《体育统计学第4章概率及其分布》由会员分享，可在线阅读，更多相关《体育统计学第4章概率及其分布（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第4章 概率及其分布,自然界和人类社会中存在着两类现象： 必然现象与随机现象。 必然现象就是指在一定条件下必然发生的现象。如在标准大气压下，水加热到100必然会沸腾；抛出的物体其初速度只要小于第一宇宙速度，必然会落回地面等，这些现象都是必然现象。 随机现象是指在一定条件下有时发生有时不发生的现象。如往地面掷一枚硬币，“出现正面”这一现象有时发生，有时不发生；篮球投篮中“投中”这一现象有时发生有时不发生，这些都是随机现象。,4.1 随机事件及其概率,一、随机事件 对随机现象进行观察，会观察到不同的结果，如观察掷硬币这一随机现象就可能看到“出现正面”或“出现反面”这两种不同的结果，“出现正面”是掷
2、硬币这一随机现象的一种观察结果，我们称之为随机事件，同样“出现反面”也是随机事件。 随机事件：对随机现象进行观察，其观察结果叫随机事件，简称事件,用大写英文字母A、等表示。 作为随机事件的特例，若某事件在每次试验中总是发生，则称该事件为必然事件，一般用字母表示；反之若某事件在每次试验中都不发生，则称该事件为不可能事件，一般用字母表示。,二、随机事件的概率,1.频率 在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中事件A出现了m次，则称比值m/n为事件A的频率，记为F（A）= m/n。 显然任一事件A都有 0F（A）1,以掷硬币为例，记正面向上为随机事件A，抛掷总次数为n，出现正面向上的次数为m，
3、比值 Fm/n为事件的频率 。 随着试验次数的增多，随机事件频率的波动会越来越小，且会在一个固定的常数附近作微小的波动。,可以用一个数来描述随机事件在一次试验中发生的可能性大小，该数就是概率。,2.概率 随机事件的概率：在n次重复试验中随机事件A发生的次数记为m，当n很大时，频率m/n会稳定地在某一数值p的附近摆动，而且随着试验次数n的增加，其摆动的幅度越来越小，称p为随机事件A的概率，记为： P（A）= p 例如，在投硬币的试验中，“出现正面”这一随机事件发生的频率在.附近摆动，且随着试验次数的增多摆动的幅度会越来越小，因此，可以认为“出现正面”这一随机事件的概率为.。,而对不可能事件必有m
4、=0，对必然事件一定有m=n，可知它们的频率为 F（）=1，F（）=0 对概率类似地有 0P（A）1 以及 P（）=1， P（）=0,3.小概率事件原则 一般若P（A）0.05，则称事件A为小概率事件。 小概率事件在一次试验中可看作不可能事件，认为不可能发生，这一原则称之为小概率事件原则。小概率事件原则是统计推断的重要原则，在以后的学习中将会多次用到此原则。,4.2 随机变量及其概率分布,一、随机变量 当用一个变量的取值来表示随机试验的结果时，该变量随着试验的不同结果而取不同的值，也就是说变量的取值是随机的，称此变量为随机变量，随机变量一般用大写英文字母X、Y、Z表示，也可以用、等表示。,二、
5、随机变量的概率分布,1.概率分布的概念 概率分布：随机变量的取值及取值的概率称为随机变量的概率分布。 2.概率分布的表示方法 分布列法 分布曲线法,例如： 6X8的概率（即该运动员命中6至8环的概率）为： P（6X8）=0.14+0.3+0.35=0.79,例4-2 某一不透明的盒中装有10个外形一样的球，其中5个黑球，5个白球，现从中任取3球，用Y表示取到的白球数，求Y的概率分布列。,分析：求Y的概率分布列，就是求Y能取哪些值及取这些值的概率。 解: 由于取出的3个球中可能有0个白球，1个白球，2个白球，3个白球，因此Y的取值范围为0、1、2、3。,概率密度曲线的含义：概率密度曲线与轴、直线
6、、直线所组成的曲边梯形的面积等于随机变量的取值落在区间，内的概率。,4.3 几种常用的概率分布,一、两点分布 二、二项分布 贝努里试验：一般地，如果在相同条件下进行了n次相互独立的试验，每次试验只有两个可能的结果：A或 ，且P（A）=p，相应地P（ ）=q=1-p，则称这样的n次试验为n重贝努里试验。,（k=0,1,2,n）,例4-6 不透明盒中装有100只外形一样的球，其中10个白球，90个红球，采用有放回取球方式，从中任取5球，求恰好取到3个白球的概率。 解：将取一个球看作一次试验，取个球相当于做了重贝努力试验，用表示取到的白球数，显然是n=5，p=0.1的二项分布，恰好取到个白球就是，由
7、二项分布可知其概率为：,三、正态分布,（一） 正态分布的概念 正态分布是实践中最为常见的一种分布，如同年龄、同性别人的身高、体重、运动成绩等都服从正态分布。,记为X（，），其对应的曲线叫正态曲线 。,正态曲线有以下性质：,曲线在轴上方，以为其对称轴，当时，函数F(X)有最大值，正态曲线达到最高点。 ，为正态分布的两个参数，确定曲线的中心位置，如图4-5所示，确定曲线的形状，愈大，曲线愈扁平。 曲线与轴所围面积为 。,（二）标准正态分布及其概率计算 正态分布中，取一组特殊值：=，=，这时的正态分布称为标准正态分布，记为N（0，1），其概率密度函数为：,标准正态分布中，随机变量X落在区间(a,b)
8、内的概率就等于分布曲线、X轴及X= a,X=b所围图形的面积 。,下面介绍利用标准正态分布表，求X取值于各区间的概率的方法。,（1） 已知，求（X）？ 例4-7 已知X（0，1），求(X1.17)？,（2） 已知，求（X）？ 例4-8 已知X（，），求（X1.17）=？,（3） 已知、，求（axb）？ 例4-9 已知XN(0，1),求（-1X1）？。,（4） 已知（Xa）P，求a？ 例4-10 已知（Xa）0.8485，求a？ （5） 已知（Xa）P，求a？ 例4-11 已知（XA）0.8251，求A？,（三）、非标准正态分布及其概率计算,1.标准化公式 设XN（，），则： 称公式 为标准化公
9、式。,2.非标准正态分布概率的计算 例4-12 已知XN（10，9），求（X13）？,例4-13 已知X（10，4），求（X7）？,（ X ） 0.6826,（2X2） 0.9544,（3X3）0.9974,4.4 正态分布的应用,4.4.1 制定考核标准 例4-18 铅球考核中成绩服从正态分布，且平均成绩=7.21，标准差0.9，若要使20的学生成绩达到优秀，35的学生成绩达到良好，35的学生成绩达到及格，试问如何制定各级别的标准？,【解】 （）如图4-18所示，要求20的学生成绩达到优秀，就是求，使 （）0.2 （）0.20.8 又查标准正态分布表知：（0.84）0.79950.80 由标
10、准化公式得：（7.21）0.90.84 0.840.97.218.0（米）,（）如图4-18所示，要求35的学生成绩达到良好，就是求，使 （）0.20.350.55 （）10.550.45 又查标准正态分布表知：P(0.13)=0.44830.4 由标准化公式得：（7.21）.0.13 0.130.97.217.10（米）,（）如图4-23所示，要求35的学生成绩达到及格，就是求，使 （）0.20.350.350.90 （）10.900.1 又查标准正态分布表知：（1.28）0.10030.10 由标准化公式得：（7.21）. -1.280.97.216.06（米） 综上所述，优秀标准应为.0
11、m，良好标准应为7.10m，及格标准应为6.06m。,4.4.2 估计实际分布情况 例4-19 设高中男生身高X（单位：厘米）是正态变量，均值是171，标准差是4，即XN(171,42)。求： (1) 身高超过175的学生所占的比例； (2) 身高在165至175之间学生所占的比例； (3) 以均值171为中点的一个区间，使其学生占95%。,4.4.3 统一计分标准,4.4.4累进计分 体育运动中许多项目成绩的提高与分数的增加不应该是等比例的，比如100米跑的成绩，每提高0.1秒，所加的分数不应相等，因为水平愈高每提高0.1秒的难度也愈大，相应增加的分数也应愈多。,练习题,1. 某一不透明的盒
12、中装有10个外形一样的球，其中5个黑球，5个白球，现从中任取5球，用X表示取到的白球数，求X的概率分布列。 2已知XN0，1求： （1） P(X1.35)？ （2） P(X-1.78)？ （3） P（-1.751.85？ 3已知XN0，1 若P(Xb)0.1515,求b=? 4已知X175，52求： （1）P(180）？ （3）P（175b)0.1515,求b=? 6某年级学生280人，跳远平均成绩为5.00米，标准差为0.4米，现规定4.5米及格，试估计有多少学生不及格（设跳远成绩服从正态分布）。,7某年级学生100米跑平均成绩为14.7秒，标准差为0.7秒，如果要求10%的人得优秀，30%得良好，8%不及格，问优秀、良好、及格的标准应为多少秒。 8若跳高成绩服从正态分布，其平均数为1.5米，标准差为0.08米。现规定20%的学生可评优秀。问至少跳多高才能获得优秀。 9测得某年级学生跳远成绩服从正态分布，其平均数为5.0米，标准差为0.2米， (1)若要求90%的学生达到及格，问及格的标准应为多少米？ (2)若成绩在4.8米至5.2米之间有50人，问参加跳远的学生有多少人？ 10某年龄组跳远平均成绩是3.2米，标准差是0.20米，试计算跳远成绩为3.45米和3.12米的标准百分各是多少。,
