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1、泉港区天竺中学 郑忠山,平行四边形的应用 动点问题,引言,动点问题常见的类型有: 单动点型、双动点型及多动点型,本节课重点来探究平行四边形的应用之动点问题,图形中的点、线运动，构成了数学中的一个新问题-动态几何。该题型常常集几何、代数知识于一体，渗透数学思想方法，特别是方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等的运用，有较强的选拔功能，故为近年的热点中考压轴题它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。,如何解动点型问题？,知识回顾,（1）平行四边形的性质：,（2）平行四边形的判定：,平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点,平行四边形的对边平行且相等,平行四边形的对角相等、邻角互补
2、,平行四边形的对角线互相平分,两组对边分别平行的四边形是平行四边形,两组对边分别相等的四边形是平行四边形,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,两组对角分别相等的四边形是平行四边形,两条对角线互相平分的四边形是平行四边形,对称性 边 角 对角线,边 角 对角线,例1、已知：在四边形ABCD中，ADBC,ABAD, 点Q是BC边上一定点，AD=12cm,CQ=2cm,点P从点A出发沿AD边以1cm/s的速度向D运动.设运动时间为t秒，则当t=_秒时，四边形PQCD是平行四边形？,分析： 这是一道单动点型的动点问题 （1）AP=_;PD=_. （用含t的代数式表示） （2）若四边形PQCD是平行
3、四边形， 只需条件：_ 因此可列方程：_,t,12-t,PD=CQ,12-t=2,10,解题策略：动中求静，化动为静，构建方程模型. 运用了数形结合、方程思想.,合作交流，探索新知,变式1： 在四边形ABCD中，ADBC,ABAD, AD=12cm,BC=21cm,点P从点A以1cm/s的速度向点D运动，同时点Q从点C以1.5cm/s的速度向点B运动.设运动时间为t秒问当t为何值时，以P、D、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？,分析： 这是一道双动点型的动点问题 （1）AP=_;PD=_. CQ=_;BQ=_. （用含t的代数式表示） （2）若四边形PQCD是平行四边形， 只需条件：_ 因此可
4、列方程：_,t,12-t,PD=CQ,12-t=1.5t,1.5t,21-1.5t,合作交流，探索新知,变式1： 在四边形ABCD中，ADBC,ABAD, AD=12cm,BC=21cm,点P从点A以1cm/s的速度向点D运动，同时点Q从点C以1.5cm/s的速度向点B运动.设运动时间为t秒问当t为何值时，以P、D、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？,解： 依题意得AP=t，CQ=1.5t. 则 PD=12-t. ADBC，即PDCQ 当PD=CQ时，四边形PQCD是平行四边形 12-t=1.5t 解得t=4.8 当t=4.8秒时，四边形PQCD是平行四边形.,合作交流，探索新知,变式2： 在
5、四边形ABCD中ADBC,ABAD,AD=12cm, DC=15cm，BC=21cm,AB=12cm, 点P从点A以1cm/s的速度向点D运动，同时点Q从点C以1.5cm/s的速度向点B运动. 当其中一点停止运动时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒 （1）填空：AP=_, BQ=_. （用含t的代数式表示）； （2）若PBQ的面积为S，求出S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；,t,21-1.5t,解：BQ=21-1.5t，AB=12 S= BQ AB = (21-1.5t) 12,即S=-9t+126 (0t12),P,Q,合作交流，探索新知,变式2： （3）若点P从点A以1cm/
6、s的速度沿ADCB方向运动，同时点Q从点C以1.5cm/s的速度沿CBAD方向运动.在P、Q运动过程中，问是否存在以点P、D、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.,探究动点关键：化动为静，分类讨论，关注全过程,P,Q,P,Q,图,合作交流，探索新知,解： （3）存在. tp=(12+15+21) 1=48(秒)， tQ=(21+12+12) 1.5=30(秒) Q先到达.,合作交流，探索新知,1）若P在AD上，Q在BC上时，如图 依题意得PD=12-t，CQ=1.5t 当PD=CQ时，四边形PQCD是平行四边形 则 12-t=1.5t， 解得 t=4.8
7、,2）若P在BC上，Q在AD上时，如图 依题意得QD=45-1.5t，PC=t-27 当QD=PC时，四边形QPCD是平行四边形 则 45-1.5t=t-27， 解得 t=28.8,综上所述，存在以P、D、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，其中t=4.8秒或t=28.8秒.,中考演练,如图，在四边形ABCD中，ABDC，ADBC5，DC7，AB13，点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿ADDC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BA向终点A运动.在运动期间，当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（ ）秒. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6,A,分析： 建立方程模型求解 设运动时间为t秒， 则PC=_; BQ=_. 可列方程：_.,12-3t,t,12-3t=t,收获一：动中求静，化动为静,收获三：运用数学思想： 数形结合、方程、函数、分类讨论,收获二：构建方程模型,通过本节课的学习，同学们有哪些收获？,（动点型问题的解题策略）,小结,作业： 详见导学案,
