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1、顺义二中高一数学基础知识竞赛复习资料必修 1 知识点总结:第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1.集合的中元素的三个特性:确定性;互异性; 无序性2集合的表示方法:列举法与描述法。列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。3.常用数集:非负整数集(即自然数集)记作:N正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R4.关于“属于 ”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A 记作 aA ,相反,a
2、不属于集合 A 记作 a A二、集合间的基本关系1.“包含 ”关系 子集子集:如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素,就称集合 A 是集合 B 的子集。A B真子集:如果 A 是 B 的子集,且存在元素属于集合 B 不属于集合 A,称 A 是 B 的真子集。2. 不含任何元素的集合叫做空集,记为 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1交集的定义:一般地,由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集 即 AB=x|xA,且 xB2、并集的定义:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的
3、并集。 即 AB=x|xA,或 xB3、全集与补集(1)全集:如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。通常用 U 来表示。(2)补集:对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 在全集 U 中的补集,记为 Cx|且四、函数的有关概念1函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称f:AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作: y=f(x),xA 其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的
4、定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域2.常见函数定义域的限制条件(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.3.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域4函数单调性(1)增函数:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 a,b ,当 af(b),那么就说 f(x)在区间 D 上是减
5、函数。区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法:任取 a,bD,且 a1 且 *axnxannN当 是奇数时,正数的 次方根是一个正数,负数的 次方根是一个负数此时, 的n a次方根用符号 表示式子 叫做根式,这里 叫做根指数, 叫做被开方数nn a当 是偶数时,正数的 次方根有两个,这两个数互为相反数正的 次方根与负的 n次方根可以合并成 ( 0)由此可得:负数没有偶次方根;注意:当 是奇数时,na,当 是偶数时,an)0(|an2分数指数幂:正数的分数指数幂的意义,规定: )1,0(*nNmanm, 3实数指数幂的运算性质(1) r sr
6、a),0(1* nNmanmn;(2)rsr);(3)srb)(),0(Rsra ),0(Rsa ),(R4.指数函数的概念: 叫做指数函数,底数不能是负数、零和 1,yx且5.指数函数图像和性质性质 a1xa 01layx 0a1logayx图像32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-1 1 2 3 4 5 6 7 832.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-1 1 2 3 4 5 6 7 8定义域 +)( , +)( ,值域 R R奇偶性 非奇非偶 非奇非偶单调性 单调递增 单调递减定点 (1,0) (1,0)0log,xa0log,xax10.幂函数:
7、一般地,形如 的函数称为幂函数,其中 为常数y)(R11.幂函数性质归纳 (1)所有的幂函数在(0,+)都有定义,并且图象都过点(1,1 );(2) 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 上是增函数特别地,当 ),0时,幂函数的图象下凸;当 时,幂函数的图象上凸;10PvxyAOMT (3) 时,幂函数的图象在区间 上是减函数在第一象限内,当 从右边0),0(x趋向原点时,图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴,当 趋于 时, 图象在 轴yyx上方无限地逼近 轴正半轴x第三章 函数的应用1、函数零点的概念:对于函数 ,把使 成立的实数 叫做函数)(Dxfy0)(xfx的零点。)(Dxfy2、函数零
8、点的意义:方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点0)(xffy函数 有零点f3、函数零点的求法:(代数法)求方程 的实数根;(几何法)对于不能用0)(xf求根公式的方程,可以将它与函数 的图象联系起来,并利用函数的性质找出y零点4、零点存在定理:5、二次函数的零点:二次函数 )0(2acbxy),方程 有两不等实根,二次函数的图象与 轴有两个交点,x二次函数有两个零点),方程 有两相等实根(二重根),二次函数的图象与 轴有2cx x一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点),方程 无实根,二次函数的图象与 轴无交点,二次函数无02ba x零点高中数学必修 4 知识点正 角 :按 逆 时 针
9、 方 向 旋 转 形 成 的 角1、 任 意 角 负 角 按 顺 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角零 角 :不 作 任 何 旋 转 形 成 的 角2、象限角和轴线角:第一象限角的集合为 3603609,kkk第二象限角的集合为 360918,k第三象限角的集合为 1827 第四象限角的集合为 27360,kk 终边在 轴上的角的集合为 终边在 轴上的角的集合为x180,ky终边在坐标轴上的角的集合为1809,kk 90,k3、与角 终边相同的角的集合为 36,k4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 弧度15、半径为 的圆的圆心角 所对弧的长为 ,角 的弧度数的绝对值是 rl lr6、弧
10、度制与角度制的换算公式: , , 236018057.37、若扇形的圆心角为 ,半径为 ,弧长为 ,周长为 ,面积为 ,则为 弧 度 制 rlCS, , lr2Crl21Slr8、设 是一个任意大小的角, 的终边上任意一点 的坐标是 ,它与原点的距,xy离是 ,则 , , 20rxysinyrcosxrtan0y9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正(一全正,二正弦,三正切,四余弦)10、三角函数线: , , sincostanA11、同角三角函数的基本关系:221sinco1itas12、三角函数的诱导公式:, ,iinkco2cos
11、ktan2tankk, , 2sinsistantan, , 3c, , 4iiocostt, 5sns2in2, 6ics口诀:奇变偶不变,符号看象限13、图像变换:(1) 函数 向左(右)平移 个单位长度,得到函数sinyx的图象;函数 横坐标伸长(缩短)到原来的 倍(纵坐标sinyx1不变),得 的图象;函数 纵坐标伸长(缩短)到原来siysinyx的 倍(横坐标不变),得到函数 的图象AA(2) 函数 横坐标伸长(缩短)到原来的 倍(纵坐标不变),得到函数inx1的图象;函数 向左(右)平移 个单位长度,得函数siysinyx的图象;将函数 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)xi到原来
12、的 倍(横坐标不变),得到函数 的图象AsinyxA14、函数 的性质: 振幅: ;周期: ;sin0,yx 2频率: ;相位: ;初相: 12f15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: sinyxcosyxtanyx图象定义域 RR,2xk值域 1,1,R最值当 ,2xk;当mayin1当 时,2xk;当may时, min1y既无最大值也无最小值周期性 22奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数单调性在 ,k上是增函数;在 32,2上是减函数在,2kk上是增函数;在 ,在 ,2k上是增函数上是减函数k对称性对称中心,0k对称轴 2x对称中心 ,02kk对称轴 x对称中心 ,02k无对称轴16
13、、向量:既有大小,又有方向的量有向线段的三要素:起点、方向、长度零向量:长度为 的向量单位向量:长度等于 个单位的向量01平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量:长度相等且方向相同的向 量17、向量加法运算:三角形法则的特点首尾相连,首尾 连平行四边形法则特点: 共起点连对 角(3)坐标运算:设 , ,则 1,axy2,bxy12,abxy18、向量减法运算:三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量坐标运算:设 , ,则1,axy2,bxy12,abx设 、 两点的坐标分别为 , ,A1,2,12,y19、向量数乘运算:(1)实数 与向量 的积a
14、是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ;当 时, 的方向与0a的方向相同;当 时, 的方向与 的方向相反;当 时, a0 (2)坐标运算:设 ,则 ,axy,xy20、向量共线定理:向量 与 共线,则存在唯一实数 ,使 bba坐标运算:设 , ,则1,2,1210 b a C A C22、平面向量的数量积: 零向量与任一cos0,180abab向量的数量积为 0性质: 当 与 同向时, ;当 与 反向时,ab ab; 或 b2aa(3)坐标运算: ,或 1xy22xy2xy设 , ,则 1,axy2,b10b是 与 的夹角,则 221cosaxy23、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ; ;cosssincoscossin ; ;inicoinic ( );tata1t tata1ta ( )nn24、二倍角的正弦、余弦和正切公式: s