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1、,第7章 光学小波变换,7.1 短时傅里叶变换和Morlet小波变换 7.2 小波变换的一般定义和性质 7.3 实现小波变换的光学系统 7.4 光学小波变换的应用,7.1 短时傅里叶变换和Morlet小波变换 由信号f(x)的傅里叶变换 (7.1-1) 和其逆变换 (7.1-2),的定义可见，如果f(x)是时域或空域中分布在(，+)区间的平稳过程或稳定分布，则傅里叶分析给出了近乎完美的结果。然而在自然界和科学技术领域还有大量信号，它们具有局部的或定域的特性。例如语音信号、声纳信号和各种电脉冲等，这些信号某时刻突然出现，并很快衰 减到零，图7.1-1给出了这样一个信号s(t)。,图 7.1-1
2、“小波”信号,7.1.1 短时傅里叶变换 实现局部化的一个简单而有效的方案是在傅里叶变换中加一个窗函数w(x)： (7.1-3) 由傅里叶变换的乘积定理，在频率域中,式(7.1-3)可表示为 (7.1-4),窗函数的中心定义为 (7.1-5) 式中: (，)表示两函数的内积。窗函数的宽度则定义为 (7.1-6),与空域窗函数中心xc和宽度w相对应，存在频率窗中心坐标为 (7.1-7) 和频率窗宽度(也称为带宽)为 (7.1-8),当w和W都有限时，称函数w(x)在空域和频域同时局部化。乘积wW称为空间频率窗(简称空频窗)， 它限制了空域和频域中被处理区域的范围。根据w和W的定义式(7.1-6)
3、 和式(7.1-8)及测不准关系式，有 (7.1-9),7.1.2 伽伯变换 1946年,伽伯引入高斯型窗函数 提出了形如下式的伽伯变换: (7.1-10),式中: 和b为变换参数。式(7.1-10)可改写为 (7.1-11),如果把 取为伽伯变换的基元函数，则伽伯变换可表示为内积 (7.1-12),显然，伽伯变换就是高斯型窗短时傅里叶变换。窗函数中心坐标xc=0 ，空域窗的宽度 窗函数w(x)的傅里叶变换为 (7.1-13) 这也是高斯函数，频率窗宽度 因此有 (7.1-14),以横坐标表示空间，纵坐标表示频率，可将空域和频域在一个平面上同时表示出来，称空频坐标系。空频窗则表示为图中的一个矩
4、形。伽伯变换空频窗虽然可以在空频平面上移动，但是当参数确定之后，伽伯变换空间频率窗的高度和宽度都是恒定的，如图7.1-2所示。,图 7.1-2 伽伯变换空间频率窗,根据式(7.1-4)，伽伯变换在频域的表达式为 (7.1-15),伽伯变换具有下列特点： (1) 它给出一个中心位于b，宽度为 的空间窗，从而实现空域处理的局部化； 同时它又给出个中心位于，宽度为 的频率窗，从而实现频域处理的局部化。用伽伯变换来处理信号时，处理过程限制在空频窗内进行，空频窗的面积为1/。,(2) 根据式(7.1-10)和式(7.1-15)，伽伯变换可表示为 (7.1-16),7.1.3 Morlet小波变换 为了克
5、服伽伯变换中空频窗口尺寸不能变化的缺点，对伽伯变换中的基元函数进行改造，我们把伽伯变换的基元函数作为变换的母函数，再引入参数a和b，生成子函数 (7.1-17),定义信号函数f(x)的Morlet小波变换为 (7.1-18),比较式(7.1-18)和式(7.1-10)可见，Morlet小波变换与伽伯变换的根本差别在于: 小波变换的中心频率为/a，随 参数的增大而减小。容易算出小波变换的空间窗宽度为 频率窗宽度为 因此，当中心频率增大时(a 减小)，空间窗宽度变小而频率窗宽度增大，可以处理更多的高频信息； 当中心频率降低时(a增大)，频率窗变小而空间窗加宽，可以容纳足够多的空间周期，以保证处理的
6、精度。Morlet小波变换的空间频率窗如图7.1-3所示。,图 7.1-3 Morlet小波变换的空间频率窗,作为比较，图7.1-4和图 7.1-5 分别给出了在不同中心频率下伽伯变换和Morlet小波变换的基元函数的波形。,图 7.1-4 伽伯变换基元函数的波形,图 7.1-5 Morlet小波变换基元函数的波形,7.2 小波变换的一般定义和性质 7.2.1 小波变换的定义 母函数h(x)的基本小波函数ha，b(x)定义为 (7.2-1),信号函数 f(x)的小波变换定义为小波和信号f(x)的内积，即 (7.2-2),式(7.2-2)可改写为 (7.2-3) 可见，信号函数f(x)的小波变换
7、可表示为缩放后的母函数与信号函数的相关，母函数的中心位移则是相关函数的变量。由于相关运算很容易用光学系统实现，因此小波变换可以用大家熟知的光学相关系统来实现。,由小波变换的定义式(7.2-2)及互相关定理，容易得到小波变换在频率域中的表达式 (7.2-4),7.2.2 逆变换和相容性条件 小波变换式(7.2-1)的逆变换定义为 (7.2-5) 其中，Ch必须满足 (7.2-6),相容性条件证明如下。根据傅里叶逆变换的性质，基本小波函数ha,b(x)可表示为 (7.2-7),把式(7.2-7)和式(7.2-4)代入式(7.2-5)，得到 (7.2-8),式(7.2-8)成立的条件为 (7.2-9
8、),因此有 即式(7.2-6)成立。当=0时，要相容性条件成立，则要求 (7.2-10) 即小波函数没有零频分量。由于 (7.2-11),7.2.3 小波变换的空间频率窗和处理过程的局部化 通过简单地研究母函数h(x)的空频窗特性，即可得到小波变换的空频窗和处理过程的局部化特性。母函数的中心xc为 (7.2-12) 空间窗的宽度为 (7.2-13),这样，限制小波变换在空域中处理的空间窗为 (7.2-14) 即 (7.2-15),类似地，在频率域中，H()的中心和频率窗的宽度分别为 (7.2-16) 和 (7.2-17),在频率域引入中心位于原点的函数 (7.2-18) 则小波变换在频率域中的
9、表达式可改写为 (7.2-19),式(7.2-19)与式(7.2-2)形式上对应，因此，限制小波变换在频域中处理的频率窗为 (7.2-20) 即 (7.2-21),综合式(7.2-15)和式(7.2-21)，限制小波变换在空域、频域中处理的空频窗为 (7.2-22),由以上讨论可见，小波变换这一处理过程有如下两个特点: (1) 空间窗宽度aw和频率窗宽度W/a均随a变化，而窗的面积wW 与a 无关。 (2) 中心频率c/a与带宽W/a (即频率窗宽)之比为 (7.2-23),下面以实Morlet小波为例,具体讨论小波变换的特点。实Morlet小波的母函数(见图7.2-1(a)为 (7.2-24
10、) 母函数经平移、缩放后生成的基本小波函数为 (7.2-25),容易求得实Morlet小波的中心和空间窗宽度分别为 (7.2-26),在频域中 (7.2-27) H()在=0 和=0时出现两个峰值，关于原点对称，如图7.2-1(b)所示。,图 7.2-1 实Morlet小波的h(x)与它的傅里叶谱H() (a) 母函数h(x); (b) 傅里叶谱H(),根据式(7.2-16)，可求得中心频率c=0。但是从物理实际来看，真正起作用的是正频率，使处理过程在频率域中局部化的是位于=0处的峰。因此，仅取式(7.2-27)中的第一项作为实Morlet小波的频谱，即 (7.2-28),求得频率窗的中心位置
11、和宽度分别为 (7.2-29),利用式(7.2-26)和式(7.2-29)，并令 得到实Morlet小波的空间频谱窗为 (7.2-30),7.3 实现小波变换的光学系统 7.3.1 一维小波变换光学系统 一维小波变换光学系统如图7.3-1所示。,图 7.3-1 一维小波变换光学系统,L3为球面柱面复合透镜，柱面镜母线沿x()，面和输出面xiyi分别位于球面透镜的前后焦面。L3xiyi构成像散系统。在子午面(z平面)内，L3使平面成像在xiyi面上，得到各带状通道的像； 在弧矢面(z平面)，柱面透镜不起作用，得到沿方向的傅里叶逆变换，如图7.3-2所示。,图 7.3-2 一维小波变换示意图 (a) 在子午面内构成的成像系统； (b) 在弧矢面内构成的傅里叶变换系统,对于第m个通道，由于沿方向的傅里叶逆变换作用，得到 (7.3-1) 根据小波变换在频率域的表达式(式(7.2-4)，有 (
