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1、自动控制原理,/,传递函数的典型化分解,5.2 典型环节的频率特性,用频域分析法研究控制系统的稳定性和动态响应时，是根据系统的开环频率特性进行的，而控制系统的开环频率特性通常是由若干典型环节的频率特性组成的。 本节介绍七种常用的典型环节的频率特性。,一、比例环节 比例环节的频率特性为 显然，它与频率无关。相应的幅频特性和相频特性和对数幅频特性和相频特性,图5-6 比例环节的Nyquist图,图5-7 比例环节的Bode图,所以，比例环节是一个理想的放大器,二、积分环节 积分环节的频率特性为 其幅频特性和相频特性和对数幅频特性和相频特性为,图5-8 积分环节的Nyquist图,图5-9 积分环节
2、的Bode图,对数幅频特性为一条斜率为20dB/dec的直线，此线通过L()=0，=1的点。,幅频特性与角频率成反比，相频特性恒为90。,三、微分环节 微分环节的频率特性为 其幅频特性和相频特性和对数幅频特性和相频特性为,图5-10 微分环节的Nyquist图,图5-11 微分环节的Bode图,其对数幅频特性为一条斜率为20dB/dec的直线，它与0dB线交于=1点。,微分环节的幅频特性等于角频率，而相频特性恒为90。,四、惯性环节 惯性环节的频率特性,写成实部和虚部形式，即,幅频特性和相频特性,惯性环节的Nyquist图是圆心在(0.5,0)，半径为0.5的半圆。,图5-12 惯性环节的Ny
3、quist图,对数幅频特性和相频特性为,低频段： (1) 高频段： (2) 惯性环节对数幅频特性曲线为图5-13。其中的两条红线分别为渐近线（1）和（2）。,1/T是两条渐近线的交点，称为交接频率(corner frequency)，或叫转折频率、转角频率。(这是一个很重要的概念)。,图5-13 惯性环节的Bode图,低通滤波特性！,RC电路具有此性质,习题5-2(1),图5-14 MATLAB绘制的惯性环节的Bode图,五、一阶微分环节 频率特性 幅频特性和相频特性、对数幅频特性和相频特性为,一阶微分环节的Bode图（如图5-16所示）与惯性环节的Bode图（如图5-13所示）关于横轴对称。
4、,图5-15 一阶微分环节的Nyquist图,图5-16 一阶微分环节的Bode图,高频放大！抑制噪声能力的下降！,RLC 电路的输出与输入电压间的传递函数:,特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出可能出现振荡,与标准形式 比较，,可得：,所以：,显然，其传递函数为：,欠阻尼（衰减的震荡）,临界阻尼（无震荡）,过阻尼（无震荡）,无阻尼（不衰减的震荡）,不同下，二阶系统的单位阶跃响应曲线图,时域特性！,六、二阶振荡环节(要重视！) 频率特性 幅频特性和相频特性 对数幅频特性和相频特性,其中，,注意：,图5-17 二阶振荡环节的Nyquist图,频率特性的端点取值,低频段： 高
5、频段： 二阶振荡环节Bode图可用上述低频段和高频段的两条直线组成的折线近似表示（如图5-18所示）。,二阶振荡环节的对数幅频特性可作如下简化(不考虑阻尼比，即，令 )：,图5-18 二阶振荡环节的Bode图,低频段和高频段的两条直线相交处的交接频率为=1/T，正好是振荡环节的无阻尼自然振荡频率 。 在交接频率附近，对数幅频特性与渐近线存在一定的误差，其值取决于阻尼比的值，阻尼比越小，则误差越大.,LC 越大（即，时间常数越大），RLC 电路的低通滤波特性越好！,欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标计算公式,LC 越小（即，时间常数越小），RLC 电路的时域特性越好！,七、延迟环节 频率特性 幅
6、频特性和相频特性 对数幅频特性和相频特性,Nyquist图是一个以坐标原点为中心，半径为1的圆。,如果用线性坐标，则迟后环节的相频特性为一条直线。,延迟环节的Nyquist图和Bode图分别如图5-19和图5-20所示。,图5-19 延迟环节的Nyquist图,图5-20 延迟环节的Bode图,5.3 控制系统开环频率特性曲线的绘制,控制系统开环频率特性的典型环节分解 开环幅相特性曲线的绘制（Nyquist图） 开环对数频率特性曲线的绘制（Bode图） 最小相位系统（minimum phase system）,二、开环幅相特性曲线的绘制（Nyquist图） 绘制Nyquist图 有时并不需要绘
7、制得十分准确 只需要绘出Nyquist图的大致形状和几个关键点的准确位置（如与坐标轴的交点）就可以了。 开环系统典型环节分解和典型环节幅相曲线的特点是绘制概略开环幅相曲线的基础。,3.Nyquist图绘制方法 写出A() 和() 的表达式； 分别求出 = 0和 =+ 时的G(j)； 求Nyquist图与实轴的交点； 如果有必要，可求Nyquist图与虚轴的交点，交点可利用G(j)的实部ReG(j)=0的关系式求出，也可利用G(j) = n90(其中n为正整数)求出； 必要时画出Nyquist图中间几点； 勾画出大致曲线。,例5-1 已知系统开环传递函数，绘制开环Nyquist图。,Nyquis
8、t图与实轴相交,习题5-3(3),例5-2 已知系统开环传递函数，绘制开环Nyquist图。,习题5-7(1),例5-3 设系统的开环传递函数为 试绘制其Nyquist图。,习题5-3,习题5-5, 5-7(5),1. Bode图绘制的概述和例题分析 可见，开环对数幅频特性等于各环节对数幅频特性之和；系统开环相频等于各环节相频之和。 将各环节对数幅频特性用其渐近线代替，以及对数运算的优点（乘除运算对数化后变为加减），可以很容易绘制出开环对数频率特性。,三、开环对数频率特性曲线的绘制（Bode图）,例5-5 绘制开环传递函数 的零型系统的Bode图。 解 系统开环对数幅频特性和相频特性分别,例5
9、-5的Bode图,实际上，在熟悉了对数幅频特性的性质后，不必先一一画出各环节的特性，然后相加，而可以采用更简便的方法。 由上例可见，零型系统开环对数幅频特性的低频段为20lgK的水平线，随着 的增加，每遇到一个交接（转折）频率，对数幅频特性就改变一次斜率。,习题5-4(2),例5-6 设型系统的开环传递函数为 试绘制系统的Bode图 （T1）。 解 系统开环对数幅频特性和相频特性分别为,例5-6的Bode图,不难看出，此系统对数幅频特性的低频段斜率为20dB/dec，它（或者其延长线）在 =1处与L1()=20lgK的水平线相交。在交接频率=1/T处，幅频特性斜率由20dB/dec变为40dB
10、/dec。,习题5-10(b),习题5-4(1),2. 系统开环对数幅频特性有如下特点 低频段的斜率为20dB/dec，为开环系统中所包含的串联积分环节的数目。 低频段直线（若存在小于1的交接频率时则为其延长线）在 1处的对数幅值为201gK。 在典型环节的交接（转折）频率处，对数幅频特性渐近线的斜率要发生变化，变化的情况取决于典型环节的类型 如遇到G(s)(1+Ts)1的环节，交接频率处斜率改变20dB/dec； 如遇二阶振荡环节 ，在交接频率处斜率就要改变40dB/dec，等等。,3. 绘制对数幅频特性的步骤归纳如下 (1) 将开环频率特性分解为典型环节相乘形式（时间常数形式）； (2)
11、求出各典型环节的交接频率（各环节时间常数的倒数），将其从小到大排列为1，2 3 ，并标注在 轴上； (3) 绘制低频渐近线（1左边的部分），这是一条斜率为-20dB/dec 的直线，它或它的延长线应通过(1，20lgK)点；(对于微分环节取负值)；,(4) 随着的增加，每遇到一个典型环节的交接频率，就按上述方法改变一次斜率； (5) 必要时可用渐近线和精确曲线的误差表，对交接频率附近的曲线进行修正，以求得更精确曲线。 (6) 对数相频特性可以由各个典型环节的相频特性相加而得，也可以利用相频特性函数()直接计算。,例 已知系统的开环传递函数，试绘制系统的开环Bode图。,系统开环包括了五个典型环
12、节,2=2 rad/s,4=0.5 rad/s,5=10 rad/s,习题5-10(c),1. 定义 最小相位对象：复平面右半平面既无零点也无极点的传递函数所表示的对象。否则，称为非最小相位对象。 注意：最小相位的概念是根据传递函数的零极点分布情况定义的，而不限定系统是开环还是闭环。 含有延迟环节的传递函数，以及不稳定的传递函数都不是最小相位对象。,四、最小相位系统（对象）,2. 有关结论 对幅频特性相同的系统，最小相位系统的相频特性函数的绝对值是最小的，即输出正弦信号相对于输入正弦信号的相移量最小。 用全通滤波器乘以任意传递函数，不改变幅值曲线，但改变相角曲线。 对于最小相位系统，对数幅频特
13、性与相频特性之间存在着唯一的对应关系。根据系统的对数幅频特性，可以唯地确定相应的相频特性和传递函数，反之亦然。但是，对于非最小相位系统，就不存在上述的这种关系。 在响应开始阶段，非最小相位系统的启动性能不好，所以该系统的响应缓慢。,G1=tf(1 -1,1,1.6,1)；G2=tf(1 1,1,1.6,1)；step(G1);step(G2);,例5-7 设有一最小相位系统，其频率特性为 另有一非最小相位系统，其频率特性 绘制两者的Bode图 bode(1 1,100 1) hold on bode(-1 1,100 1),最小相位系统和非最小相位系统的Bode图,习题5-6,例5-8 绘制开环传递函数为 的Bode图。 解 系统的幅频特性和相频特性分别为 可见，此系统的幅频特性与惯性环节相同，而其相频特性却比惯性环节多了一项- 。显然，它的迟后相角增加很快。,例5-8的伯德图,补充：根据最小相位对象的Bode图，求其传递函数,习题5-10,补充例题：已知最小相角系统开环对数渐近幅频曲线，求开环传递函数。,习题5-10,4-1,4-2 5-1, 5-3(2)(3)(4) 5-4(2)(3)(4),5-6,Homework3,摘自：游傲-中国领先的教育培训平台。,
