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1、,复习课,石南初中 周李军,一、复习:,1、相似三角形的定义是什么?,答:,对应角,相等,,对应边,成比例,的两个三角形叫做相似三角形.,2、判定两个三角形相似有哪些方法?,答:,A、用定义;,B、用预备定理;,C、用判定定理1、2、3.,D、直角三角形相似的判定定理,3、相似三角形有哪些性质,1、对应角相等,对应边成比例 2、对应角平分线、对应中线、对应高线、对应周长的比都等于相似比。 3、相似三角形面积的比等于相似比的平方。,一.填空选择题: 1.(1) ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,且AED= B,那么 AED ABC,从而 (2) ABC中,AB的中点为E,AC的中点为D,连
2、结ED, 则 AED与 ABC的相似比为_. 2.如图,DEBC, AD:DB=2:3, 则 AED和 ABC 的相似比为. 3. 已知三角形甲各边的比为3:4:6, 和它相似的三角形乙 的最大边为10cm, 则三角形乙的最短边为_cm. 4.等腰三角形ABC的腰长为18cm,底边长为6cm,在腰AC上取点D, 使ABC BDC, 则DC=_.,AC,2:5,5,2cm,1:2,5. 如图,ADE ACB, 则DE:BC=_ 。 6. 如图,D是ABC一边BC 上一点,连接AD,使 ABC DBA的条件是( ). A. AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:AD C. AB2=CDB
3、C D. AB2=BDBC 7. D、E分别为ABC 的AB、AC上 的点,且DEBC,DCB= A, 把每两个相似的三角形称为一组,那 么图中共有相似三角形_组。,1:3,D,4,二、证明题: 1. D为ABC中AB边上一点, ACD= ABC. 求证:AC2=ADAB. 2. ABC中, BAC是直角,过斜 边中点M而垂直于斜边BC的直线 交CA的延长线于E,交AB于D, 连AM. 求证: MAD MEA AM2=MD ME 3. 如图,ABCD,AO=OB, DF=FB,DF交AC于E, 求证:ED2=EO EC.,4. 过ABCD的一个顶点A作一直 线分别交对角线BD、边BC、边 DC
4、的延长线于E、F、G . 求证:EA2 = EF EG . 5. ABC为锐角三角形,BD、CE 为高 . 求证: ADE ABC (用两种方法证明). 6. 已知在ABC中,BAC=90, ADBC,E是AC的中点,ED交 AB的延长线于F. 求证: AB:AC=DF:AF.,解:AED=B, A=A AED ABC(两角对 应相等,两三角形相似) ,1.(1) ABC中,D、E分别是AB、AC上的点, 且AED= B,那么 AED ABC, 从而,解 :D、E分别为AB、AC的中点 DEBC,且 ADEABC 即ADE与ABC的相似比为1:2,(2) ABC中,AB的中点为D,AC的中点为
5、E,连结DE, 则 ADE与 ABC的相似比为_,2.,解: DEBC ADEABC AD:DB=2:3 DB:AD=3:2 (DB+AD):AD=(2+3):3 即 AB:AD=5:2 AD:AB=2:5 即ADE与ABC的相似比为2:5,如图,DEBC, AD:DB=2:3, 则 AED 和 ABC 的相似比为.,3.已知三角形甲各边的比为3:4:6, 和它相似的三角形乙 的最大边为10cm, 则三角形乙的最短边为_cm.,解: 设三角形甲为ABC ,三角 形乙为 DEF,且DEF的最大 边为DE,最短边为EF DEFABC DE:EF=6:3 即 10:EF=6:3 EF=5cm,4.,
6、等腰三角形ABC的腰长为18cm,底边长为6cm,在 腰AC上取点D, 使ABC BDC, 则DC=_.,解: ABC BDC 即 DC=2cm,5.,解: ADEACB 且 ,如图,ADE ACB, 则DE:BC=_ 。,7. D、E分别为ABC 的AB、AC上的点,DEBC, DCB= A,把每两个相似的三角形称为一组, 那么图中共有相似三角形_组。,解: DEBC ADE= B, EDC=DCB=A DEBC ADE ABC A= DCB, ADE= B ADE CBD ADE ABC ADE CBD ABC CBD DCA= DCE, A= EDC ADC DEC,1. D为ABC中A
7、B边上一点,ACD= ABC. 求证:AC2=ADAB,分析:要证明AC2=ADAB,需 要先将乘积式改写为比例 式 ,再证明AC、 AD、AB所在的两个三角形相 似。由已知两个三角形有二个 角对应相等,所以两三角形相 似,本题可证。,证明: ACD= ABC A = A ABC ACD AC2=ADAB,2. ABC中, BAC是直角,过斜边中点M而垂直于 斜边BC的直线交CA的延长线于E, 交AB于D,连AM. 求证: MAD MEA AM2=MD ME,分析:已知中与线段有关的条件仅有AM=BC/2=BM=MC,所以首先考虑用两个角对应相等去判定两个三角形相似。AM是 MAD 与 MEA
8、 的公共边,故是对应边MD、ME的比例中项。,证明:BAC=90 M为斜边BC中点 AM=BM=BC/2 B= MAD 又 B+ BDM=90 E+ ADE= 90 BDM= ADE,B=E MAD= E 又 DMA= AME MAD MEA, MAD MEA 即AM2=MDME,3. 如图,ABCD,AO=OB,DF=FB,DF交AC于E, 求证:ED2=EO EC.,分析:欲证 ED2=EOEC,即证: ,只需证DE、EO、EC 所在的三角形相似。,证明: ABCD C=A AO=OB,DF=FB A= B, B= FDB C= FDB 又 DEO= DEC EDCEOD ,即 ED2=E
9、O EC,4. 过ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边 BC、边DC的延长线于E、F、G . 求证:EA2 = EF EG .,分析:要证明 EA2 = EF EG , 即 证明 成 立,而EA、EG、EF三条线段在同一直线上,无法构成两个三角形,此时应采用换线段、换比例的方法。可证明:AEDFEB, AEB GED.,证明: ADBF ABBC AED FEB AEB GED ,5. ABC为锐角三角形,BD、CE为高 . 求证: ADE ABC(用两种方法证明).,证明一: BDAC,CEAB ABD+A=90, ACE+A= 90 ABD= ACE 又 A= A ABD AC
10、E A= A ADE ABC,证明二: BEO= CDO BOE=COD BOE COD 即 又 BOC= EOD BOC EOD 1= 2 1+ BCD=90, 2+ 3= 90 BCD= 3 又 A= A ADE ABC,6. 已知在ABC中,BAC=90,ADBC,E是AC的 中点,ED交AB的延长线于F. 求证: AB:AC=DF:AF.,分析:因ABCABD,所以 , 要证 即证 , 需证BDFDAF.,证明: BAC=90 ADBC ABC+C= 90 ABC+BAD= 90 BAD= C ADC= 90 E是AC的中点, ED=EC EDC= C EDC = BDF, BDF=
11、C= BAD 又 F =F BDFDAF. BAC=90, ADBC ABCABD ,1.已知:如图,ABC中,P是AB边上的一点,连结CP满足什么条件时 ACPABC,解:A= A,当1= ACB (或2= B)时, ACPABC A= A,当AC:APAB:AC时, ACPABC A= A, 当4ACB180时, ACPABC,答:当1= ACB 或2= B 或AC:APAB:AC或4ACB180时, ACPABC.,1、条件探索型,三、探索题,2.如图:已知ABCCDB90,ACa,BC=b,当BD与a、b之间满足怎样的关系式时,两三角形相似,这类题型结论是明确的,而需要完备使结论成立的
12、条件 解题思路是:从给定结论出发,通过逆向思考寻求使结论成立的条件,1.将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子,假设图形中的所有点、线都在同一平面内,则图中有相似(不包括全等)三角形吗?如有,把它们一 一写出来.,C,解:有相似三角形,它们是:ADE BAE, BAE CDA ,ADE CDA( ADE BAE CDA),2、结论探索型,2.在ABC中,ABAC,过AB上一点D作直线DE交另一边于E,使所得三角形与原三角形相似,画出满足条件的图形.,E,E,E,E,这类题型的特征是有条件而无结论,要确定这些条件下可能出现的结论 解题思路是:从所给条件出发,通过分析、比较、猜想、寻求多种解
13、法和结论,再进行证明.,3、存在探索型,如图, DE是ABC的中位线,在射线AF上是否存在点M,使MEC与ADE相似,若存在,请先确定点 M,再证明这两个三角形相似,若不存在,请说明理由.,证明:连结MC, DE是ABC的中位线, DEBC,AEEC, 又MEAC, AMCM, 1= 2 , B=90, 4 B= 90, AF BC,AM DE, 1= 2 , 3= 2 , ADE MEC=90 , ADE MEC,1,2,3,M,解:存在.过点E作AC的垂线,与AF交于一点,即M点(或作MCA= AED).,4,所谓存在性问题,一般是要求确定满足某些特定要求的元素有或没有的问题 解题思路是:先假定所需探索的对象存在或结论成立,以此为依据进行计算或推理,若由此推出矛盾,则假定是错误的,从而给出否定的结论,否则给出肯定的证明,小 结,相 似 三 角 形,2定义,3性质,4判定,5应用,1.线段成比例,1.比例的基本性质,2.合比性质,3.等比性质,4.平行线分线段成比例定理及推论,1.AA 2.SAS 3.SSS