《2015步步高高中数学文科文档第八章8.2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015步步高高中数学文科文档第八章8.2（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、8.2空间点、直线、平面之间的位置关系1.平面的基本性质公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2.直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类Error!(2)异面直线所成的角定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 aa，bb，把 a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a，b 所成的角(或夹角).范围： .(0，23.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况.4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况
2、.5.公理 4平行于同一条直线的两条直线互相平行.6.定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)如果两个不重合的平面 ， 有一条公共直线 a，就说平面 ， 相交，并记作 a.()(2)两个平面 ， 有一个公共点 A，就说 ， 相交于过 A 点的任意一条直线. ()(3)两个平面 ， 有一个公共点 A，就说 ， 相交于 A 点，并记作 A. ()(4)两个平面 ABC 与 DBC 相交于线段 BC. () (5)经过两条相交直线，有且只有一个平面. ()2.已知 a，b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c
3、 与 b ()A.一定是异面直线 B.一定是相交直线C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线答案C解析由已知得直线 c 与 b 可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若bc，则 ab，与已知 a、b 为 异面直线相矛盾.3.下列命题正确的个数为 ()经过三点确定一个平面梯形可以确定一个平面两两相交的三条直线最多可以确定三个平面如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合A.0 B.1 C.2 D.3答案C解析经过不共线的三点可以确定一个平面， 不正确；两条平行线可以确定一个平面， 正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面， 正确；命题中没有说清三个点是否共线，不正确.4.如
4、图， l，A、B，C ，且 Cl，直线 ABlM，过A，B，C 三点的平面记作 ，则 与 的交线必通过 ()A.点 AB.点 BC.点 C 但不过点 MD.点 C 和点 M答案D解析AB ，MAB，M.又 l，Ml，M.根据公理 3 可知，M 在 与 的交线上.同理可知，点 C 也在 与 的交 线上.5.已知空间四边形 ABCD 中，M、N 分别为 AB、CD 的中点，则下列判断：MN (ACBD) ；MN (ACBD) ；MN (AC BD)；MN (ACBD).12 12 12 12其中正确的是_.答案解析如图，取 BC 的中点 O，连接 MO、NO，则 OM AC，ON BD，12 12
5、在MON 中，MNOMON (ACBD)，12正确.题型一平面基本性质的应用例 1 如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别是 AB 和AA1的中点.求证：(1)E、C、D 1、F 四点共面；(2)CE、D 1F、DA 三线共点.思维启迪(1)两条相交直线或两条平行直线确定一个平面；(2)可以先证 CE 与 D1F 交于一点，然后再证该点在直线 DA 上.证明(1)连接 EF，CD1，A1B.E、F 分别是 AB、AA1 的中点，EFBA 1.又 A1BD 1C，EF CD 1，E、C、D 1、F 四点共面.(2)EFCD 1，EFCD1，CE 与 D1F 必相交，设交点为
6、 P，则由 PCE，CE平面 ABCD，得 P平面 ABCD.同理 P平面 ADD1A1.又平面 ABCD平面 ADD1A1DA ，P直线 DA.CE、D 1F、DA 三线共点.思维升华公理 1 是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理 2 及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理 3 是证 明三线共点或三点共线的依据 .(1)以下四个命题中不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点 A、B 、C、D 共面，点 A、B、C 、E 共面，则点 A、B、C、D、E 共面；若直线 a、b 共面，直线 a、c 共面，则直线 b、c 共面；依次首尾相接的四条线段必共面.正确命题的个数是 ()A.0 B.
7、1 C.2 D.3(2)a、b 是异面直线，在直线 a 上有 5 个点，在直线 b 上有 4 个点，则这 9 个点可确定_个平面.答案(1)B(2)9解析(1)假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面.这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以 正确.从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若 A、B、C 共线 ，则结论不正确；不正确；不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空 间四边形.(2)a、b 是异面直线，a 上任一点与直线 b 确定一平面，共 5 个， b 上任一点与直 线 a 确定一平面，共 4 个，一共 9 个.题型二判断空间两直线的位置
8、关系例 2 如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M、N 分别是A1B1、B 1C1的中点.问：(1)AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由；(2)D1B 和 CC1 是否是异面直线？说明理由 .思维启迪第(1)问， 连接 MN，AC，证 MNAC，即 AM 与 CN 共面； 第(2)问可采用反证法.解(1)不是异面直线.理由如下：连接 MN、A1C1、AC.M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点，MNA 1C1.又A 1A 綊 C1C，A 1ACC1为平行四边形，A 1C1AC，MNAC，A、M、N 、C 在同一平面内，故 AM 和 CN 不是异面直线.(2)是异面直线.证明
9、如下：ABCDA 1B1C1D1 是正方体，B、C、C 1、D1 不共面.假设 D1B 与 CC1 不是异面直线，则存在平面 ，使 D1B平面 ，CC1平面 ，D 1、B、C、C1，与 ABCDA1B1C1D1 是正方体矛盾.假设不成立，即 D1B 与 CC1 是异面直线.思维升华(1)证明直线异面通常用反证法；(2)证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等；(3)利用公理 4 或平行四边形的性质证明两条直线平行.(1)如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，M，N 分别是BC1，CD 1的中点，则下列判断错误的是 ()A.MN 与 CC1 垂直 B.MN 与 AC 垂直C
10、.MN 与 BD 平行 D.MN 与 A1B1 平行(2)在图中，G、 N、M 、H 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH、MN 是异面直线的图形有_.( 填上所有正确答案的序号)答案(1)D(2)解析(1)连接 B1C，B1D1，则点 M 是 B1C 的中点， MN 是B 1CD1 的中位线， MNB 1D1，CC 1B 1D1，ACB 1D1，BDB 1D1，MNCC 1，MNAC，MNBD .又A 1B1 与 B1D1 相交，MN 与 A1B1 不平行，故选 D.(2)图中，直线 GHMN；图中，G、H、N 三点共面，但 M面 GHN，因此直线 GH 与 MN 异面；图中，
11、连接 MG，GMHN ，因此 GH 与 MN 共面；图中，G、M、N 共面，但 H面 GMN，因此 GH 与 MN 异面.所以图、中 GH 与 MN 异面.题型三求两条异面直线所成的角例 3 空间四边形 ABCD 中，ABCD 且 AB 与 CD 所成的角为 30，E、F 分别为 BC、AD 的中点，求 EF 与 AB 所成角的大小.思维启迪取 AC 中点，利用三角形中位线的性质作出所求角.解取 AC 的中点 G，连接 EG、FG，则 EG 綊 AB，GF 綊 CD，12 12由 ABCD 知 EGFG ，GEF(或它的补角)为 EF 与 AB 所成的角， EGF (或它的补角)为 AB 与
12、CD 所成的角.AB 与 CD 所成的角为 30，EGF30或 150.由 EGFG 知EFG 为等腰三角形，当EGF30时，GEF 75；当EGF150时，GEF 15.故 EF 与 AB 所成的角为 15或 75.思维升华(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点) 作平行 线平移；补形平移.(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点” ，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形 问题， 进而求解.直
13、三棱柱 ABCA 1B1C1 中，若BAC90，ABACAA 1，则异面直线BA1 与 AC1 所成的角等于 ()A.30 B.45 C.60 D.90答案C解析如图，可补成一个正方体，AC 1BD 1.BA 1 与 AC1 所成角的大小 为A 1BD1.又易知A 1BD1为正三角形，A 1BD160.即 BA1 与 AC1 成 60的角.求解两条直线所成角问题概念不准确致误典例：(5 分) 过正方体 ABCDA 1B1C1D1 的顶点 A 作直线 l，使 l 与棱 AB，AD ，AA 1 所成的角都相等，这样的直线 l 可以作 ()A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条易错分析忽视异
14、面直线所成的角，只找两条相交直 线所成角，没有充分认识正方体中的平行关系.解析如图，连接体对角线 AC1，显然 AC1 与棱 AB、AD、AA1 所成的角都相等，所成角的正切值都 为 .联想正方体的其他体对角线，如连2接 BD1，则 BD1 与棱 BC、BA、BB1 所成的角都相等，BB 1AA 1，BCAD，体对角线 BD1 与棱 AB、AD、AA1 所成的角都相等，同理，体对角线 A1C、DB1 也与棱AB、AD、AA1 所成的角都相等， 过 A 点分别作 BD1、A1C、DB1 的平行线都满足题意，故 这样的直线 l 可以作 4 条.答案D温馨提醒求空间直线所成的角时，常犯以下错误：(1
15、)不能挖掘题中的平行关系，找不到其所成的角；(2)线多、图形复杂、空间想象力不够，感觉无从下手.方法与技巧1.主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法 ”).(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理 3 可知这些点在交 线上，因此共 线.2.判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判 定 定 理 ：平 面 外 一 点 A 与 平 面 内 一 点 B 的 连 线 和 平 面 内 不 经 过 该 点 B 的 直 线 是 异 面 直 线 .(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.3.求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移 动直线，把异面 问题转化为共面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知，异面直 线所成角的大小与 顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(
