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1、Feb-19,probability,第九章 回 归 分 析,9.1 相关关系与回归分析,9.2 一元回归分析,Feb-19,1 相关关系与回归分析,Ex.1 球的直径 X 与球的体积 V 之间有确定的函数关系,在现实世界中存在大量的变量, 它们有相互依存、相互制约的关系，一般分为两类：确定性关系与非确定性关系.,一. 相关关系与回归函数,Feb-19,Ex.2 随机信号,由振幅 和初相角 确定.,Ex.3 （救救长江）江河上游地区森林覆盖面积Y与下游的水流量X之间的关系.,还有另一类变量关系，如：,Ex.4 农作物产量Y与降雨量 X1 ，氮、磷、钾的施肥量X2 、X3 、X4 之间的关系.,
2、Feb-19,EX. 5 产品的价格X与需求量M之间存在关系.,特点 变量间的关系无法用确定的函数来明确表述.,问题 如何描述变量间的各类关系？,将作为考察目标的变量称为因变量(记为Y), 而将影响它的各个变量称为自变量或可控变量, 记为,(X1，X2，. Xk),Feb-19,1.确定性的函数关系,用第三章方法可求随机变量函数的分布.,若已知随机变量X的分布就可以确定函数,的分布.,由振幅和初相角的分布可以完全确定随机信号,的分布.,Feb-19,2.非确定性的相关关系,EX. 6 已测得SCS系统的输入和输出信号，如何确定输入和输出之间的关系？（P228非线性交调的频率设计）,设想 构造某
3、种函数来描述输入和输出之间的非确定关系.,Feb-19,考虑单个因变量Y与单个自变量X的情形.,1) (x)可理解为在“X=x ” 的条件下，随机变量Y 取值的集中点；,随机变量的相关关系引进：,在“X=x”时，Y (连续型)的条件数学期望为,Feb-19,对于X的不同取值x1, x2, , xn,x1,x2,x3,方程y =(x),Feb-19,将可控变量X1，X2，. Xk的取值记为x1, x2., xk,存在，称Y 与X1，X2，. Xk具有相关关系.,若条件数学期望：,2）方程 y =(x) 描述了Y 与 X 间非确定性的关系.,相关关系是一种非确定性关系,Feb-19,定义9.1.1
4、 称,为Y 关于X1，X2，. Xk的回归函数，,称为Y 对 X1，X2，. Xk的回归方程.,方程,注 回归函数是确定性的函数.,回归分析是从回归函数出发处理相关关系的方法.,Feb-19,高尔顿，生物统计学派的奠基人，他的表哥达尔文的巨著物种起源问世以后，触动他用统计方法研究智力遗传进化问题，第一次将概率统计原理等数学方法用于生物科学，明确提出“生物统计学”的名词. 统计学上的“相关”和“回归”的概念是由高尔顿首先引进。,“回归”一词的由来,Feb-19,高尔顿的学生卡尔皮尔逊（Karl Pearson ）测量了1078个父亲及其成年儿子的身高.,Feb-19,1870年，高尔顿在研究人类
5、身长的遗传问题时，发现下列关系： 1. 高个子的父亲有着较高身材的儿子，而矮个子父亲的儿子身材也比较矮 ; 2. 高个子父母的子女，其身高有低于其父母身高的趋势; 3. 而矮个子父母的子女，其身高有高于其父母的趋势; 即有“回归”到平均值的趋势，这就是统计学上最初出现“回归”时的涵义.,Feb-19,得数学模型：,设想：Y= + 随机误差,可视为随机误差，通常要求:,其它未知的、未考虑的因素以及随机因素的影响所产生.,3.回归模型的引进,若Y 关于X1，X2，. Xk的回归函数为,Feb-19,建立模型涉及三个问题：,2 是用回归函数近似因变量Y产生的均方误差.,1) 确定对因变量Y 影响显著
6、的自变量；,2) 确定回归函数 (x)的类型；,3) 对参数进行估计.,1) E()=0;,2) D()= E(2)=2 尽可能小.,本章内容,Feb-19,二. 回归函数类型的估计确定,实际问题中，通常未知回归函数形式.,回归分析的基本思想： 根据自变量X1，X2，. Xk与因变量Y的观察值去估计回归函数.,本节仅讨论最简单的情形：可控变量Y关于单个因变量X的回归函数存在,Feb-19,为估计回归函数，可依据问题的背景，确定或假定回归函数的形式.称,问题的提法 对两个变量X、Y 间的回归函数 y=(x)，选择某个函数S(x) 作为其估计函数：,常通过分析数据散布图获得对变量间相关关系的初步认
7、识.,为Y关于X的经验回归方程.,Feb-19,例9.1.1 身高体重关系,希望根据某地区人的15对身高h 和体重数据m，用简洁的函数关系式描述该地区人的身高体重的对应关系.,呈现幂函数的增长趋势，可设,其中a, b是待定参数.,Feb-19,例9.1.2 施肥效果分析,某地区作物生长所需的营养素主要是氮(N)、钾(K)、磷(P).某作物研究所在某地区对土豆做了一定数量的实验,实验数据如下列表所示,其中ha表示公顷,试分析施肥量与土豆产量之间关系.,Feb-19,N P K,Feb-19,土豆产量氮肥量数据散布图,Feb-19,土豆产量磷肥量数据散布图,可选,Feb-19,思考 是否能由数据散布图完全确定回归函数的类型和形式？,结论 仅是初步感性的认识，需进行检验.,问题 观察法的依据？,根据小概率实际推断原理，做一次试验得到的数据最可能密集在其回归曲线及其附近.,因回归函数(x) 为在“X=x ” 的条件下Y的数学期望，随机变量Y 取值的集中点.,
