公式,记,方程组(1)的解可以表示为：,克莱姆(Gramer)法则,(2),引进记号：,(+),(+),(+),(),(),(),称为对应于数表(3)的三阶行列式,二、三阶行列式,1.定义2,设有数表,(3),主对角线,副对角线,例 如：,易证：,对于线性方程组,当,方程组有唯一解，记,则方程组(4)的解为：,克莱姆法则,三、排列与逆序数, 由自然数1, 2
8、, , n 组成的一个有序数组i1, i2, , in称为一个n级排列。,例如，由1，2，3可组成的三级排列共有3!6个，它们是,n级排列的总数为n!个。,定义3,3 2 1;,1 2 3;,1 3 2;,2 1 3;,2 3 1;,3 1 2;, 一个排列中，若较大的数 is 排在较小的数 it 的前面 ( is it ) 时，称这一对数 is it 构成一个逆序。,一个排列中逆序的总数，称为它的逆序数。记为(i1, i2, in)，简记为 。,1 3 2,(1 2 3)=0,(3 1 2)=2,(4 5 2 1 3)=7,例如：,2 1 3,3 1 2,(4) 将一个排列中两个位置上的数互
9、换，而其余不动，则称对该排列作了一次对换。,6 5 3 1 2 4,6 2 3 1 5 4,( =11),( = 8),1 2 3 4,1 4 3 2,例如：,( =0),( = 3),定理 1 每一个对换改变排列的奇偶性,结论：在 n ( 2) 级排列中，奇偶排列各有 个。,四、n阶行列式的定义,分析：, =0, =2, =2, =3, =1, =1,类似地：,n阶行列式,定义4,例1 计算下列n阶行列式,0,0,0,行排列,列排列,考察：,定理2 n阶行列式的定义也可写成,推论：,例2： 选择 i 和 k ，使,成为5阶行列式中一个带负号的项,解:,若取 i = 1，k 4，,故 i =
10、4，k = 1 时该项带负号。,可将给定的项改为行标按自然顺序，即,则 (1 5 2 4 3) = 4，是偶排列，,该项则带正号，,对换1，4的位置，,一、行列式的性质,性质1：将行列式的行、列互换，行列式的值不变,即：,D = DT,行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式。,2 行列式的性质,则,证：,显然有 bij = aji (i, j=1, 2, ; n),则,设行列式 DT 中位于第 i 行，第 j 列的元素为 bij,性质2 互换行列式的两行(列)，行列式仅改变符号,则 D=M,证：在 M 中第 p 行元素,第 q 行元素,= D,推论1：若行列式中有两行(列)对应元素相同，则
11、行列式为零。,证明:,交换行列式这两行，有D = D，故D = 0,性质3 若行列式某一行(列)的所有元素都乘以数 k，等于该行列式乘以数 k，即：,证明：,推论2：若行列式中的某行(列)全为零，则行列式为零。,推论3：若行列式中有两行(列)的对应元素成比例，则该行列式为零。,性质4 若行列式中某一行(列)的各元素都是两个数的和，则该行列式等于两个行列式的和。,即:,证明：,+,性质5 把行列式的某一行(列)的各元素乘以数k后加到另一行(列)的对应元素上去，行列式的值不变。,即：,用 ri 表示 D 的第 i 行,cj 表示 D 的第 j 列,ri rj表示交换 i、j 两行,ri k 表示第
12、 i 行乘以 k,ri + k rj 表示第 j 行乘以 k 加到第 i 行,ri k 表示第 i 行提出公因子 k,记号：,例1 计算行列式,解：,例2 计算行列式,解：,D,r4 5r1,例3：计算,解：,x+ x,x+ x,x+ x,在n阶行列式,余下的元素按原来顺序构成的一个n1阶行列式，,称为元素 aij 的余子式，记作 Mij ，,中，划去元素 aij 所在的行和列，,3行列式按行(列)的展开 与克莱姆法则,1.定义1,例如： 在四阶行列式,中，a23 的余子式 M23和代数余子式 A23，,分别为：,考察三阶行列式,其中：A11, A12，A13 分别为a11, a12, a13
13、 的代数余子式.,三阶行列式可用其二级子式的线性组合表示。,考察三阶行列式,其中：A11, A12，A13 分别为a11, a12, a13 的代数余子式.,三阶行列式可用其二级子式的线性组合表示。,再考察二阶行列式,二阶行列式也可由其子式的组合表示.,例3. 计算三阶行列式,解：,D =,还可看出,+ 0,= 84,12,=72,=D,+36,= 24,+60,=72,=D,+84,= 12,24,=72,=D .,以及,定理1 (Laplace展开定理) 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。,或,即：,证明步骤：, 证, 证,解：,例4 用Laplace展开定理
14、求 例2,2,例5 证明四阶范德蒙行列式,证：,r3x2r2,r2x2r1,推论：n阶范德蒙(Vandermonde)行列式,定理2 行列式的任一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。,或,即：,综合定理1和定理2，得：,或,定理3 (克莱姆法则),的系数行列式,设线性方程组,二. 克莱姆法则,其中Di(i=1, 2, , n)是用常数项b1, b2;bn代替D中第i列各元素而得到的n阶行列式，即：,则方程组(1)有唯一解，且解可表示为：,(i=1, 2,n),例3 解线性方程组,解：,方程组的系数行列式,所以方程组有唯一解。,又：,所以：,D=6, D118, D2= 0, D3= 6, D4=6,注：在方程组(4.1)中，若所有的常数项b1= b2 = = bn = 0，则方程组称为n元齐次线性方程组。,显然有零解 x1 = x2 = = xn = 0,结论1：若齐次线性方程组(3)的系数行列式D 0，则方程组只有零解。平凡解,结论2：若齐次线性方程组(3)有非零解，则系数行列式 D = 0。非平凡解,
