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1、一元三次函数性质与图象探索高中部 宋润生我们已经学习了一次函数，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在最大值与最小值，在某一区间取得最大值与最小值那么，是什么决定函数的单调性呢？利用已学过的知识得出：当k0时函数单调递增；当k0、,在图6中a0、或a0、或a0、或a0三次函数图象的对称性：三次函数的图象是中心对称图形，其对称中心是（-b/3a，f(-b/3a)）（三次函数的图象经过平移后能得到奇函数图象，可以用待定系数法求得）三次函数的图象的对称中心在其导函数的图象对称轴上若三次函数有极值，那么它的对称中心是两个极值点的中点根据以上性质可以灵活解决三次函数问题：例1、设，讨论关于x
2、的方程的相异实根的个数？解：分析：要讨论方程根的个数，直接求解非常困难，根据题意，需把方程转化为函数问题，即方程变成，设，这转化为讨论函数与交点的个数函数的导数的两根为(如图16) 函数的极大值是，函数的极小值是，（1）当或时，函数与只有一个交点，即方程只有一个根（2）当或时，函数与只有两个交点，即方程只有两个根（3）当时，函数与有三个交点，方程有三个根图16例2、已知函数是R上的奇函数，当时f(x)取得极值（1）求f(x)的单调区间和极大值； （2）证明对任意，不等式恒成立解：（1）函数f(x)是奇函数，所以，函数f(x)的导数依题意得,解得所以导数，(如图17)时，函数f(x)单调递增；时，函数f(x)单调递减；所以（2）如图17 对任意， 函数f(x)单调递减，所以图17一般地在导数有两根且时，在处；在处，对任意都有 我们利用研究函数的性质的方法和导数知识能够轻松研究三次（高次）函数的性质，使学生既学到了新知识，又巩固了旧知识，充分利用好导数知识，能更有效解决三次函数的极值、对称性、证明不等式等问题找到较好的解决办法第 11 页 共 11 页
