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1、听清学生话的意思北京：基础教育课程2010年第6期任景业教育部北京师范大学基础教育课程中心数学工作室，山东茌平县杜郎口中学。案例1：他对分数理解了吗？在学生学习分数加减时，学生常常会犯下面的错误：计算：1/2+1/4=（1+1）/（2+4）=2/6。个中原因是什么？学生是怎么思考的？当然不同的学生会有不同的原因。这里不想展示针对这一错误的多种可能的原因，仅就学生的一种思路做一分析。学生：“老师，您看，1/2是把这个圆平均分成了2份，取了其中的一份；1/4是把这个圆平均分成了4，取了其中的一份。合起来就有两个圆，两个圆一共分成了6份，阴影部分占2份，所以用分数2/6表示。” 此访谈由刘全祥老师提
2、供，特此致谢。这是一位老师对学生的访谈，我们且相信学生说的是真实的思考过程。 “1/2是把这个圆平均分成了2份，取了其中的一份；1/4是把这个圆平均分成了4，取了其中的一份”从这两句话分析，学生对分数1/2，1/4似乎是理解的：知道是先分后取，1/2，1/4表示的是取出的那一部分；所凭借的模型也是我们老师们惯用的“分物”的模型。 “合起来就有两个圆，两个圆一共分成了6份，阴影部分占2份” 在实施运算时，“阴影部分加阴影部分”，“一个圆加一个圆”，说明他知道“相同的”才能相加，是用到的 “整体加整体”“部分加部分”。但他的运算是基于整数加法的意义的，是对整数加法的一种“扩充和推广”。在这句话中，
3、我们看到学生的加减只是针对图形的，完全摆脱了图形所表示的意义，也就是他最初的对分数的理解。正是他对这个模型的应用意义的“遗忘”，才导致了下面的错误。造成这种“遗忘”的是什么原因？仅仅是记忆品质的原因吗？如果是，我们可以从防止遗忘的角度去改进教学，如果不是，我们则需要探究相应的教学策略。由此，我们再仔细分析一下学生的语言。“两个圆一共分成了6份，阴影部分占2份”。 在说“圆平均分成了2份”时，学生用到了平均，而在“两个圆一共分成了6份”时， 学生没有用“平均分”，再联系到学生画出的图形，也没有显示“平均分”。而平均分应当是理解分数中的一个很关键的条件。由此，我们可以看出，错误的原因不是对分数意义
4、的“遗忘”，重要的是对分数本身的概念理解不到位。前面理解12,14时说到的“平均分”是一种外在的描述，还没有意识到是必须的、不可或缺的一个条件。当然，他也还没有理解，分数的加法1214是经过“先分后取”以后，把“取”出的部分加起来再与原来的整体比较。如此看来，学生产生的错误原因并不是一种“遗忘”，并不是运算和分数概念的一种分离。根源还是在于分数的概念的理解。这需要我们在引入概念、在新的情境辨析概念、在解决问题中运用概念的多种背景下，不断地丰富和加深对概念的理解和认识。它提醒我们：数学是一种语言，它特有的符号代表了量和量之间的关系，而学生对这种语言的意义及其特有的句法结构的理解并不是一次能学到位
5、的。案例2：他们的方法是一样的吗？这是一节四年级下册三角形内角和的片段。在探究得出三角形内角和是180后，学生顺利完成了基础练习，接下来是一道拓展练习题：四边形的内角和是多少？学生独立思考后，有下面一段课堂对话。生1：四边形内角和是360。长方形四个内角都是直角，和是360，所以我猜想一般四边形内角和也是360。师：他从特殊到一般，得出四边形内角和是360的猜想，大家能进一步说明为什么吗？生2：我在一个普通四边形里画一条线（展示她的画法，实际上是一条对角线），把它分成两个三角形，每个三角形内角和都是180，两个就是360。师：大家同意她的意见吗？学生表示同意，正当我准备进行课堂小结时，一位学生
6、站了起来，说了她的发现。生3：老师，我不同意刚才那位同学的意见，我认为她的方法是错的。我用她的方法试了试，在四边形里画两条这样的线，就分成四个三角形，内角和一共是720，多了360。她的一番解释，让我犯难了。能简单地说她的发现是错的吗？怎样让大家都理解这多出的360多在哪里呢？我把问题抛给了学生。师：这位同学很细心，发现画两条对角线就多出了360。为什么会多出360呢？请大家和这位同学一样，在四边形里画出两条对角线，仔细思考，分成的四个三角形内角和还等于原来四边形的内角和吗？然后小组讨论。这次意外的缘起是学生一次错误的“发现”，这个错误本身富有研究价值。讨论中学生发现，多出360是因为在对角线
7、交点处，新增加了一个周角，周角恰好是360。而这个周角不属于四边形的内角，在计算四边形内角和时，要减掉这多出来的360。赵自红，满玲捕捉意外，生成精彩，见新世纪小学数学2009年第3期。在上面的教学片断中，教师的处理基本是恰当的。学生3质疑学生2的方法，教师没有解释学生错误所在，而是将这个“球”抛给学生让学生讨论，通过讨论解决问题。现在的问题是，学生3的质疑是基于怎样的推理？在什么 地方与学生2是一致的？在什么地方与学生2是不一致的？这种不一致对学生的思维影响是不是有帮助？只有听清学生的话，并且能理解学生的话背后的意思，我们教学才可能在学生讨论得出结论之后，使学生的思维得到提升，否则，学生的讨
8、论只能是发展到得到一个正确的结论而止。具体到上面的案例，我们把学生3的话，做一分析：生3：老师，我不同意刚才那位同学的意见，我认为她的方法是错的。我用她的方法试了试，在四边形里画两条这样的线，就分成四个三角形，内角和一共是720，多了360。在上面的话中，学生得出结论“四个三角形，内角和一共是720”的依据是用了学生2的方法，评价的对象也是学生2的方法：“我认为她的方法是错的。”那么他学到的、借鉴的方法是什么？与这位学生的方法是不是一致？对此，我们列表如下：序号学生2、学生31用对角线可以把四边形分割为两个三角形用对角线可以把四边形分割为三角形。23分出两个三角形，分出四个三角形4是360度
9、是720度5内角和就是在三角形内部的角的和 从上面的表中可以看出，两位学生的第一步也许就产生了差异。学生2也许是从“用对角线把四边形分割为两个三角形”的实事出发的，学生3受学生2的启发，是应用了 “用对角线可以把四边形分割为三角形”这一事实，注意到，这里已不是分割为具体的“两个三角形”，没有受制于前者具体的情境的限制，是对前者发现的尝试和推广，不要认为后者只不过是由前者的一条对角线，推到了两条对角线而已，这其实正是数学的抽象的力量所在，她已突破了具体的情境的局限，使这一结论“用对角线可以把四边形分割为三角形”应用到了一般的情境中。正是有了这样的推广和尝试，才有了下面与学生2不同的图形。学生2得
10、到两个三角形，学生3得到四个三角形。由此看来，学生3在这一步用到的方法,并不全然是学生2的方法。她已经做了推广和一般化。基于上面的推理和分析，无论是学生2得到360度，还是学生3得到720度，从数学推理上说却是没有差别的，都是乘法或说倍的运算的应用。在表格中，我们还看到他们两者之间的一个差异，学生2并没有暴露出任何错误（没有暴露出错误并不等于没有错误），学生3 说“内角和一共是720”暴露出她对内角和这一概念的不当认识。认为内部的角的和，就是内角和。这是她借助生活语言的意义理解数学语言，应当说，很多数学语言是可以这样理解的，但做为数学语言很多情况下并不是生活用语的简单压缩。这也是需要给学生指出
11、的。在上面的两则案例中，如果要给“如何听懂学生的话”这一话题绘出一个框架的话，我想有下面的几条：1. 涉及的对象有哪些？案例1中的“分数”、“运算”；案例2中的“方法”。2. 对这些对象理解的如何？如上面对分数的理解，对运算的理解，对方法的理解。3. 对这些对象之间的关系的理解如何？对于不同人的理解或与数学关系的正确理解其相似点、差异处在什么地方？4. 对这些对象和关系的表征是否合适？借助的实物模型、符号表征是否有助于促进学生的理解？学生是怎样理解学生特有的符号的？5. 学生的结论是怎样得出的？他应用了怎样的推理？其出发点、依据、方法、结论是否妥当？上面的框架，是基于数学是一种语言的认识。既然数学是一种语言，那么与之相关的应当思考这种语言反映的对象和关系，所用到的词汇和句法结构，如果从数学是一种文化的角度，也许我们会绘出不同的框架，比如，要考查学生的背景，经验等。读懂学生的重要性也许不再需要我们讨论其重要性，而在于在技术的层面做更深入和细致的探索。本文仍然是一种尝试，因为这条路很长
