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1、下面图片中，哪些是平行四边形？你是怎样判断的？,回顾旧知,平行四边形的主要特征,1边： a平行四边形两组对边分别平行 b平行四边形两组对边分别相等 2角：平行四边形两组对角分别相等 3对角线： 平行四边形对角线互相平分 .,怎样证明对边相等或对角 线相等或对角线互相平分的四 边形是不是平行四边形？,18.1.2 平行四边形的判定 （一）,小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？并说明理由,A,C,B,D,ABCD ADBC,将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，再用一根橡皮筋绕端点A，B，C，D围成一个四边形ABCD 想一想
2、，AOBCOD吗？四边形ABCD的对边之间有什么关系？你得到什么结论？,A,C,B,O,D,AOBCOD ,BACACDABCD,CADACBADBC,同理，BOCAOD ,四边形ABCD是平行四边形,结论：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.,平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形判定方法2 对角线互相平分的四边形是平行四边形,已知：四边形ABCD， A=C，B=D 求证：四边形ABCD是平行四边形,证明：,四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形),同理可证ABCD,又A+ B+ C+ D =360 , 2A+ 2B=360 ,A
3、=C，B=D（已知）,即A+ B=180 , ADBC （同旁内角互补，两直线平行）,两组对角分别相等的四边形是平行四边形,平行四边形的判定定理3:,符号语言：,A=C，B=D，,四边形ABCD是平行四边形,证明：四边形ABCD是平行四边形， ADBC，ABDC，DB E，F分别是边AB，CD的中点， BEDF ADFCBE AFCE 又AECF 四边形AECF是平行四边形,O,四边形ABCD是平行四边形 AO=CO，BO=DO AE=CF AOAE=COCF EO=FO 又 BO=DO 四边形BFDE是平行四边形,证明：连接对角线BD，交AC于点O,【例2】已知：E、F是平行四边形ABCD对
4、角线AC上的两点，并且AE=CF 求证：四边形BFDE是平行四边形,还有其他证明方法吗？,AE=CF EAD=FCB AD=BC,证明：四边形ABCD是平行四边形 AD BC且AD =BC EAD=FCB 在AED和CFB中,AED CFB(SAS) DE=BF 同理可证：BE=DF 四边形BFDE是平行四边形,已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，当点E，F满足什么条件时，四边形BFDE是平行四边形？,小练习,证明：四边形ABCD是平行四边形 OAOC，ADBC, AEFCFE 又AOECOF AOECOF OEOF 四边形AECF是平行四边形.,已知：如图，ABBA，BCCB
5、， CAAC 求证： （1） ABC=B， CAB=A， BCAC； （2） ABC的顶点分别是BCA各边的 中点,小练习,证明：（1） ABBA，CBBC， 四边形ABCB是平行四边形 ABCB（平行四边形的对角相等） 同理CABA，BCAC （2） 由（1）证得四边形ABCB是平行四边形同理，四边形ABAC是平行四边形 ABBC， ABAC（平行四边形的对边相等） BCAC 同理 BACA， ABCB ABC的顶点A、B、C分别是BCA的边BC、CA、AB的中点,小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时，拼成一个六边形你能在图中找出所有的平行四边形吗？并说说你的理由,解：有6个平行四边形，
6、分别是： ABOF， ABCO， BCDO， CDEO， DEFO， EFAO 理由是：因为正ABO正AOF，所以AB=BO，OF=FA根据 “两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可知四边形ABCD是平行四边形其它五个同理,18.1.2 平行四边形的判定 （二）,取两根等长的木条AB、CD，将它们平行放置，再用两根木条BC、AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？,在一方格纸上，画一个有一组对边平行且相等的四边形,步骤1：画一线段AD 步骤2：平移线段AD到BC,根据平移的特征，AD、BC有怎样的关系？,连结AB、DC，得到四边形ABCD，它是一组对边平行且相等的四边形,C,B,D,
7、A,证明：连接AC ADBC DAC=ACB 又AD=BC，AC=AC， ABCCDA BAC=ACD ABCD 四边形ABCD是平行四边形 (两组对边分别平行的四边形是平行四边形),已知：在四边形ABCD中， AD BC 求证：四边形ABCD是平行四边形,平行且相等,你还有其他 证法吗？,一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,平行四边形的判定定理4:,符号语言：,AB CD,四边形ABCD是平行四边形,在 ABCD中，E、G是AD的三等分点，F、H是BC的三等分点，则图中的平行四边形有_个 .,抢答,6,例题1：已知：如图， ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE=DF,小练
8、习,证明： 四边形ABCD是平行四边形， ADCB，AD=CD E、F分别是AD、BC的中点， DEBF，且DE=AD，BF=BC DE=BF 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形） BE=DF,【例2】已知：如图， ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BEAC于E，DFAC于F 求证：四边形BEDF是平行四边形,证明： 四边形ABCD是平行四边形， AB=CD，且ABCD BAE=DCF BEAC于E，DFAC于F， BEDF，且BEA=DFC=90 ABECDF （AAS） BE=DF 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形平行四边形）,已知：
9、如图，ACED，点B在AC上，且AB=ED=BC， 找出图中的平行四边形，并说明理由,四边形ABDE和四边形BCDE是平行四边形. 理由:一组对边平行且相等的四边形平行四边形,小练习,已知：如图，在 ABCD中，AE、CF分别是 DAB、BCD的平分线 求证：四边形AFCE是平行四边形,提示：利用“一组对边平行且相等的四边形平行四边形”,小练习,三角形中位线,2.平行四边形的性质特征是,是中心对称图形,两对边平行且相等, 两对角相等,邻角互补,两条对角线互相平分.,3.平行四边形的判定方法是,两组对边平行的四边形是平行四边形,两组对边相等的四边形是平行四边形,一组对边平行且相等的四边形是 平行
10、四边形,两组对角相等的四边形是平行四边形,对角线互相平分的四边形是平行 四边形.,4.什么是三角形的中线?三角形的中线有几条?,是三角形一顶点与对边中点的连线. 有3条,且交于一点.,A,B,C,D,E,F,O,剪一刀，将一张三角形纸片剪成一张三角形纸片和一张梯形纸片.,（1）如果要求剪得的两张纸片能拼成平行四边形，剪痕的位置有什么要求？,（2）要把所剪得的两个图形拼成一个平行四边形，可将其中的三角形作怎样的图形变换？,探究学习,【例4】：如图，点D、E、分别为ABC边AB、AC的中点，求证：DEBC且DE= BC,方法1：如图（1），延长DE到F，使EF=DE，连接CF，由ADECFE，可得
11、ADFC，且AD=FC，因此有BDFC，BD=FC，所以四边形BCFD是平行四边形所以DFBC，DF=BC，因为DE= DF，所以DEBC且DE= BC,F,方法2：如图（2），延长DE到F，使EF=DE，连接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四边形ADCF是平行四边形所以ADFC，且AD=FC因为AD=BD，所以BDFC，且BD=FC所以四边形ADCF是平行四边形所以DFBC，且DF=BC，因为DE= DF，所以DEBC且DE= BC,F,三角形的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线,答: (1)一个三角形的中位线共有三条； (2)三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不
12、同中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线,（1）一个三角形的中位线共有几条？ （2）三角形的中位线与中线有什么区别？,三角形的中位线与第三边有怎样的关系？,答：三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半,三角形中位线的性质 三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半,利用这一定理，你能证明出在前面思考题中分割出来的四个小三角形全等吗？并说明理由.,A,B,C,现有一块等腰直角三角形铁板，要求切割一次焊接成一个含有45角的平行四边形 (不能有 余料)， 请你设计一种方案，并说明该方案 正确的理由,C,A,B,F,D,C,A,B,E,A,B,C,
13、F,如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是_m，理由是_,40,中位线等于第三边的一半,抢答,如图，ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点， （1）若EF=5cm，则AB=_cm；若BC=9cm，则DE=_cm； （2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想,10,4.5,抢答,三角形的周长为18cm，它的三条中位线围成 的三角形的周长是多少?为什么?,小练习,9cm; 三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半,已知：在 ABCD中，E，F分别是AD，BC的中 点
14、，M，N在CB，AD的延长线上，且 BM=DN 求证：EM=FN,小练习,证明：四边形ABCD是平行四边形， ANBC且ANBC E，F分别是AD，BC的中点 DEBF, BM=DN ENMF四边开有EMFD为平行四边形 EM=FN,(1)已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、 G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点 求证：四边形EFGH是平行四边形,小练习,证明：连结AC，DAG中， AH=HD，CG=GD， HGAC，HG=AC （三角形中位线性质） 同理EFAC，EF=AC HGEF，且HG=EF 四边形EFGH是平行四边形,结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形,平行四边形的判定方法,从边来判定,两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,从角来判定,两组对角分别相等的四边形是平行四边形,从对角线来判定,两条对角线互相平分的四边形是平行四边形,1下列四边形哪些是平行四边形?为什么？,A,D,C,B,110,70,110,A,B,C,D,120,60,5,5,2根据下列条件，不能判定一个四边形为平行 四边形的是( ) A两组对边分别相等 B两条对角线
