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1、第二章 赤平投影原理,1. 直线和平面的几何性质（略） 2. 球面几何基本原理 3. 球面投影 4. 赤平极射投影 5. 赤平极射投影网 6. 赤平圆外投影或赤平极外投影 7. 等面积投影网 8. 基本作图方法,第八节 基本作图方法,赤平投影用的工具有投影网、透明纸、圆规、铅笔、三角板、方格纸，中心及边缘密度针或大头针等。 在作图之前，检查投影网。 为了保护网，应用一小块透明胶或胶布贴在网的背面圆心处，并将网固定于图板或桌子上，随后，用一张比网大一些的透明纸覆盖在网上，描绘出基圆，标注正北、正东方向，在基圆中心画一“+”符号，用针插在其中心。,第八节 基本作图方法,1、平面投绘。设一平面产状为
2、SW24530，作图步骤为： （1）在基圆上找到方位角245度位置并作一记号； （2）旋转透明纸使记号与网上代表正西或正东特征点重合；自基圆起于东西向直径上量度30度确定一点，描绘出该点所在经线大圆弧，此经线大圆弧即为平面的迹式赤平投影； （3）保持透明纸位置不变，在东西直径上由圆心起在平面倾斜反方向查数30度确定一点，则该点即为平面的极点投影点。 （4）旋转透明纸回复到初始位置（正位），操作完成（图27）。,第八节 基本作图方法,2、直线投绘。设一直线产状为NE4262，作图步骤为： （1）在基圆上找到42度位置标一记号； （2）旋转透明纸使记号与网上代表正东的特征点重合；自基圆起沿东西直径
3、查数62度标一点，该点即为所给直线的赤平投影。 （3）旋转透明纸回到初始位置（图28）。,第八节 基本作图方法,3、投绘一个包含一条直线的平面。设一平面产状为SW24530，其上有一条侧伏角为53SW的直线。投绘方法是： （1）按1投绘平面； （2）使平面的走向与网的北端重合；沿平面所在经线大圆自网的南端起数53度确定一点。 （3）旋转透明纸回到初始位置（图29）。 该直线的倾伏角：sin=sinsin=sin53sin30=0.4，故arcsin0.423.5。倾伏角、倾伏向均可从图上读出。,第八节 基本作图方法,4、投绘包含两条已知直线的平面。设两条已知直线产状分别为SW25840及NE4
4、262。投绘步逐是： （1）按2分别投绘两已知直线； （2）旋转透明纸使用两直线投影点落在同一经线大圆上，描绘出该大圆。 （3）旋转透明纸回到初始位置（图30）。,第八节 基本作图方法,5、求两已知平面的交线。设两平面产状分别为SW24530及SE14548。求交线产状： （1）按1投绘两平面；代表两平面的经线大圆交点即为所求交线； （2）画一连圆心和交点的直线并延长与基圆相交，旋转透明纸使该直线与网的东西直径重合，沿东西直径自基圆起向交点数度数，代表交线的倾伏角。 （3）继续旋转透明纸使其回到初始位置，这时圆心交点间的连线与基圆的交点，则为所求交线的倾伏方向（图31）。 另一种方法是先分别投
5、绘两已知平面的极点，据4将两极点旋转到同一经线大圆上，该经线大圆的极点必定是所求交线。,第八节 基本作图方法,6、求一条已知直线在一个已知平面上的正投影。设已知平面产状为NW31055，已知直线产状为NE5946。作图步骤是： （1）分别按1、2投绘已知平面及直线。 （2）同时投绘已知平面的极点，旋转透明纸使该点与直线投影点落在同一经线大圆上，这一大圆与已知平面大圆交点，即为所求直线在已知平面上的正投影。 （3）依5读出正投影的产状（图32），并使透明纸回到初始位置。,第八节 基本作图方法,7、求两条已知直线夹角。设两条已知直线产状分别为SW25840及NE4262。求夹角步骤是： （1）据2
6、投绘两直线； （2）旋转透明纸使两直线投影点复于同一经线大圆上，沿该经线大圆读两直线夹角，通常锐角即球面上最短距离，为所求夹角。 （3）旋转透明纸回到初始位置（图33）。,第八节 基本作图方法,8、求两个已知平面间的夹角。仍设两平面产状分别为SW24530及SE14548。作图步骤为： （1）按5投绘两平面，并标绘出交点； （2）旋转透明纸使交点复于网的东西直径上，标绘出以此交点为极点的平面大圆，大圆与两已知平面相交，则用7的办法可以读出所给两平面夹角。 （3）若用极点投影，可把两已知平面极点旋转到同一经线大圆上，用7办法直接获得所求数据，并最终将透明纸回到初始位置（图34）。,第八节 基本作
7、图方法,9、求一个已知平面与一条已知直线间的夹角。仍设已知平面产状NW31055，已知直线产状为NE5946。求它们之间夹角步骤为： （1）按6投绘平面和直线；将平面极点和直线旋转到同一经线大圆上，描绘出该大圆，直线与其在平面上正投影之间夹角即为所求。 （2）也可由直线与平面极点间夹角来代表，但它是真正的夹角之余角，需要特别注意区分。 （3）旋转透明纸使其回到初始位置（图35）。,第八节 基本作图方法,10、平分两已知直线间夹角的等分面。 仍设两直线产状为SW25840及NE4262。步骤为： （1）按7投绘两直线，并求出它们之间的夹角。 （2）在包含两直线大圆上平分两直线夹角确定两点。再作分
8、别以这两点为极点的平面，即可获得垂直包含所给两直线平面，又平分两直线间夹角的两个平分面。 （3）旋转透明纸使其回到初始位置（图36）。,第八节 基本作图方法,11、平分两已知平面间夹角的等分面。 仍设两平面产状为SW24530及SE14548。作图步骤为： （1）按8标绘两平面大圆迹线，求出交点。 （2）将交点旋转到网的东西直径上，作以交点为极点的平面大圆，该大圆与所给两平面相交，分别求出已知两平面夹角平分线点（P1、P2）。 （3）旋转透明纸使两平面交点（P）与平分线点（P1、P2）落到同一经线大圆上，所得两个面（PP1、PP2）即为所求平分面。 （4）利用平面极点求等分面也可以，而且操作更
9、为简便。 （5）旋转透明纸使其回到初始位置（图37）。,第八节 基本作图方法,12、求以已知角与一条已知直线相交的直线移动轨迹。设已知直线L1水平，走向为NE42，求以已知角40与L1相交的直线移动轨迹。步骤为： （1）按2投绘L1，因为直线水平，所以投影点必落在基圆上。 （2）旋转透明纸使L1与网的北端重合，直接可以描绘出与其交角40的直线移动轨迹（纬线小圆）。 （3）旋转透明纸使其回到初始位置（图38a） 若L1线是倾斜的，则描绘与其相交的线之移动轨迹比较复杂。方法是先投绘L1，旋转透明纸使L1依次落在网的经线大圆上，在每个大圆弧上于L1两边，按夹角大小标绘两点，连接这些点所得小圆即为移动
10、轨迹（图38b）。,第八节 基本作图方法,13、求以已知角度与两条或几条已知直线相交的一直线。设三条已知直线L1、L2、L3（产状已知），求分别以40、30、50夹角与它们相交的直线L4。步骤是：（过程图略） （1）按12投影L1、L2、L3，作围绕各以知直线的小圆（半径为所给夹角）。 （2）三个小圆所交的共同点既为所求。 （3）旋转透明纸使其回到处始位置（图39）。,第八节 基本作图方法,14、旋转操作：所谓旋转操作，即指把投影图上的平面或直线投影，沿着指定方向和角度旋转的过程。其中又分在一固定投影面内的旋转操作和投影的旋转操作。 （1）围绕投影面一直径的旋转：设一平面P产状为SW22752
11、,要求绕走向NE81的水平线R（逆时针）旋转50（图40a）。首先旋转透明纸，使R与网的南北向直径重合，而后使平面极点P按要求沿所在纬线小圆移至P，由P绘出极线大圆。最后使透明纸回到初始位置（图40b）。 亦可用大圆进行旋转，方法是把代表平面的大圆按指定方向和角距旋转，而后联接各点构成一新的大圆。,亦可用大圆进行旋转,第八节 基本作图方法,（2）围绕与投影面斜交的轴的旋转：设一平面产状SE17352，要求把该平面绕产状NE4230的轴R按顺时针方向（面向NE）旋转80。 先按12，以R为中心，平面极点p与R的角距为半径作一投影小圆（图41a）; 再作垂直R的平面P1的大圆和包含R、p的平面P2
12、的大圆，两个平面相交于L，把L按所要求方向旋转80到L; 作包含R和L的大圆，该大圆与先期作的小圆交于两点，其中p为所求点所给平面旋转后的极点。,第八节 基本作图方法,（2）围绕与投影面斜交的轴的旋转： 另一种方法是先把R旋转到水平位置，再按（1）进行旋转。 具体步骤是把R移到网的东西直径上，并移到基圆的R0处，与此同时，把已知平面极点p沿所在纬线小圆向同一方向移动相同角距到p。 接着把R0旋转到与网的北端重合，围绕R0 把p按所要求方向移动80至p。 最后把R0旋转回到网的东西直径上，按R0转回到R的同一方向把p旋转30到p，则p即为旋转后的平面极点位置（图40b）。,第八节 基本作图方法,
13、（3）倾斜面向水平面的旋转：设平面产状为SW22752，为使该平面旋转至水平，最常用的方法是绕其走向旋转（图42）。不过，为了把平面旋至水平，可以绕不同的轴进行旋转，虽然达到的结果（旋至水平）是一样的，但平面上各点的移动轨迹及最终位置是不相同的。,第八节 基本作图方法,（4）投影面的旋转：在构造分析时，有时需要组合和对比两个组构资料，因之，要把一个投影面及其上标绘的所有点旋转到另一个投影面上，旋转轴就是两个投影面的交线。 例如要求旋转标绘在面向c-看的ab平面上的资料，使它们出现在面向c+看的平面上。步骤是把一张透明纸向下翻个面，然后把原来的点子描绘清楚，改变参考轴的符号即可（图43）。（相当
14、于沿a+a为轴旋转180） 在对比测自同一手标本两个平行侧面资料时，就常进行这种操作。投影面的旋转角度，可据问题的性质和要求而定。,第八节 基本作图方法,（5）图形的旋转：在实际工作中，有时需要对投影图形（如等密线图）整体进行旋转。在旋转时，可在图形上找几个特征点，按要求将这些特征点进行旋转，而后用光滑曲线或原来的几何图形线把这些点连起来。显然，旋转后的图形与原来图形保持完全一样是很困难的（图44）。,第八节 基本作图方法,15、吴氏网上小圆的求解问题 （1）求小圆上两点间的弧度 图45A上小圆投影圆心为K，小圆上两点L、G。欲求L、G间的弧度，可先转动透明纸使K点落在网的东西线上，作以K为极
15、点的对应大圆（图45B），依照上述球面几何定理和基本作图法，分别作过K、L和K、G的大圆弧，它们与以K为极点的大圆弧相交于L、G，则L、G间角距就是小圆上L、G两点间的弧度（图45C）也可以将小圆旋转至网的中心，直接用半圆仪或在基圆上度量弧度。,第八节 基本作图方法,（2）已知小圆投影圆心及半径，作一小圆。 利用投影直接绘小圆，上面已经讲过。这里介绍用圆规和直尺等工具制作小圆。 假若以投影圆心SE15020和半径为40作小圆，其步骤是：将投影圆心移至网的东西直径上（K），自K点起向两侧各数40，得两点A和B。为求小圆的作图圆心，作出B的对蹠点B，AB中点即为作图圆心，用圆规绘出小圆（图46）。
16、由于小圆一部分越出基圆以外，所以还必须求出A的对蹠点，而把基圆外的部分在网的直径或一端绘出来，才能构成一个完整的小圆。实际操作时，可以在网上先找出D、C对蹠点D、C，利用C、B和D三点即可求得一个作图圆心，从而绘出越出基圆以外的部分。,第八节 基本作图方法,（3）过三个已知点作一个小圆 假设投影图上有三个点（L1、L2、L3，代表三条直线的投影），作过三点小圆的步骤是： 、作L1L2的等分面大圆（q）；L1L2（面） 及L2L3（面）的等分面大圆（p L2）；两等分面大圆交点即为小圆的投影圆心K（K相当于旋转轴）； 、在网上度量KL1角度，就是小圆半径； 、按前述办法绘出小园（图47）。,第八节 基本作图方法,16、等密线图的绘
