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1、1,RICHIAMI ELEMENTARI DI ALGEBRA MATRICIALE MATRICE INSIEME ORDINATO DI NUMERI DISPOSTI IN RIGHE E COLONNE ELEMENTO GENERICO i = 1, 2, , M (righe); j = 1,2, , N (colonne). MATRICE RETTANGOLARE DI DIMENSIONE M*N SCALARE VETTORE COLONNA VETTORE RIGA,2,SE M=N UNA MATRICE QUADRATA: LA TRACCIA DI UNA MAT
2、RICE QUADRATA DATA DALLA SOMMA DEGLI ELEMENTI DIAGONALI. LA MATRICE DIAGONALE UNA MATRICE QUADRATA FORMATA DA TUTTI ZERI AD ECCEZIONE DEI VALORI SULLA DIAGONALE PRINCIPALE:,3,LA MATRICE IDENTIT UNA MATRICE DIAGONALE CON ELEMENTI DIAGONALI UNITARI: OPERAZIONI CON LE MATRICI UGUAGLIANZA SE SOMMA DEFIN
3、ITA SE SONO DELLO STESSO ORDINE E,+ =,4,=,ESEMPIO PRODOTTO SCALARE SE K UNO SCALARE, ALLORA ESEMPIO,=,5,PRODOTTO TRA MATRICI CON ELEMENTO ESEMPIO: ESEMPIO NUMERICO:,(3*2) (2*2),(2*3) (3*2),(3*2),(2*2),ATTENZIONE,6,TRASPOSIZIONE LA TRASPOSTA DELLA MATRICE ESEMPIO TEOREMI,7,MATRICE SIMMETRICA SE UNA M
4、ATRICE QUADRATA ED ALLORA UNA MATRICE SIMMETRICA. FORME QUADRATICHE SE UNA MATRICE QUADRATA DI ORDINE M*M, UN VETTORE DI ORDINE M*1, IL PRODOTTO PRENDE IL NOME DI FORMA QUADRATICA. ESEMPIO:,8,SE: POSITIVA DEFINITA POSITIVA SEMIDEFINITA NEGATIVA DEFINITA NEGATIVA SEMIDEFINITA DETERMINANTE AD OGNI MAT
5、RICE QUADRATA SI ASSOCIA UNO SCALARE DETTO DETERMINANTE, INDICATO GENERICAMENTE , CALCOLATO CON CERTE REGOLE RIPORTATE NEL PROSEGUIO. SE LA MATRICE NON SINGOLARE E SE LA MATRICE SINGOLARE METODO DI CALCOLO IN UNA MATRICE QUADRATA SI DEFINISCE MINORE IL DETERMINANTE DELLA MATRICE DA CUI STATA TOLTA L
6、A i-esima RIGA E LA j-esima COLONNA. SE SI MOLTIPLICA PER SI DEFINISCE IL COFATTORE .,9,IL DETERMINANTE DI SI OTTIENE COME SEGUE: SE 2*2, CIO: SE LA MATRICE 3*3, CIO: MA,10,TEOREMI SE DUE RIGHE/COLONNE DI SONO UGUALI ALLORA ; SE SI SCAMBIANO DUE RIGHE/COLONNE IN CAMBIA IL SEGNO DEL ; SE OGNI ELEMENT
7、O IN MOLTIPLICATO PER UNO SCALARE, ANCHESSO MOLTIPLICATO PER TALE SCALARE; SE IN OGNI RIGA/COLONNA OGNI ELEMENTO SOMMATO AD UN MULTIPLO DI UNALTRA RIGA/COLONNA, NON CAMBIA.,11,INVERSIONE DI UNA MATRICE LINVERSA DI UNA MATRICE QUADRATA UNA MATRICE CHE PRE O POST MOLTIPLICATA PER PRODUCE LA MATRICE ID
8、ENTIT, CIO: IN ALTRI TERMINI, LINVERSA DI SE E SOLO SE: E CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE PERCH POSSEGGA LINVERSA CHE ,CIO SE NON SINGOLARE. PER OTTENERE BISOGNA DEFINIRE LA MATRICE AGGIUNTA DI (INDICATA CON ) CHE LA TRASPOSTA DELLA MATRICE DEI COFATTORI, CIO:,12,LINVERSA DI SI OTTIENE DA: ESEMP
9、IO: QUINDI:,13,ESEMPIO NUMERICO DERIVAZIONE IN FORMA MATRICIALE SE UNO SCALARE ED UN VETTORE COLONNA LA DERIVATA PRIMA DI y RISPETTO AD OGNI ELEMENTO DI DEFINITA DA:,14,VALGONO POI LE SEGUENTI REGOLE DI DERIVAZIONE -SE UN VETTORE COLONNA DI M COMPONENTI COSTANTI -SE UNA MATRICE SIMMETRICA DI ORDINE
10、M*M CON ELEMENTO TIPICO COSTANTE,15,- SE E SONO MATRICI SIMMETRICHE DI ORDINE M*M CON ELEMENTI GENERICI COSTANTI,16,IL MODELLO DI REGRESSIONE MULTIPLA IN FORMA MATRICIALE IL MODELLO PU ESSERE VISTO ANCHE COME: SE VETTORE COLONNA (N*1),17,MATRICE (N*K) VETTORE VETTORE COLONNA COLONNA (K*1) (N*1) IL M
11、ODELLO DIVIENE:,18,(N*1) (N*K) (K*1) (N*1) LA MATRICE HA ELEMENTO GENERICO IN CUI LINDICE j RAPPRESENTA LA VARIABILE (REGRESSORE) CONSIDERATA (j=1,2, ,K) MENTRE LINDICE i DENOTA LA i-ESIMA OSSERVAZIONE (i=1,2,N). OGNI COLONNA DI UN VETTORE DI N OSSERVAZIONI E AD OGNI OSSERVAZIONE ASSOCIATA UNINTERCE
12、TTA UGUALE AD 1. COSTANTE PER REGRESSORI j INTERCETTA 1 2 K OSSERVAZIONI i 1 2 N,19,ASSUNZIONI PER STIME OLS 1. FORMA LINEARE DI TIPO 2. SONO NON STOCASTICI ED HANNO VARIANZA FINITA. IL RANGO DI UGUALE A KN 3. SONO DISTRIBUITI NORMALMENTE ED HANNO CON MATRICE IDENTIT (N*N). LA 2., RANK =KN, ASSICURA
13、 LASSENZA DI MULTICOLLINEARIT. SE INFATTI RANK K QUESTO VORREBBE DIRE CHE UNA DELLE COLONNE DI SAREBBE COMBINAZIONE LINEARE DELLE ALTRE E QUINDI CI SAREBBE MULTICOLLINEARIT. LA 3., OLTRE ALLASSUNZIONE DI NORMALIT PER GLI ERRORI CASUALI, GARANTISCE CHE GLI STESSI ABBIANO MEDIA NULLA, VARIANZA FINITA
14、E COSTANTE E COVARIANZA NULLA. INFATTI ESAMINIAMO LA MATRICE DI VARIANZA E COVARIANZA DERIVANTE DA,20,SE ALLORA TUTTI I VALORI AL DI FUORI DELLA DIAGONALE PRINCIPALE SONO NULLI E QUELLI SULLA DIAGONALE SONO UGUALI A , CIO:,0,21,STIMA OLS SI DEVE TROVARE IL VETTORE CHE MINIMIZZA LA QUANTIT DOVE: VETTORE (N*1) DEI RESIDUI VETTORE (N*1) DEI VALORI TEORICI VETTORE DELLE STIME OLS SOSTITUENDO E IN SI HA:,A,B,22,QUESTO PERCH A E B SONO ENTRAMBI DUE SCALARI UGUALI. INFATTI A =SCALARE (1*K) (K*N) (N*1) B ANALOGAMENTE AD A UNO SCALARE MINIMIZZANDO LA , CIO: SI HA: LA MATRICE
