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1、数值分析典型例题 I,一、二章内容提要 典型例题分析 部分习题解答 补充练习题, ,具有n 位有效数字,则绝对误差满足,2/16,相对误差满足,如果一个浮点数,1. 设x*是 f(x)=0在a, b内的唯一根,且 f(a)f(b)0,则二分法计算过程中, 数列,满足: | xn x*| (b a)/ 2n+1,2. Newton迭代格式:,3. 弦截法迭代格式:,(n = 0, 1, 2 , ),3/16,设 , 若存在 a0 , r0 使得,则称数列xn r 阶收敛.,定理2.6 设x*是 的不动点,且,而 则 p阶收敛,4/16,例1.设x1 = 1.21,x2 = 3.65,x3 = 9
2、.81都具有三位有效位数,试估计数据：x1(x2+x3)的误差限。,解：由|e(x1)|0.510-2，|e(x2)|0.510-2， |e(x3)|0.510-2 所以, |e(x2+x3)|10-2 |e(x1(x2+x3)| (1.21+0.513.46)10-2 =7.9410-2,Ex1. 若要 x1(x2+x3)的误差限为0.510-2,问数据x1, x2, x3 应该具有几位有效数?,5/16,例2.设计算球体V允许其相对误差限为 1%,问测量球半径R 的相对误差限最大为多少?,解：由球体计算公式分析误差传播规律,故当球体V 的相对误差限为 1% 时，测量球半径R的相对误差限最大
3、为0.33%。,相对误差传播规律,Ex2. 对 z = f(x,y),若允许其相对误差为1%,问应该对x, y 如何限制?,6/16,例3*. 采用迭代法计算 ，取x0 = 7,(k = 0，1，2，),若xk具有n位有效数字，求证xk+1具有2n位有效数字。,Ex3：对 是否都有这一性质?,7/16,1-8 序列 yn 满足递推关系 yn = 10yn-1 1 (n = 1,2,) 若取 y0 =2 1.41(三位有效数字).递推计算 y10 时误差有多大？,解: 取 x0 = 1.41,则e(x0)0.005 e(xn) = 10e(xn-1) (n = 1,2,10),e(x10) =
4、10 e(x9)= =1010e(x0),|e(x10)| = 1010 |e(x0)| 0.5108,Ex4.推导计算 yn 的显示表达式,8/16,1-12 利用级数 可计算出无理数 的近似值。由于交错级数的部分和数列Sn 在其极限值上下摆动，试分析，为了得到级数的三位有效数字近似值，应取多少项求和。,解: 由部分和,只需, n 1000时, Sn有三位有效数,Ex5.推导部分和数列加速的计算表达式,9/16,2-6 应用牛顿迭代法于方程 x3 a = 0, 导出求立方根的迭代公式,并讨论其收敛阶。,解：令 f(x) = x3 a，则牛顿迭代公式,故立方根迭代算法二阶收敛,10/16,例
5、4.设a 为正实数，试建立求1/a 的牛顿迭代公式，要求在迭代公式中不含有除法运算，并考虑迭代公式的收敛。,xn+1 = xn(2 a xn)，( n = 0，1，2 ),所以,当| 1 a x0| 1 时，迭代公式收敛。,解:建立方程,利用牛顿迭代法，得,11/16,例5. x*是f(x)=0的二重根,分析牛顿迭代法的收敛阶,解: 由于 f(x)=(x x*)2g(x),针对二重根,牛顿迭代法只是一阶收敛.,12/16,Ex6. 若 x*是f(x)=0的m重根,试分析牛顿迭代法的收敛阶,Ex7. 若 x*是f(x)=0的m重根,试证明修正的牛顿迭代法,至少为二阶收敛,13/16,Ex9 隐函
6、数定理条件满足时,利用G(x, y) = 0可以计算隐函数的值,设有G(x0, y0) = 0,则在x0附近有y = y(x). 试分别构造牛顿迭代法和割线法计算函数值的迭代格式,Ex8 证明割线法可改写如下迭代公式,14/16,Ex11 确定下列方程的全部隔根区间,(1) x sin x = 1；(2) sin x e -x =0； (3) x = tan x； (4) x2 e-x =0,Ex10 在计算机上对调和级数逐项求和计算,当 n 很大时，Sn 将不随n 的增加而增加。试分析原因。,15/16,Ex12 对于复变量 z = x + i y 的复值函数 f(z) 应用牛顿迭代公式,时为避开复数运算,令 zn = xn + i yn f(zn) = An + i Bn，f(zn) = Cn + i Dn,证明,16/16,
