现代控制第四章ppt课件

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1、第4章 李雅普诺夫稳定性,哈尔滨工业大学 Harbin Institute of Technology,Stability Theory of Lyapunov,任课教师：杨庆俊,4.1 李雅普诺夫稳定性概念 4.2 李雅普诺夫第一法（间接法） 4.3 李雅普诺夫第二法（直接法） 4.4 线性系统的李雅谱诺夫分析,本章目录,第一法的不足：,4.2 李雅普诺夫第一法,平衡状态处进行线性化，具有近似性。 不能给出稳定性的范围。,一个振动例子：,4.3 李雅普诺夫第二法,如果存在能量衰减，最终会停在平衡位置， 此时能量最小。,弹性棒 k,小球 m,给我们的启示：,4.3 李雅普诺夫第二法,可否根据能

2、量函数及其变化，来判断系统的 稳定性？ 例如用一个标量函数V(x,t)表示系统能量。,表示系统能量的变化。,能量大,能否根据能量函数及导数的定号性，来判断系统的稳定性？,例 4.3.1 判断一下函数的正定性。,4.3 李雅普诺夫第二法,正定,负半定,负定,李雅普诺夫函数：,4.3 李雅普诺夫第二法,李雅普诺夫函数比能量函数更为一般，应用 也更广泛，但该函数构造并非易事。 目前没有一个通用的构造方法，通常可选二次型。,正定对称矩阵,例如,正定函数与二次型,4.3 李雅普诺夫第二法,若标量函数,正定,称P正定,正定函数与二次型,4.3 李雅普诺夫第二法,P正定的判定：,1）顺序主子式均大于0,正定

3、函数与二次型,4.3 李雅普诺夫第二法,P正定的判定：,2）全部特征值0,下面给出李雅普诺夫稳定性定理， 每个定理前，首先给出基本思路。,4.3 李雅普诺夫第二法,第二法稳定性定理的基本思路：,4.3 李雅普诺夫第二法,定理 4.3.1a：,4.3 李雅普诺夫第二法,是正定的； 是负定的。,假设系统的状态方程为,那么系统在原点处的平衡状态是一致渐近稳定的。,如果存在一个具有连续偏导数的标量函数 并且满足条件：,定理 4.3.1a：,4.3 李雅普诺夫第二法,如果随着 ，有 ，则为大范围 一致渐近稳定。,在上述条件下，即 V的等值面扩展到 整个状态空间条件下， 能保证在全局范围,例 4.3.2：

4、,4.3 李雅普诺夫第二法,已知系统的状态方程,试判断其平衡状态的稳定性。,1) 计算平衡态,2) 选择二次型函数,4.3 李雅普诺夫第二法,3) 计算导数,负定,正定,4) 结论,系统大范围一致渐近稳定,例 4.3.3：,4.3 李雅普诺夫第二法,已知气弹簧系统的状态方程,试判断其平衡状态的稳定性。,1) 计算平衡态,2) 选择二次型函数,4.3 李雅普诺夫第二法,3) 计算导数,负定,正定,4) 结论,系统大范围一致渐近稳定,另一种情况：,4.3 李雅普诺夫第二法,定理 4.3.1b：,4.3 李雅普诺夫第二法,是正定的； 是负半定的； 对任意 和任意的 ，在 时不恒等于零。,对于系统,那

5、么原点处的平衡状态是一致渐近稳定的。,如果存在一个具有连续偏导数的标量函数 并且满足条件：,例 4.3.4：,4.3 李雅普诺夫第二法,已知系统的状态方程,试用李雅普诺夫第二方法判断其稳定性。,1) 平衡点,2) 正定函数,3) 求导,半负定,图解：,4.3 李雅普诺夫第二法,一致渐近 稳定,初值(0.1, 1),李雅普诺夫意义下稳定：,4.3 李雅普诺夫第二法,定理 4.3.3：,4.3 李雅普诺夫第二法,是正定的； 是负半定的； 某点起恒为0。,如果存在一个具有连续偏导数的标量函数 并且满足条件：,对于系统,那么原点处的平衡状态是一致稳定的， 但不是渐近稳定。,李雅普诺夫意义下稳定，但非渐

6、近稳定！,4.3 李雅普诺夫第二法,平衡点附近等幅震荡,例 4.3.5：,4.3 李雅普诺夫第二法,已知系统的状态方程,试判断其平衡状态的稳定性。,1) 平衡点,2) V(x,t),4.3 李雅普诺夫第二法,3) 求导,4) 判定,大范围一致稳定,不渐近！,定理 4.3.4：,4.3 李雅普诺夫第二法,在原点的某一邻域内是正定的； 在同样的邻域中也是正定的。 或者半正定，但不恒为0。,如果存在一个具有连续偏导数的标量函数 并且满足条件：,对于系统,那么原点处的平衡状态是不稳定的。,不稳定：,4.3 李雅普诺夫第二法,例 4.3.6：,4.3 李雅普诺夫第二法,已知系统的状态方程,试用李雅普诺夫

7、第二方法判断其稳定性。,1) 平衡点,2) 正定函数,3) 求导,半正定,4.3 李雅普诺夫第二法,初值(0.001，0),不稳定！,例 4.3.7：,4.3 李雅普诺夫第二法,已知系统的状态方程,试判断其平衡状态的稳定性。,1) 计算平衡态,2) 选择二次型函数,4.3 李雅普诺夫第二法,3) 计算导数,正定,正定,4) 结论,系统不稳定,关于第二法几点说明：,4.3 李雅普诺夫第二法,李雅普诺夫函数选取不唯一。充分性。 不仅对线性系统，而且对非线性系统，也 能提供大范围稳定性的信息。 对于某特定系统，如果未找到一个合适的 李氏函数证明系统稳定、渐近稳定或不稳定， 就不能给出任何稳定性信息。

8、 如果系统的原点是稳定的或渐近稳定的， 那么具有所要求性质的李雅普诺夫函数 一定存在。,4.4 线性系统的李雅普诺夫分析,4.4 线性系统的李雅普诺夫分析,线性连续系统,稳定的充要条件：,对给定正定实对称阵Q，存在正定实对称阵P,满足：,此时,证：,负定,4.4 线性系统的李雅普诺夫分析,李雅普诺夫方程,Q可取为对角阵，甚至单位阵，以简化计算。,P中含有,个未知数,列,个方程,4.4 线性系统的李雅普诺夫分析,例4.4.1：,解：,4.4 线性系统的李雅普诺夫分析,P正定,系统稳定,4.4 线性系统的李雅普诺夫分析,Matlab求解,P=lyap(AT,Q),4.4 线性系统的李雅普诺夫分析,线性非定常：,4.4 线性系统的李雅普诺夫分析,线性离散：,正定，,负定，,则稳定。,4.4 线性系统的李雅普诺夫分析,线性时变离散：,形式相同，但求解大为复杂。,4.4 线性系统的李雅普诺夫分析,线性系统的参数优化：,不考虑终值，不考虑功耗，时间拉长至无穷， 则退化为：,4.4 线性系统的李雅普诺夫分析,线性系统的参数优化：,优化即可通过对P中的自由参数求偏导完成,4.4 线性系统的李雅普诺夫分析,例4.4.2,求在单位阶跃信号作用下， 使J最小的 的最优值,4.4 线性系统的李雅普诺夫分析,例4.4.2,4.4 线性系统的李雅普诺夫分析,例4.4.2,Questions?,