数字信号处理（西电版第三版）第2章时域离散系统与系统的频域分析

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1、第2章 时域离散信号和系统的频域分析,2.1 引 言 2.2 时域离散信号的傅里叶变换的定义及性质 2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号 傅里叶变换之间的关系 2.5 序列的Z变换 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频响特性 习题与上机题,2.1 引 言 我们知道，信号和系统的分析方法有两种，即时域分析方法和频域分析方法。在模拟领域中，信号一般用连续变量时间的函数表示，系统则用微分方程描述。在频率域，则用信号的傅里叶变换(Fourier Transform)或拉普拉斯变换表示。而在时域离散信号和系统中，信号用时域离散信号（序列）表示，系

2、统则用差分方程描述。在频率域，则用信号的傅里叶变换或Z变换表示。 本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换分析系统和信号频域特性。该章内容是本书也是数字信号处理的理论基础。,（2.2.1）和（2.2.3）式组成一对傅里叶变换公式。（2.2.2）式是傅里叶变换存在的充分必要条件，有些函数（例如周期序列）并不满足（2.2.2）式，说明它的傅里叶变换不存在，但如果引入冲激函数，其傅里叶变换也可以用冲激函数的形式表示出来，这部分内容将在2.3节介绍。,图2.2.1 R4(n)的幅度与相位曲线,由FT的周期性进一步分析得到，在=0和=2M附近的频谱分布应是相同的（M取整数），在=0，2, 4,

3、点上表示x(n)信号的直流分量；离开这些点愈远，其频率愈高，但又是以2为周期，那么最高的频率应是=。另外要说明的是，所谓x(n)的直流分量，是指如图2.2.2（a）所示的波形。例如，x(n)=cosm，当=2M, M取整数时，x(n)的序列值如图2.2.2（a）所示，它代表一个不随n变化的信号（直流信号）；当=(2M+1)时，x(n)波形如图2.2.2（b）所示，它代表最高频率信号，是一种变化最快的正弦信号。由于FT的周期是2，一般只分析之间或02范围的FT就够了。,图2.2.2 cosm 的波形,【例2.2.2】 试分析x(n)=ejm的对称性。 解 因为 x*(n)=ejm=x(n) 满足

4、(2.2.9)式，所以x(n)是共轭对称序列，如展成实部与虚部，则得到： x(n)=cosn+j sinn 上式表明，共轭对称序列的实部确实是偶函数，虚部是奇函数。,对于频域函数X(ej)，也有和上面类似的概念和结论： X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej) （2.2.19） 式中，Xe(ej)与Xo(ej)分别称为共轭对称部分和共轭反对称部分，它们满足：,（2.2.20）,（2.2.21）,(1) 将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)，即 x(n)=xr(n)+jxi(n) 将上式进行傅里叶变换，得到:,式中,上面两式中，xr(n)和xi(n)都是实数序列。容易证明：Xe(ej)

5、满足（2.2.20）式，具有共轭对称性，它的实部是偶函数，虚部是奇函数；Xo(ej) 满足（2.2.21）式，具有共轭反对称性质，它的实部是奇函数，虚部是偶函数。 最后得到结论：序列分成实部与虚部两部分，实部对应的傅里叶变换具有共轭对称性，虚部和j一起对应的傅里叶变换具有共轭反对称性。,(2) 将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)，即 x(n)=xe(n)+xo(n) (2.2.24) 将（2.2.17）和（2.2.18）式重写如下：,将上面两式分别进行傅里叶变换，得到： 因此（2.2.24）式的FT为,（2.2.25a）,（2.2.25b）,（2.2.25c）,（2.2

6、.25）式表示：序列x(n)的共轭对称部分xe(n)对应着X(ej)的实部XR(ej)，而序列x(n)的共轭反对称部分xo(n)对应着X(ej)的虚部(包括j)。 下面我们利用FT的对称性，分析实因果序列h(n)的对称性，并推导其偶函数he(n)和奇函数ho(n)与h(n)之间的关系。 因为h(n)是实序列，其FT只有共轭对称部分He(ej)，共轭反对称部分为零。 ,因此实序列的FT是共轭对称函数, 其实部是偶函数，虚部是奇函数，用公式表示为 显然， 其模的平方 是偶函数，相位函数 是奇函数，这和实模拟信号的FT有同样的结论。,按照（2.2.17）和（2.2.18）式得到：,因为h(n)是实序

7、列，上面公式中he(n)是偶函数，ho(n)是奇函数。按照（2.2.28）式，实因果序列完全由其偶序列恢复，但按照（2.2.27）式，ho(n)中缺少n=0点h(n)的信息。因此由ho(n)恢复h(n)时，要补充一点h(h)(n)信息。,【例2.2.3】 x(n)=anu(n), 0a1。求其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)。 解 x(n)=xe(n)+xo(n) 按（2.2.26）式，得到：,图2.2.3 例2.2.3图,5 时域卷积定理 设 y(n)=x(n)*h(n) 则 Y(ej)=X(ej)H（ej） （2.2.31） 证明,令k=nm，则,该定理说明，两序列卷积的FT服从相乘的关

8、系。对于线性时不变系统，输出的FT等于输入信号的FT乘以单位脉冲响应的FT。因此，在求系统的输出信号时，可以在时域用卷积公式（1.3.7）计算，也可以在频域按照（2.2.31）式，求出输出的FT，再作逆FT，求出输出信号y(n)。,7 帕斯维尔（Parseval）定理,（2.2.35）,证明,帕斯维尔定理表明了信号时域的能量与频域的能量关系。 表2.2.1综合了FT的性质，这些性质在分析问题和实际应用中是很重要的。,表2.2.1 序列傅里叶变换的性质定理,2.3 周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 因为周期序列不满足（2.2.2）式绝对可和的条件，因此它的FT并不存在，但由于是周期性的

9、，可以展成离散傅里叶级数，引入奇异函数()，其FT可以用公式表示出来。,2.3.1 周期序列的离散傅里叶级数 设 是以N为周期的周期序列，可以展成离散傅里叶级数。如下: (2.3.1) 为求系数ak，将上式两边乘以 ，并对n在一个周期N中求和，即,式中,(2.3.2),(2.3.2)式的证明作为练习请读者自己证明。因此 (2.3.3)式中，k和n均取整数。因为 ， l取整数,即 是周期为N的周期函数，所以，系数ak也是周期序列，满足ak=ak+lN。,令 , 并将(2.3.3)式代入， 得到: (2.3.4) 式中， 也是以N为周期的周期序列, 称为 的离散傅里叶级数系数，用DFS(Discr

10、ete Fourier Series) 表示。,用,(2.3.5),将（2.3.4）式和（2.3.5）式重写如下：,(2.3.6),(2.3.7),代替(2.3.1)式中的ak,得到,（2.3.6）式和（2.3.7）式称为一对DFS。（2.3.5）式表明将周期序列分解成N次谐波，第k个谐波频率为k=(2/N)k, k=0, 1, 2, , N1, 幅度为 。 基波分量的频率是2/N，幅度是 。一个周期序列可以用其DFS系数 表示它的频谱分布规律。 【例2.3.1】 设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期进行周期延拓，得到如图2.3.1(a)所示的周期序列 ，周期为8，求DFS 。 解

11、 按照（2.3.6）式, 有,其幅度特性 如图2.3.1(b)所示。,图2.3.1 例2.3.1图,2.3.2 周期序列的傅里叶变换表示式 在模拟系统中， ，其傅里叶变换是在=0处的单位冲激函数，强度是2，即, r取整数 因此 的FT为 (2.3.9) (2.3.9)式表示复指数序列的FT是在0+2r处的单位冲激函数，强度为2，如图2.3.2所示。但这种假定如果成立，则要求按照（2.2.4）式的逆变换必须存在，且唯一等于 ，下面进行验证。按照逆变换定义，（2.2.4）式右边,观察图2.3.2，在区间，只包括一个单位冲激函数(0)，等式右边为 ，因此得到下式： 证明了（2.3.9）式确实是 的F

12、T，前面的暂时假定是正确的。,图2.3.2 的FT,对于一般周期序列 ，按（2.3.6）式展成DFS，第k次谐波为 ，类似于复指数序列的FT，其FT为 因此 的FT如下式： ,式中，k=0, 1, 2, , N1。如果让k在区间变化，上式可简化成 （2.3.10） 式中 (2.3.10)式就是周期性序列的傅里叶变换表示式。需要说明的是，上面公式中的()表示单位冲激函数，而(n)表示单位脉冲序列，由于括弧中的自变量不同, 因而不会引起混淆。 表2.3.2中综合了一些基本序列的FT。,表2.3.2 基本序列的傅里叶变换,表中u(n)序列的傅里叶变换推导如下： 令 (2.3.11) (2.3.12)

13、 对(2.3.12)式进行FT，得到: ,对(2.3.11)式进行FT，得到： 【例2.3.2】求例2.3.1中周期序列的FT。 解 将例2.3.1中得到的 代入（2.3.10）式中，得到： 其幅频特性如图2.3.3所示。,图2.3.3 例2.3.2图,对比图2.3.1，对于同一个周期信号，其DFS和FT分别取模的形状是一样的，不同的是FT用单位冲激函数表示（用带箭头的竖线表示）。因此周期序列的频谱分布用其DFS或者FT表示都可以，但画图时应注意单位冲激函数的画法。 【例2.3.3】 令 为有理数，求其FT。 解 将 用欧拉公式展开： 按照（2.3.9）式，其FT推导如下：,图2.3.4 co

14、s0n的FT,2.4 时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系 时域离散信号与模拟信号是两种不同的信号，傅里叶变换也不同，如果时域离散信号是由某模拟信号采样得来，那么时域离散信号的傅里叶变换和该模拟信号的傅里叶变换之间有一定的关系。下面推导这一关系式。 公式x(n)=xa(t)|t=nT=xa(nT)表示了由采样得到的时域离散信号和模拟信号的关系，而理想采样信号 和模拟信号的关系用（1.5.2）式表示，重写如下:,对上式进行傅里叶变换, 得到:,令=T，且x(n)=xa(nT)，得到： （2.4.1） 或者写成： （2.4.2） 式中 (2.4.2)式也可以表示成 （2.4.3）

15、,（2.4.1）、（2.4.2）和（2.4.3）式均表示时域离散信号的傅里叶变换和模拟信号傅里叶变换之间的关系。由这些关系式可以得出两点结论。一点结论是时域离散信号的频谱也是模拟信号的频谱周期性延拓，周期为 ，因此由模拟信号进行采样得到时域离散信号时，同样要满足前面推导出的采样定理，采样频率必须大于等于模拟信号最高频率的2倍以上，否则也会差生频域混叠现象，频率混叠在s/2附近最严重，在数字域则是在附近最严重。,另一点结论是计算模拟信号的FT可以用计算相应的时域离散信号的FT得到，方法是: 首先按照采样定理，以模拟信号最高频率的两倍以上频率对模拟信号进行采样得到时域离散信号，再通过计算机对该时域离散信号进行FT，得到它的频谱函数，再乘以采样间隔T便得到模拟信号的FT，注意关系式=T。,按照数字频率和模拟频率之间的关系，在一些文献中经常使用归一化频率f=f/Fs或=/s, =/2, 因为f、和都是无量纲量，刻度是一样的，将f、