《11-12(二)《高数(文)2》期末考试(A)卷解答》由会员分享，可在线阅读，更多相关《11-12(二)《高数(文)2》期末考试(A)卷解答（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 共 4 页 上海应用技术学院 2011 2012 学年第二学期 高等数学（ 文 ）期 末（ A） 试卷 评分标准 一 选择题 (在每个小题列出的四个选项中只有一个符合题目的要求，请将正确选项前的字母填在括号内 )（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分） 1 C； 2 B； 3 A； 4 B； 5 C ； 6 A； 7 C； 8 D 二填空题 (请将答案直接填在空格内 )（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 9 2 2 2( , ) 4 , 4x y x y y x ； 10 c o s ( ) s in ( )xy y xy ； 11z xze xy；
2、12 11 x； 13 yx； 14 3121 c o s6y x x C x C 三计算题（本大题共 9 小题，每小题 6 分，共 54 分） 15设 )2sin( yxez x ，求)4,0( xz ， )4,0( yz 解： xz )2c o s ()2s in ( yxeyxe xx （ 2 分） 1)4,0( xz （ 3 分） yz )2cos(2 yxe x （ 5 分） 0)4,0( yz （ 6 分） 16 设 ()z f u ，其中 xyxyu ，且 f 为可导函数，求 xz 和yz 解： xz ()ufux2()yyf xy yxx （ 3 分） 第 2 页 共 4 页
3、xz ()ufuy 1()yf xy xxx （ 6 分） 17 设 vuez ，而 22 yxu ， xyv ，求 xz ，yz 解： xvvzxuuzxz )2(2 yuxeyuexe vvv （ 2 分） )2( 32 yyxxe xy （ 3 分） yvvzyuuzyz )2(2 xuyexueye vvv （ 5 分） )2( 23 xyxye xy （ 6 分） 18 计算二重积分 D dxy ，其中 D 由 4,2,2, xxxyxy 所围成的闭区域 解： D ： 242xx y x y （ 1 分）D dxy dyxydx xx 242 （ 3 分） xy 2 4223 xdx
4、 （ 5 分） xy 9 （ 6 分） o 2 4 x 19 计算二重积分 D dxdyxy2 ，其中 D 是由抛物线 xy 2 与 直线 1x 所围成的闭区域 解： D ： 1112 xy y （ 1 分） y D dxdyxy2 1 211 2y dxxydy （ 3 分） O 1 x 11 122 221 dyxy y （ 4 分） xy 2 第 3 页 共 4 页 11 42 )1(21 dyyy （ 5 分） 10 42 )1( dyyy 214 （ 6 分） 20 求微分方程 xnexyxndxdy 满足初始条件 eyx 1 的特解 解： cdxeexey dxxnxndxxn （
5、 2 分） lnln cdxeexe xnxnxn （ 3 分） cdxex xn （ 4分） )( cex xn （ 5 分） 将初始 条件 eyx 1 代入，得到 0c 所以， 方 程 满足初始条件 eyx 1 的特解为 xnexy （ 6 分） 21判别数项级数12!nn n的收敛性 解： 11 2!lim lim( 1 ) ! 2nnnnnnu nun （ 2 分） 2lim 01n n1. （ 5 分） 所以原级数收敛 （ 6 分） 22求幂级数 0 )1(2)1(n nnnnx的收敛域 解：nnn aa 1lim 12 ( 1) 1lim 2 ( 2 ) 2nnnnn （ 2 分）
6、 所以 2R ，收敛区间为 ( 2, 2) （ 4 分） 当 2x 时级数发散，而当 2x 时级数收敛，所以 幂级数 收敛域为 ( 2,2 （ 6 分） 第 4 页 共 4 页 23 设 )3ln()( xxf ，试将 )(xf 展开为 1x 的幂级数 解： )3ln()( xxf )1(4ln x )4 11ln(4ln x （ 2 分） nnn xn )4 1(1)1(4ln11 1411 （ 5 分） nn nn xn )1(41)1(4ln11 53 x （ 6 分） 四应用与证明题（ 本大题共 2 小题，每题 6 分 ,共计 12 分 ） 24 求 函数 2( , ) ( 2 )xf
7、 x y e x y y 的极值 解： 22( 2 ) 1 ( 1 2 )x x xxf e x y y e e x y y （ 1 分） (2 2)xyf e y （ 2 分） 21 2 010x y yy ，求得驻点 (0, 1) （ 3 分） 2( 2 2 )xxxf e x y y ， (2 2)xxyf e y， 2 xyyfe （ 4 分） 在 (0, 1) 处， 1A ， 0B ， 2C ， 2 20AC B ， 0A ， （ 5 分） 所以函数 ( , )f xy 在 (0, 1) 处取得极小值 1 (6 分） 25设 )(yf 在 0,1 上连续，求证： 11 20 0 01( ) ( ) ( 1 ) ( )2xdx x y f y dy y f y dy 证明： y 交换积分次序 1 1 10 0 0( ) ( ) ( ) ( )x yd x x y f y d y d y x y f y d x （ 3 分） 1 1 210 1( ) ( ) 2 yf y x y dy （ 5 分） 1 201 (1 ) ( )2 y f y dy （ 6 分） O 1 x
