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1、1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件,高考数学,考点一 命题及其关系 1.命题:可以判断真假的语句叫做命题. 2.一般地,用p和q分别表示原命题的条件和结论,用p和q分别表示p 和q的否定,于是四种命题的形式如下: 原命题:若p,则q(pq); 逆命题: 若q,则p (qp); 否命题: 若p,则q (pq); 逆否命题: 若q,则p (qp).,知识清单,3.四种命题的关系 4.原命题的真假与其他三种命题的真假有如下四种关系: a.原命题为真,它的逆命题不一定为真; b.原命题为真,它的否命题 不一定 为真; c.原命题为真,它的逆否命题一定为真; d.逆命题为真,否命题 一定 为真.,
2、考点二 充分条件与必要条件 1.“若p,则q”是真命题,即pq;“若p,则q”为假命题,即p q. 2.(1)若pq,则p是q的充分条件; (2)若qp,则p是q的必要条件; (3)若 pq,但p q ,则p是q的充分不必要条件; (4)若p q,但pq,则p是q的 必要不充分条件 ; (5)若 pq,且pq ,则p是q的充要条件; (6)若 p q,且p q ,则p是q的既不充分也不必要条件. 3.从集合角度理解 若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A=x|p(x),B=x|q(x), 则关于充分、必要条件又可叙述为:,若AB,则p是q的充分条件; 若AB,则p是q的必要条件;
3、若A=B,则p是q的充要条件; 若AB,则p是q的充分不必要条件; 若AB,则p是q的必要不充分条件; 若AB,且AB,则p是q的既不充分也不必要条件.,命题真假判断的解题策略 1.逆命题、否命题与逆否命题也可以叙述为: (1)交换原命题的条件和结论,所得的新命题就是原命题的逆命题. (2)同时否定命题的条件和结论,所得的新命题就是原命题的否命题. (3)交换命题的条件和结论,并且同时否定,所得的新命题就是原命题的 逆否命题. 2.常用的正面叙述词语及其否定词语,方法技巧,3.命题真假的判断 (1)判定一个命题是真命题,要通过严格的推理论证,而要说明一个命题 是假命题,只需举一反例. (2)利
4、用“等价命题”判断真假 由于互为逆否的两个命题是等价命题,它们同真或同假,所以当一个命 题不易直接判断真假时,可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的 真假. 例1 (2017浙江嘉兴基础测试,4)对于空间的三条直线m,n,l和三个平面 ,下列命题为假命题的是 ( ) A.若m,n,则mn B.若,m,则m C.若,=l,则l D.若m,n,则mn,D,解题导引 由线面垂直的性质和面面平行的性质知A,B正确由面面垂直的性质 和线面垂直的判定与性质知C正确举反例知D错,解析 由线面垂直的性质知,A正确.由面面平行的性质知,B正确.对于 选项C,在平面内任取一点P,过点P分别作平面,的垂线b,c,
5、由l和b ,得bl,同理有cl,故l,即C正确.D选项,直线m,n还可能异面,相 交.故选D.,由命题真假求相应参数的取值范围的解题策略 对于已知简单命题的真假,求参数范围问题,常转化为恒成立问题解决. 例2 已知命题p:“对于任意的实数x,存在实数m,使得4x-2x+1+m=0”,且 命题p是假命题,则实数m的取值范围为 .,解题导引 当命题p是真命题时,求出实数m的取值范围当命题p是假命题时得结论,解析 设t=2x,则t0,所以f(t)=-4x+2x+1=-t2+2t在区间(0,1上为增函数,在区 间1,+)上为减函数,则对于任意的实数x,有-4x+2x+11,当命题p是真命 题时,有m=
6、-4x+2x+11.从而当命题p是假命题时,实数m的取值范围为m 1.,答案 m1,充要条件的解题策略 1.判断命题的充要关系有三种方法: (1)定义法:直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假. (2)等价法:利用AB与BA,BA与AB,AB与BA的等价 关系判断.对于条件或结论是否定形式的命题,一般运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判断:若AB,则A是B的充分条件或B是A的 必要条件;若A=B,则A是B的充要条件. 2.已知充分必要条件,求参数值(范围)问题,常利用集合间的关系,列出关 于参数的不等式(组)求解. 例3 (2017浙江名校新高考研究联盟测试一,3)在ABC中,“ 0
7、”是“ABC为锐角三角形”的 ( ),B,解题导引 利用向量数量积的性质和充要条件判断得结论.,解析 由 0可知角A为锐角,但不能确保ABC为锐角三角形,故 充分性不成立;反之,若ABC为锐角三角形,则角A为锐角,故 0, 必要性成立.故选B.,例4 (2016浙江模拟训练卷(一),1)已知p:-2x6;q:-1+mx3+m,若p 是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围是 ( ) A.(-1,3) B.-1,3 C.(-,-1)(3,+) D.(-,-13,+),B,解题导引 把必要不充分条件转化为集合关系利用集合间的包含关系得结论,解析 依题意有qp,但p/ q,即 x|-1+mx3+m x|-2x6,则有 得-1m3.故选B.,
