传热与流体流动的数值计算(45章

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1、传热与流体流动的数值计算,美 S.V. 帕坦卡 著 同济大学机械工程学院 朱 彤,第四章 热传导,4-1 本章的对象 着手构建一个求解通用微分方程的数值方法 构成一个求解通用微分方程的数值方法，略去对流项。 其他一些物理过程也由非常类似于热传导方程的数学方程所控制。 本章完成了随后几章所需要的若干预备性的工作，提出代数方程的求解方法。,基本方程 稳态一维问题的控制微分方程： 推导出离散化方程,4-2 一维稳态热传导,-网格间距,网格点距离(x)e与(x)w没有必要相等。 虽然只有在网格相当细时才可能得到精确的解，但是在因变量随x变化相当慢的区域没有必要采用细的网格；在Tx变化较陡的区域则需要细

2、的网格。 误区：不均匀网格的准确度比均匀网格差。 设计一个合适的非均匀网格： 从解的定性预计得到指导。 用初步粗网格的解求得Tx变化形式；然后构成合适的非均匀网格。 先进行预备性的实验或探索性试验，然后应用得到的数据资料确定在最终的实验中所应安装的探头位置和数目。,-界面导热系数ke,最直截了当的方法是假设k在P点和E值间呈线性变化：,其中插入因子,在某些情况下这种简单化会导致相当不准确的结果；而且这样做不可能精确处理组合材料中可能遇到的导热系数的突然变化。 一种替代方法： 得到一个通过下式描述的界面热流密度qe的良好表达式：,(4.5),(4.6),(4.7),讨论这样一种情况：围绕着网格点

3、P的控制容积由具有均匀导热系数kP的材料填满，围绕着E点的控制容积由导热系数kE的材料填满，对于P点和E点之间的组合板，根据稳态无内热源一维导热的分析，有：,合并得：,当界面l位于P和E之间的中点时，有fe=0.5，有：,上式说明ke是kP和kE的调和平均值，而非给出的平均值。,(4.8),(4.9),(4.10),应用于系数的定义式，得到aE：,其效能可由两种极限情况看出： 令kE 0，则有ke 0（ 4.12 ），即一个绝热层表面上的热流密度为0。 令kPkE，那么kekE/fe （4.13） 。表明界面的导热系数ke完全与kP无关； ke不等于kE ，而是它的1/ fe 。 目的是通过（

4、4.7）得到一个正确的qe，应用(4.13)，得： 当kPkE时，温度Tp将一直扩展到界面e，而温降Tp-TE将实际上发生在距离(x)e+内。 两个极限情况讨论表明这个公式可以适用于导热系数突然变化的情况，而无需在发生突变的邻近区域采用极细的网格。,(4.11),(4.14),-非线性,即便是在热传导问题中我们也经常遇到非线性的情况。如离散化方程中的系数本身与T有关。我们用迭代的方法来处理。过程包括： 一开始在所有各个网格点上，猜测或估计一个T值。 由这些估计的T值，计算出离散化方程中的系数的试探值。 解名义上的线性化方程组，得到一组新的T值。 以这些T值作为较好的估计值，返回到第二步并重复整

5、个过程，直到这种进一步的重复计算（迭代）不再引起T值任何有意义的变化为止。 这种最终不变的状态叫做迭代的收敛。与之相反，迭代永远也不会收敛到一个解的状态称为发散。,-源项的线性化,当源项S与T有关时，用方程（4.4）给出的线性形式表达。 当S是T的一个非线性函数时，必须把它线性化，即规定SC和SP的值。有很多方法可以把给定的S表达式分解成SC和SP。如： 已知S=4-5T3。某些可能的线性化： 1. SC =4-5Tp*3，Sp=0。这种做法不能很好利用已知ST关系的有利条件。 2. SC =4， Sp= -Tp*3 。看起来像准确的线性化，但已知的曲线比这一关系所反映的曲线要陡。 3. 推荐

6、的方法： 在点Tp* ，所 选择的直线与 ST曲线相切。,4. SC =4+20Tp*3，Sp= -25Tp*2。这一线性化比已知的ST曲线陡，使收敛速度降低。 四种可能的线性化与实际曲线比较如图：,-边界条件,讨论图中所示网格点组。 在两个边界上各有一个网格 点。其余网格点称为内点。 围绕每个内点有一个控制容 积。对每一个控制容积可以 写一个像方程（4.2）那样的离散化方程，如果看作是关于Tp的方程，那么就有了对所有内网格点上未知温度所必要的方程。其中有两个方程包含着边界网格点上的温度。通过处理这些边界温度，就把已知的边界条件引入到数值解法中。 热传导问题中有三类典型边界条件，对于每一种有：

7、 1. 已知边界温度。此时不需要外加 任何方程。 2. 已知边界热流密度。得到：,(4.16),Boundary conditions,如果边界上的热流密度qB已知，则要求的对TB的方程变成： 3. 通过放热系数和周围流体的温度来规定边界的热流密度。如果热流密度qB是放热系数h以及环境流体温度Tt规定，那么，方程TB方程变为：,这样就构成了对所有未知温度的足够数量的方程。,-线性代数方程的解,一维离散化方程的解可以用标准的高斯消去法得到。 当写这些方程的系数矩阵时，所有的非零系数均排列在矩阵的三角对角线上，这种算法称为TDMA（三对角矩阵算法）。 设网格点标号为1，2，3，N，其中1和N代表边

8、界点。有： 边界温度已知时，对边界点的方程只剩下一个无意义的形式。(如c1=0,bN=0) T2可以用T3的一个关系式表示，.， TN 可以由TN+1表示，回代就是TDMA的要点。,(4.22),TDMA,what happens when a boundary temperature is given ?,TDMA,TDMA,TDMA 算法,计算： P1=b1/a1 and Q1=d1/a1 使用迭代关系式，获得 Pi 和 Qi ，i=2,3N. 设 TN =QN 使用迭代关系式，得到 Ti =Pi Ti+1 +Qi ， i=N-1, N-23, 2, 1 从而依次得到 TN-1, TN-2

9、, T3, T2, T1.,通用的离散化方程 时间是一个单向坐标，由一已知的初始温度分布开始，沿着时间坐标逐步向前求解：已知t时刻T在网格点上的值，求得t+t时刻值。 对整个控制容积积分方程： 得到：,4-3 非稳态一维热传导,假设在网格点上的T值代表整个控制容积上的值，最后得到：,假设用下式归纳一般化有关TP、TE和TW如何随时间由t到t+t而变化的关系： 其中f是在0和1之间变化的加权因子。于是：,改写后得：,-显式，克兰克-尼科尔森模式，以及全隐式模式,对于某个特定的加权因子f的值，离散化方程可简化为适用于抛物线型微分方程的我们所熟悉的模式之一。f=0导致显式模式；f=0.5导致克兰克-

10、尼科尔森模式；f=1导致全隐式模式。 不同f值可以由图中所示关系来说明： 显式模式假设老的值代表除了时刻 t+t以外整个时间间隔上的Tp值； 全隐式模式假设在时刻t， Tp的值突 然降了，而后整个时间步上保持为降 后的值，于是整个时间步期间温度为 新值所确定。 克兰克-尼科尔森模式假设Tp呈线性 变化。 如果我们要求方程（4.36）中系数 务必永不为负，只有f=1。即全隐式 模式能够满足我们简单而物理上又 满意的要求。,f=1,显式格式Explicit scheme,for:,in order to give realistic solutions,Crank-Nicolson格式,can g

11、ive unrealistic solutions,隐式格式Implicit scheme,always gives realistic solutions,-全隐式离散化方程,线性化源项结果： t趋近于无穷大时，这个方程简化为稳态的离散化方程。 全隐式模式主要原则：Tp的新值代表整个时间步上的值。因此如果导热系数kp与温度有关，就应当反复由它迭代算得新值。稳态程序的其他环节，如边界条件、源项线性化处理以及TDMA也都完全适用于不稳态问题。,4.4 Unsteady2-D heat conduction,Discretized unsteady 2-D heat conduction equa

12、tion,Unsteady 3-D heat conduction equation,Discretized unsteady 3-D heat conduction equation,-三维问题的离散化方程,加入两个z方向的相邻点T和B（项和底）构成三维的网格图形。 相邻系数aE、aW、aN、aB代表P点与相邻点之间的热导；a0PT0P是t时刻控制容积内部所包含的内能（除以t）常数b由这一内能项与由Sc所造成的在控制容积内的发热率组成。中心点系数ap是所有相邻点系数之和，并包括一项由线性的源项所作的贡献。,-代数方程的解,迭代法 高斯-赛德尔逐点计算法 按一定的顺序逐个访问每一个网格点，以计

13、算那里的变量值。在计算机内值需要存储一组T值。开始，这些值代表最初的估计值或上一次迭代得到的值，在访问每一个网格结点时，在计算机存储中相应的T值交替改变。 这种方法不是总可以得到收敛解的。斯卡巴勒准则：高斯-赛德尔法收敛的充分条件是： 中， 这种方法的主要缺点是收敛速度太慢，特别是网格点数很大时。,逐行法 把TDMA和高斯-赛德尔法结合起来。选择一条网格行（设在y方向选取这样的网格行），假定沿相邻的行上的T值批最新值构成。用TDMA法求得所选行上的T值。将在同一方向的所有行进行这种计算。如果想做的话，再按相同的方法在其他方向重复上述程序。 以二维为例，如图所示的情况需要注意：,其它一些迭代方法

14、 ADI（方向交替的隐式）的逐行求解法；解多维离散化方程的强隐式法（SIP）,依前后二次迭代之间因变量的变化究竟是被加速还是被减慢的过程称为超松弛或欠松弛。超松弛常用于和高斯-赛德尔法相结合，叫做持续超松弛（SOR）；欠松弛在强烈非线性方程组的迭代求解中用来避免发散。 取T*p作为前一次迭代所得Tp值。 引进松弛因子，得到： 可以根据经验以及对所给定的问题所作的试探性计算求得一个合适的值。,4-5 超松弛和欠松弛(overrelaxation and underrelaxation),通用惯量进行松弛。用下面公式代替离散化方程： 式中i是所谓的惯量。对于正的i值，方程具有欠松弛作用；对于负的i

15、则产生超松弛。,控制容积面的位置 讨论控制容积面构成的两种不同的替代形式，并讨论它们各自有关的优点。为方便起见，描述针对二维问题。 方法A：控制容积面放在两个网格之间的中点。,4-6 某些几何上的考虑,结果是：一个典型的网格P并不落在包围该点得控制容积的几何中心上。,方法B： 网格点放在控制容积的中心： 克服了A的缺点。 具有方便性。,我们所提出的这种方法不只限于直角坐标系，还可以用于任意一种正交坐标系。以二维极坐标问题为例，与方程 对应的r形式是： 其中的网格与控制容积如图示： 设控制容积在z方向厚度为1，方程 两边乘以r，并在整个控制容积范围 内对r和进行积分，得到下面的离散 化方程：,4

16、-6 其它坐标系,由一个新的坐标系引入的补充特征主要是几何上的特征。,5-1 任务 在通用微分方程中将对流项考虑进去，只要对流项的加入不改变离散化的形式，同样的处理方法仍然适用。 本章任务是：在已知的流场（即速度分量和密度）的情况下，求得对的解。 已知流场必须满足连续性方程：,第五章 对流与扩散,通用微分方程 也可以改写为：,对于已知的、uj、以及S的分布，任何解及其变体（ 加一常量）将同时满足方程，关于系数和的基本原则仍然适用。,讨论只有对流与扩散这两项存在的情况下的一维稳态问题。 控制微分方程： 应用图示三网点群：,5-2 一维稳态对流与扩散,- 预备性的推导,在整个控制容积内对方程（5.4）积分： 由对的一个分段线性分布表示项d/dx。结果是： 因子1/2出自界面位于中点的假设；对不同的界面位置要采用其它内插因子。则方程（5.6）写成：,定义两个新的符号： 两者具有相同因次， F表示对流或流动的强度；D是扩散传导性。（注意，D永远为正，而F不同）