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1、第3章 函数逼近与快速傅里叶变换,3.1 函数逼近的基本概念 3.2 正交多项式 3.3 最佳平方逼近 3.4 曲线拟合的最小二乘法 3.5 有理逼近 3.6 三角多项式与快速傅里叶变换,2019/2/28,课件,2,3.1 函数逼近的基本概念,3.1.1 函数逼近与函数空间,1、数值计算中经常要计算函数值，如计算机中计算 基本初等函数及其他特殊函数；,2、当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该 点集的区间上用公式给出函数的简单表达式.,问题,2019/2/28,课件,3,插值法就是函数逼近问题的一种.,记作 ，,本章讨论的函数逼近，是指“对函数类 中给定的函数,中求函数 ，,使 与 的误
2、差在某种度量,要在另一类简单的便于计算的函数类,意义下最小”.,函数类 通常是区间 上的连续函数，记作 ，,称为连续函数空间.,2019/2/28,课件,4,函数类 通常为 次多项式，有理函数或分段低次多项 式等.,2019/2/28,课件,5,类似地, 记 为具有 阶连续导数的函数空间.,记作 .,对次数不超过 ( 为正整数)的实系数多项式全体，,2019/2/28,课件,6,定义1,设集合 是数域 上的线性空间，元素,如果存在不全为零的数 ，,（1.1）,则称 线性相关.,否则，若等式(1.1)只对 成立，,则称 线性无关.,使得,2019/2/28,课件,7,系数 称为 在基,并称空间
3、为 维空间，,若线性空间 是由 个线性无关元素 生成的，,即对 都有,则 称为空间 的一组基，,记为,下的坐标，,记作,2019/2/28,课件,8,（1.2）,它由 个系数 唯一确定.,考察次数不超过 次的多项式集合 ，,它是 的一组基，,是线性无关的，,且 是 的坐标向量， 是 维的.,表示为,其元素,故,2019/2/28,课件,9,使误差,( 为任给的小正数)，,这就是著名的魏尔斯特拉斯定理.,2019/2/28,课件,10,使,定理1,在 上一致成立.,伯恩斯坦1912年给出的证明是一种构造性证明.,他根据函数整体逼近的特性构造出伯恩斯坦多项式,（1.3）,2019/2/28,课件,
4、11,为二项式展开系数，并证明了,在 上一致成立；,若 在 上 阶导数连续，则,其中,这个结果不但证明了定理1，而且由(1.3)给出了 的一个逼近多项式，但它收敛太慢，实际中很少使用.,2019/2/28,课件,12,更一般地，可用一组在 上线性无关的函数集合,来逼近 ，,可表示为,（1.4）,此时元素,2019/2/28,课件,13,3.1.2 范数与赋范线性空间,为了对线性空间中元素大小进行衡量，需要引进范数 定义，它是 空间中向量长度概念的直接推广. ,2019/2/28,课件,14,定义2 设 为线性空间， ，若存在唯一实数， 满足条件：,（1） 当且仅当 时， （正定性）,（2） (
5、齐次性),（3） (三角不等式),则称为线性空间 上的范数， 与一起称为赋范 线性空间，记为,2019/2/28,课件,15,例如，在 上的向量 三种常 用范数为,称为 范数或最大范数，,称为 1-范数，,称为 2-范数.,2019/2/28,课件,16,而满足1 =1 的向量 则为对角线长 度为1的菱形.,在 中，满足2 =1 ，即 的向量 为单位圆，,满足 =1 ，即 的向量为单位正 方形，,2019/2/28,课件,17,所以说，范数是对向量长度的度量，度量方式不同，,结果也不一样，但不同范数之间是存在等价关系的.,2019/2/28,课件,18,类似地，对连续函数空间 ，若 ,称为 范
6、数，,称为 1-范数，,称为 2-范数.,可以验证这样定义的范数均满足定义2中的三个条件.,可定义三种常用范数如下：,2019/2/28,课件,19,3.1.3 内积与内积空间,若将它推广到一般的线性空间 ，则有下面的定义.,（1.5）,2019/2/28,课件,20,定义3,则称 为X上 与 的内积.,2019/2/28,课件,21,定义中（1）的右端 称为 的共轭，,当K为实数域R时 .,如果 ，则称 与 正交，这是向量相互垂 直概念的推广.,定义了内积的线性空间称为内积空间.,2019/2/28,课件,22,定理2,对 有,（1.6）,称为柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等
7、式.,证明,当 时（1.6）式显然成立.,现设 ，,则 ，,且对任何数 有,取 ，,设X为一个内积空间，,代入上式右端，得,2019/2/28,课件,23,即得 时,2019/2/28,课件,24,定理3,（1.7）,称为格拉姆(Gram)矩阵，,则 非奇异的充分必要条件是 线性无关.,设X为一个内积空间，,矩阵,2019/2/28,课件,25,证明,只有零解；,（1.9）,（1.8）,而,2019/2/28,课件,26,从以上等价关系知，,而后者等价于从（1.9）推出,即 线性无关.,在内积空间X上，可以由内积导出一种范数，即对于,（1.10）,等价于从（1.8）推出,记,2019/2/28
8、,课件,27,两端开方即得三角不等式,（1.11）,利用,2019/2/28,课件,28,例1,与 的内积.,设,（1.12）,向量2-范数为,2019/2/28,课件,29,相应的范数为,（1.13）,若给定实数,称 为权系数，,当 时，,上的加权内积为,（1.13）就是前面定义的内积.,2019/2/28,课件,30,如果 ，,（1.14）,这里 仍为正实数序列， 为 的共轭.,在 上也可以类似定义带权内积.,带权内积定义为,2019/2/28,课件,31,定义4,（1） 存在且为有限值,（2） 对 上的非负连续函数 ，如果,则称 为 上的一个权函数.,则,2019/2/28,课件,32,
9、例2,设,是 上给定的权函数,（1.15）,由此内积导出的范数为,称（1.15）和（1.16）为带权 的内积和范数.,上的内积.,则可定义内积,（1.16）,2019/2/28,课件,33,常用的是 的情形，即,2019/2/28,课件,34,若 是 中的线性无关函数族，,（1.17）,根据定理3可知 线性无关的充要条件是,它的格拉姆矩阵为,记,2019/2/28,课件,35,函数逼近主要讨论给定 ，求它的最佳逼近多项式的问题.,3.1.4 最佳逼近,若 使误差 则称 是 在 上的最佳逼近多项式.,若 则称相应的 为最佳逼近函数.,通常将范数 取为 或,2019/2/28,课件,36,若取 ，
10、即,（1.18）,则称 是 在 上的最优一致逼近多项式.,求 就是求 上使最大误差 最小的多项式.,2019/2/28,课件,37,若取 ，即,则称 是 在 上的最佳平方逼近多项式.,（1.19）,若 是 上的一个列表函数，在 上给出 ，要求 使,则称 为 的最小二乘拟合.,（1.20）,2019/2/28,课件,38,3.2 正交多项式,3.2.1 正交函数族与正交多项式,定义5,（2.1）,则称 与 在 上带权 正交.,2019/2/28,课件,39,若函数族 满足关系,则称 是 上带权 的正交函数族.,若 ，则称之为标准正交函数族.,（2.2）,2019/2/28,课件,40,三角函数族
11、 ,就是在区间 上的正交函数族.,定义6,2019/2/28,课件,41,（2.3）,只要给定区间 及权函数 ，均可由一族线性 无关的幂函数 利用逐个正交化手续构造 出正交多项式序列 ：,2019/2/28,课件,42,正交多项式 的最高次项系数为1. 而若 是正交多项式，则 在 上是 线性无关的.,事实上，若,用 乘上式并积分得,2019/2/28,课件,43,利用正交性有, （1） 任何 均可表示为 的线性组合. 即,由于 ，故 即 线性无关.,关于正交多项式，有,2019/2/28,课件,44,（2） 与任一次数小于 的多项式 正交. 即,除此之外，还有,2019/2/28,课件,45,
12、这里,定理4 设 是 上带权 的正交多项式，对 成立关系,（2.4）,其中,2019/2/28,课件,46,定理5 设 是 上带权 的正交多项式，则 在区间 内有 个不同的零点.,证明 假定 在 内的零点都是偶数重的，则 在 符号保持不变，这与,矛盾.故 在 内的零点不可能全是偶数重的，现设 为 在 内的奇数重零点，不妨设,则 在 处变号.,2019/2/28,课件,47,令,于是 在 上不变号，则得,若 ，由 的正交性可知,这与 矛盾，故 .而 只有 个零点，故 ，即 个零点都是单重的.,2019/2/28,课件,48,3.2.2 勒让德多项式,罗德利克(Rodrigul）给出了简单的表达式
13、,（2.5）,2019/2/28,课件,49,由于 是 次多项式，,所以对其求 阶导数后得,最高项系数为1的勒让德多项式为,（2.6）,于是得首项 的系数,2019/2/28,课件,50,勒让德多项式重要性质：,性质1,（2.7）,证明,令 ，则,设 是在区间 上 阶连续可微的函数，由分部 积分知,正交性,2019/2/28,课件,51,下面分两种情况讨论:,（1） 若 是次数小于 的多项式，,则,故得,2019/2/28,课件,52,则,（2） 若,于是,由于,故,2019/2/28,课件,53,性质2,（2.8）,由于 是偶次多项式，经过偶次求导仍为 偶次多项式，经过奇次求导则为奇次多项式
14、，故 为偶数时 为偶函数， 为奇数时 为奇函数，于是（2.8）成 立.,奇偶性,2019/2/28,课件,54,性质3,考虑 次多项式,两边乘 并从-1到1积分，,递推关系,它可表示为,得,故得,2019/2/28,课件,55,当 时，,其中,左端积分仍为0，,故,于是,为奇函数，,2019/2/28,课件,56,由,从而得到以下的递推公式,（2.9）,利用上述递推公式就可推出,2019/2/28,课件,57,图3-1,图3-1给出了 的图形.,2019/2/28,课件,58, 在区间 内有 个不同的实零点.,性质4,2019/2/28,课件,59,3.2.3 切比雪夫多项式,当权函数 ，区间为 时，由序 列 正交化得到的正交多项式就是切比雪夫 (Chebyshev)多项式.,它可表示为,（2.10）,若令 ，,则,2019/2/28,课件,60,性质1,切比雪夫多项式有很多重要性质：,
