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1、1,函数单元的复习概要,高中数学辅导网 http:/,2,一、知识结构,3,二、复习要求 1复习函数时，要在了解映射概念的基础上，理解函数的有关概念，如记号、定义域、值域等； 2掌握互为反函数的概念及互为反函数图象之间的关系； 3了解函数的单调性和奇偶性的概念，并能判断一些函数的单调性和奇偶性，能利用函数的奇偶性作出函数的图象； 4要熟练掌握求函数定义域、值域、最值、单调区间、反函数的方法，它们是研究函数问题的基本方法； 5重要的初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数和对数函数的图象和性质是函数中的知识主干，它给研究函数提供了具体的感性材料，因此，对它们图象和性质的复习是复习函数内容的重中之
2、重； 6函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数与方程的相互转化是解决函数问题的重要途径。研究方程的解就是确定函数的图象与轴的交点坐标，是函数图象的一种特殊状态，数与形的相互转换是数形结合思想的具体体现； 7函数部分还涉及到中学数学里的其他思想，如分类讨论思想、化归思想等；解题过程中还有一些常使用的具体方法：配方法、待定系数法、换元法、反证法以及比较法等.,4,例1（2000年上海2）函数,的定义域为,，,本题的易错点（1）解不等式时错为,或,（2）定义域没有写成集合或区间.,回顾：求函数的定义域是处理函数问题的基本方法，要重视定义域在解题中的重要作用，在求函数的值域、最值，判断函数的单调性
3、和奇偶性，求函数的解析式以及作函数的图象过程中，都离不开对定义域的研究.,解：由,5,例2（2005年广东7）在同一平面坐标系中，函数,和,的图象关于直线,对称.现将,的图象沿,轴向左平移2个单位，再沿,轴向上平移1个单位，,的表达式为,所得的图象是由两条线段组成的折线（如图），则函数,6,解：本题设图象所对应的函数解析式为,，将,图象沿,轴向右平移2个单位，再沿,轴向下平移1个单为就得到函数,的图象，从而得到,又由函数,和,的图象关于直线,对称，,所以选A.,或,（2）由所给图象的解析式得到,（3）忽略了函数与其反函数的定义域和值域之间的关系.,所以,（1）所给的图象当成为函数,的图象；,的
4、解析式时，没有运用逆向变换；,本题的易错点：,7,A2 B. 3 C. 4 D. 6,例3（2005年福建）已知函数,是定义在,上的以3为周期的奇函数，且,，则方程,在区间,内解的个数的最小值是,解：,是定义在,上的奇函数，所以,又以3为周期,又因为,，则,，再有,同理，,，所以方程,在区间,内解的个数的最小值是6.,本题的易错点：,（1）注意了函数的周期性，由,推出,，但忽略了奇函数的性质；,（2）利用了奇函数的性质，即,，但缺少了,这一隐含条件，从而漏根,.,回顾：函数的奇偶性、周期性为龙头，综合考察函数的对称性，以及思维能力、推理能力，体现了函数方程思想.,8,例4（2002年全国）设函
5、数,判断函数,的奇偶性；（2）求函数,的最小值.,解：（1）当,时，函数,此时,显然为偶函数.,当,时，,此时,既不是奇函数又不是偶函数.,当,时，,若,，则函数,在,上递减，从而函数,在,上的最小值为,若,，则函数,在,上的最小值为,.,9,当,时，,若,，则函数,在,上的最小值为,若,，则函数,在,上的最小值为,综上所述，,时，,的最小值为,；,时，,的最小值为,；,，,的最小值为,.,本题的易错点 （1）在研究函数的奇偶性时，不对参数进行讨论，从而给出非奇非偶函数的结论；,（2）二次函数最值问题的研究应该在去掉绝对值符号的基础上进行， 不能忽视对参数的二级讨论.,回顾：本题从较深层次上考
6、察了分类讨论和化归思想，二次函数的最值问题是函数最值中最活跃的题型，常需要考虑三个因素（1）定义域；（2）对称轴位置；（3）开口方向；解决此类问题时又必须结合函数的图象进行解题.,10,例5设函数,是定义,在上的偶函数，其图象关于直线,对称，对任意的,，,都有,（1）设,，求,（2）证明：,是周期函数；,（3）记,，求,解：（1）,都有,又,；,11,（2）由题意，,关于直线,对称，,，又,，所以,即,可知,是,上的周期函数，,且2为它的一个周期；,（3）由（1）得,，,=,，,又,，又2为,的周期，所以,12,本题的易错点： （1）未能深刻理会函数的本质，不知如何下手；,时，,以致出现由,，得出,的错误结论；,（3）对抽象推理的每步变形依据不清，推理过程理由不充分，如,关于直线,对称，,，所以2即为,的周期；,（4）不会把,写成,，从而不能过渡到,，,不能完成由局部到整体的过渡.,回顾：本题是有关抽象函数问题，它没有具体的函数解析式，对其处理的常用方法有（1）赋值法：结合题意，选取适当的数值达到求解目的.（2）寻求背景函数法，找出适合题意的函数模型，用类比的手法解题。数列是一种特殊的函数，所以函数与数列知识的交汇时常成为高考命题的热点.,（2）未能证明,
